Пространство интерполяции - Interpolation space

В области математический анализ, пространство интерполяции это пространство, которое находится "между" двумя другими Банаховы пространства. Основные приложения находятся в Соболевские пространства, где пространства функций, имеющих нецелое число производные интерполируются из пространств функций с целым числом производных.

История

Теория интерполяции векторных пространств началась с наблюдения Юзеф Марцинкевич, позже обобщенный и теперь известный как Теорема Рисса-Торина. Проще говоря, если линейная функция непрерывна на некотором Космос $L п$ а также на определенном пространстве $L q$ , то он также непрерывен на пространстве $L р$ , для любого среднего $р$ между $п$ и $q$ . Другими словами, $L р$ это пространство, которое занимает промежуточное положение между $L п$ и $L q$ .

В процессе разработки пространств Соболева стало ясно, что следовые пространства не являются обычными функциональными пространствами (с целым числом производных), и Жак Луи Лайонс обнаружил, что в действительности эти следовые пространства составлены из функций, имеющих нецелую степень дифференцируемости.

Многие методы были разработаны для генерации таких пространств функций, в том числе преобразование Фурье, комплексная интерполяция,^[1] реальная интерполяция,^[2] а также другие инструменты (см., например, дробная производная ).

Настройка интерполяции

А Банахово пространство $Икс$ как говорят постоянно внедренный в хаусдорфе топологическое векторное пространство $Z$ когда $Икс$ является линейным подпространством в $Z$ такая, что отображение включения из $Икс$ в $Z$ непрерывно. А совместимая пара $(Икс 0, Икс 1)$ банаховых пространств состоит из двух банаховых пространств $Икс 0$ и $Икс 1$ которые непрерывно вложены в одно и то же хаусдорфово топологическое векторное пространство $Z$ .^[3] Вложение в линейное пространство $Z$ позволяет рассматривать два линейных подпространства

{displaystyle X_ {0} cap X_ {1}}

и

{displaystyle X_ {0} + X_ {1} = left {zin Z: z = x_ {0} + x_ {1}, x_ {0} in X_ {0} ,, x_ {1} in X_ {1} ight }.}

Интерполяция не зависит только от классов изоморфной (или изометрической) эквивалентности $Икс 0$ и $Икс 1$ . Это во многом зависит от конкретных относительное положение который $Икс 0$ и $Икс 1$ занимать большее пространство $Z$ .

Можно определить нормы на $Икс 0 \cap Икс 1$ и $Икс 0 + Икс 1$ к

{displaystyle | x | _ {X_ {0} cap X_ {1}}: = max left (left | xight | _ {X_ {0}}, left | xight | _ {X_ {1}} ight),}

{displaystyle | x | _ {X_ {0} + X_ {1}}: = inf left {left | x_ {0} ight | _ {X_ {0}} + left | x_ {1} ight | _ {X_ { 1}}: x = x_ {0} + x_ {1} ,; x_ {0} в X_ {0} ,; x_ {1} в X_ {1} ight}.}

С этими нормами пересечение и сумма являются банаховыми пространствами. Все следующие включения являются непрерывными:

{displaystyle X_ {0} cap X_ {1} subset X_ {0}, X_ {1} subset X_ {0} + X_ {1}.}

Интерполяция изучает семейство пространств $Икс$ которые промежуточные пространства между $Икс 0$ и $Икс 1$ в том смысле, что

{displaystyle X_ {0} cap X_ {1} subset Xsubset X_ {0} + X_ {1},}

где два отображения включений непрерывны.

Примером такой ситуации является пара $(L 1 (р), L \infty (р))$ , где два банаховых пространства непрерывно вложены в пространство $Z$ измеримых функций на вещественной прямой, снабженных топологией сходимости по мере. В этой ситуации пробелы $L п (р)$ , за $1 \leq п \leq \infty$ занимают промежуточное положение между $L 1 (р)$ и $L \infty (р)$ . В более общем смысле,

{displaystyle L ^ {p_ {0}} (mathbf {R}) cap L ^ {p_ {1}} (mathbf {R}) подмножество L ^ {p} (mathbf {R}) подмножество L ^ {p_ {0 }} (mathbf {R}) + L ^ {p_ {1}} (mathbf {R}), {ext {when}} 1leq p_ {0} leq pleq p_ {1} leq infty,}

с непрерывными впрысками, так что при заданном условии $L п (р)$ занимает промежуточное положение между $L п 0 (р)$ и $L п 1 (р)$ .

Определение. Учитывая две совместимые пары

(Икс 0, Икс 1)

и

(Y 0, Y 1)

, пара интерполяции пара

(Икс, Y)

банаховых пространств с двумя следующими свойствами:

Космос Икс занимает промежуточное положение между $Икс 0$ и $Икс 1$ , и Y занимает промежуточное положение между $Y 0$ и $Y 1$ .
Если $L$ любой линейный оператор из $Икс 0 + Икс 1$ к $Y 0 + Y 1$ , который непрерывно отображает $Икс 0$ к $Y 0$ и $Икс 1$ к $Y 1$ , то он также непрерывно отображает $Икс$ к $Y$ .

Пара интерполяции $(Икс, Y)$ говорят, что из показатель степени $θ$ (с $0 < θ < 1$ ), если существует постоянная $C$ такой, что

{displaystyle | L | _ {X, Y} leq C | L | _ {X_ {0}, Y_ {0}} ^ {1- heta}; | L | _ {X_ {1}, Y_ {1}} ^ {heta}}

для всех операторов $L$ как указано выше. Обозначение $|| L || Икс, Y$ для нормы $L$ как карта из $Икс$ к $Y$ . Если $C = 1$ мы говорим, что $(Икс, Y)$ является точная пара интерполяции экспоненты $θ$ .

Комплексная интерполяция

Если скаляры сложные числа, свойства комплекса аналитические функции используются для определения пространства интерполяции. Учитывая совместимую пару (Икс₀, Икс₁) банаховых пространств линейное пространство ${displaystyle {mathcal {F}} (X_ {0}, X_ {1})}$ состоит из всех функций $ж : C \to Икс 0 + Икс 1$ , аналитические на $S = {z : 0 z) < 1},$ непрерывно на $S = {z : 0 \leq Re (z) \leq 1},$ и для которого все следующие подмножества ограничены:

{ж (z) : z \in S} \subset Икс 0 + Икс 1

,

{ж (Это) : т \in р} \subset Икс 0

,

{ж (1 + Это) : т \in р} \subset Икс 1

.

${displaystyle {mathcal {F}} (X_ {0}, X_ {1})}$ является банаховым пространством относительно нормы

{displaystyle | f | _ {{mathcal {F}} (X_ {0}, X_ {1})} = max left {sup _ {tin mathