Нормированное векторное пространство - Википедия - Normed vector space

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Декабрь 2019 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Иерархия математических пространств. Нормированные векторные пространства - это надмножество внутренние пространства продукта и подмножество метрические пространства, который, в свою очередь, является подмножеством топологическое векторное пространство.

В математика, а нормированное векторное пространство или же нормированное пространство это векторное пространство над настоящий или же сложный числа, на которых норма определено.^[1] Норма - это формализация и обобщение на реальные векторные пространства интуитивного понятия «длина» в реальном мире. Норма - это функция с действительным знаком определенное на векторном пространстве, которое обычно обозначается ${ Displaystyle х mapsto | х |,}$ и имеет следующие свойства:

1. Он неотрицателен, т.е. для каждого вектора Икс, надо ${ Displaystyle | х | geq 0.}$
2. Он положителен на ненулевых векторах, т. Е.

   ${ displaystyle | x | = 0 Longleftrightarrow x = 0.}$

3. Для каждого вектора Икс, и каждый скаляр ${ displaystyle alpha,}$ надо

   ${ Displaystyle | альфа х | = | альфа | | х |.}$

4. В неравенство треугольника держит; то есть для каждого вектора Икс и у, надо

   ${ Displaystyle | х + у | Leq | х | + | у |.}$

Норма индуцирует расстояние по формуле

${ Displaystyle д (х, у) = | у-х |.}$

которые превращают нормированное векторное пространство в метрическое пространство и топологическое векторное пространство. Если эта метрика ${ displaystyle d}$ является полный то нормированное пространство называется Банахово пространство. Каждое нормированное векторное пространство может быть «однозначно расширено» до банахова пространства, что делает нормированные пространства тесно связанными с банаховыми пространствами. Каждое банахово пространство является нормированным пространством, но обратное не обязательно. Пример: набор ограниченной последовательности. Изучение нормированных пространств и банаховых пространств является фундаментальной частью функциональный анализ, который является одним из основных разделов математики.

An внутреннее пространство продукта становится нормированным пространством, когда норма вектора является квадратным корнем из внутреннего произведения вектора. В Евклидово расстояние в Евклидово пространство связана с нормой связанного векторного пространства (которое является внутренним пространством продукта) формулой

${ displaystyle d (A, B) = | { overrightarrow {AB}} |.}$

Определение

А нормированное векторное пространство пара ${ Displaystyle (V, | cdot |)}$ куда ${ displaystyle V}$ это векторное пространство и ${ displaystyle | cdot |}$ а норма на ${ displaystyle V}$.

А полунормированное векторное пространство это пара ${ displaystyle (V, p)}$ куда ${ displaystyle V}$ - векторное пространство и ${ displaystyle p}$ а полунорма на ${ displaystyle V}$.

Мы часто опускаем ${ displaystyle p}$ или же ${ displaystyle | cdot |}$ и просто напиши ${ displaystyle V}$ для пространства, если из контекста ясно, какую (полу) норму мы используем.

В более общем смысле векторной нормой можно считать любую действительную функцию^{[требуется разъяснение ]} который удовлетворяет трем указанным выше свойствам.

Полезный вариация неравенства треугольника является

${ Displaystyle | х-у | geq | | х | - | у ||}$ для любых векторов x и y.

Это также показывает, что векторная норма - это непрерывная функция.

Обратите внимание, что свойство 2 зависит от выбора нормы ${ Displaystyle | альфа |}$ на поле скаляров. Когда скалярное поле ${ Displaystyle mathbb {R}}$ (или, в более общем смысле, подмножество ${ Displaystyle mathbb {C}}$), это обычно считается обычным абсолютная величина, но возможны и другие варианты. Например, для векторного пространства над ${ displaystyle mathbb {Q}}$ можно было взять ${ Displaystyle | альфа |}$ быть п-адическая норма, что порождает другой класс нормированных векторных пространств.

Топологическая структура

Если (V, · ‖) - нормированное векторное пространство, норма ‖ · ‖ индуцирует метрика (понятие расстояние) и, следовательно, топология на V. Эта метрика определяется естественным образом: расстояние между двумя векторами ты и v дан кем-то ‖ты − v‖. Эта топология как раз и является самой слабой топологией, делающей · непрерывной и совместимой с линейной структурой V в следующем смысле:

1. Векторное сложение +: V × V → V совместно непрерывна относительно этой топологии. Это непосредственно следует из неравенство треугольника.
2. Скалярное умножение ·: K × V → V, куда K базовое скалярное поле V, совместно непрерывно. Это следует из неравенства треугольника и однородности нормы.

Точно так же для любого полунормированного векторного пространства мы можем определить расстояние между двумя векторами ты и v в качестве ‖ты − v‖. Это превращает полунормированное пространство в псевдометрическое пространство (обратите внимание, что это слабее, чем метрика) и позволяет определять такие понятия, как непрерывность и конвергенция Говоря более абстрактно, каждое полунормированное векторное пространство является топологическое векторное пространство и таким образом несет топологическая структура индуцированная полунормой.

Особый интерес представляют полный нормированные пространства, называемые Банаховы пространства. Каждое нормированное векторное пространство V сидит как плотное подпространство внутри банахова пространства; это банахово пространство по существу однозначно определяется формулой V и называется завершение из V.

Две нормы в одном векторном пространстве называются эквивалент если они определяют то же самое топология. В конечномерном векторном пространстве все нормы эквивалентны, но это неверно для бесконечномерных векторных пространств.

Все нормы в конечномерном векторном пространстве эквивалентны с топологической точки зрения, поскольку они индуцируют одну и ту же топологию (хотя результирующие метрические пространства не обязательно должны быть одинаковыми).^[2] А поскольку любое евклидово пространство полно, мы можем заключить, что все конечномерные нормированные векторные пространства являются банаховыми пространствами. Нормированное векторное пространство V является локально компактный тогда и только тогда, когда единичный шар B = {Икс : ‖Икс‖ ≤ 1} является компактный, что имеет место тогда и только тогда, когда V конечномерна; это следствие Лемма Рисса. (На самом деле верен более общий результат: топологическое векторное пространство локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно. Дело в том, что мы не предполагаем, что топология исходит из нормы.)

Топология полунормированного векторного пространства имеет много хороших свойств. Учитывая система соседства ${ Displaystyle { mathcal {N}} (0)}$ около 0 мы можем построить все остальные системы соседства как

${ Displaystyle { mathcal {N}} (х) = х + { mathcal {N}} (0): = {x + N mid N in { mathcal {N}} (0) }}$

с

${ displaystyle x + N: = {x + n mid n in N }}$.

Более того, существует основа соседства для 0 состоящий из поглощающий и выпуклые множества. Поскольку это свойство очень полезно в функциональный анализ обобщения нормированных векторных пространств с этим свойством изучаются под названием локально выпуклые пространства.

Нормируемые пространства

А топологическое векторное пространство ${ Displaystyle (Х, тау)}$ называется нормируемый если существует норма ${ displaystyle | cdot |}$ на Икс такая, что каноническая метрика ${ Displaystyle (х, у) mapsto | у-х |}$ индуцирует топологию ${ Displaystyle тау}$ на ИксСледующая теорема принадлежит Колмагорову:^[3]

Теорема Топологическое векторное пространство Хаусдорфа нормируемо тогда и только тогда, когда существует выпуклое, фон Нейман ограничен окрестности ${ displaystyle 0 in X}$.

Произведение семейства нормируемых пространств нормируемо тогда и только тогда, когда только конечное число пространств нетривиально (т. Е. ${ displaystyle neq {0 }}$).^[3] Кроме того, фактор нормируемого пространства Икс замкнутым векторным подпространством C нормируется, а если дополнительно ИКС's топология задается нормой ${ displaystyle | cdot |}$ тогда карта ${ Displaystyle Х / С к mathbb {R}}$ данный ${ Displaystyle х + С mapsto inf _ {с in C} | х + с |}$ хорошо определенная норма на X / C что вызывает факторная топология на X / C.^[4]

Если Икс Хаусдорф локально выпуклый топологическое векторное пространство, то следующие эквивалентны:

1. Икс нормируемый.
2. Икс имеет ограниченную окрестность начала координат.
3. то сильный дуал ${ displaystyle X_ {b} ^ { prime}}$ из Икс нормируемый.^[5]
4. то сильный дуал ${ displaystyle X_ {b} ^ { prime}}$ из Икс является метризуемый.^[5]

Более того, Икс конечномерно тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle X _ { sigma} ^ { prime}}$ нормируется (здесь ${ Displaystyle X _ { sigma} ^ { prime}}$ обозначает ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ наделен слабая * топология ).

Линейные карты и двойственные пространства

Наиболее важными отображениями между двумя нормированными векторными пространствами являются непрерывный линейные карты. Вместе с этими отображениями нормированные векторные пространства образуют категория.

Норма - это непрерывная функция на своем векторном пространстве. Все линейные отображения между конечномерными векторными пространствами также непрерывны.

An изометрия между двумя нормированными векторными пространствами - это линейная карта ж который сохраняет норму (имеется в виду ‖ж(v)‖ = ‖v‖ Для всех векторов v). Изометрии всегда непрерывны и инъективный. А сюръективный изометрия между нормированными векторными пространствами V и W называется изометрический изоморфизм, и V и W называются изометрически изоморфный. Изометрически изоморфные нормированные векторные пространства идентичны для всех практических целей.

Говоря о нормированных векторных пространствах, мы расширяем понятие двойное пространство учитывать норму. Двойной V 'нормированного векторного пространства V это пространство всего непрерывный линейные карты из V в базовое поле (комплексы или вещественные числа) - такие линейные отображения называются «функционалами». Норма функционала φ определяется как супремум из | φ (v) | куда v пробегает все единичные векторы (т. е. векторы нормы 1) в V. Это превращается V 'в нормированное векторное пространство. Важной теоремой о непрерывных линейных функционалах на нормированных векторных пространствах является Теорема Хана – Банаха.

Нормированные пространства как факторпространства полунормированных пространств

Определение многих нормированных пространств (в частности, Банаховы пространства ) включает в себя полунорму, определенную на векторном пространстве, а затем нормированное пространство определяется как факторное пространство подпространством элементов нулевой полунормы. Например, с L^п пробелы, функция, определяемая

${ Displaystyle | е | _ {p} = left ( int | f (x) | ^ {p} ; dx right) ^ {1 / p}}$

является полунормой на векторном пространстве всех функций, на которых Интеграл Лебега в правой части определен и конечен. Однако полунорма равна нулю для любой функции поддержанный на наборе Мера Лебега нуль. Эти функции образуют подпространство, которое мы "выделяем", делая их эквивалентными нулевой функции.

Конечные пространства продуктов

Данный п полунормированные пространства Икс_я с полунормами q_я мы можем определить пространство продукта в качестве

${ Displaystyle X: = prod _ {я = 1} ^ {n} X_ {я}}$

с векторным сложением, определяемым как

${ displaystyle (x_ {1}, ldots, x_ {n}) + (y_ {1}, ldots, y_ {n}): = (x_ {1} + y_ {1}, ldots, x_ { n} + y_ {n})}$

и скалярное умножение, определяемое как

${ Displaystyle альфа (x_ {1}, ldots, x_ {n}): = ( alpha x_ {1}, ldots, alpha x_ {n})}$.

Мы определяем новую функцию q

${ displaystyle q: X to mathbb {R}}$

например как

${ displaystyle q: (x_ {1}, ldots, x_ {n}) mapsto sum _ {i = 1} ^ {n} q_ {i} (x_ {i})}$.

которая является полунормой на Икс. Функция q является нормой тогда и только тогда, когда все q_я это нормы.

В общем, для каждого реального п≥1 имеем полунорму:

${ displaystyle q: (x_ {1}, ldots, x_ {n}) mapsto left ( sum _ {i = 1} ^ {n} q_ {i} (x_ {i}) ^ {p} right) ^ { frac {1} {p}}.}$

Для каждого p это определяет одно и то же топологическое пространство.

Прямое рассуждение с использованием элементарной линейной алгебры показывает, что единственными конечномерными полунормированными пространствами являются те, которые возникают как пространство произведения нормированного пространства и пространства с тривиальной полунормой. Следовательно, многие из наиболее интересных примеров и приложений полунормированных пространств встречаются для бесконечномерных векторных пространств.

Смотрите также

• Банахово пространство, нормированные векторные пространства, полные относительно метрики, индуцированной нормой
• Финслеровский коллектор, где длина каждого касательного вектора определяется нормой
• Внутреннее пространство продукта, нормированные векторные пространства, в которых норма задается внутренний продукт
• Критерий нормируемости Колмогорова
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами
• Космос (математика) - математический набор с добавленной структурой
• Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости

Рекомендации

Библиография

• Банах, Стефан (1932). Теория линейных операций [Теория линейных операций] (PDF). Monografie Matematyczne (на французском языке). 1. Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl  0005.20901. Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-01-11. Получено 2020-07-11.
• Ролевич, Стефан (1987), Функциональный анализ и теория управления: линейные системы, Математика и ее приложения (Восточноевропейская серия), 29 (Перевод с польского под ред. Евы Беднарчук), Дордрехт; Варшава: D. Reidel Publishing Co .; PWN — Польские научные издательства, стр. Xvi + 524, Дои:10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN  90-277-2186-6, МИСТЕР  0920371, OCLC  13064804
• Шефер, Х. Х. (1999). Топологические векторные пространства. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

внешняя ссылка

• СМИ, связанные с Нормированные пространства в Wikimedia Commons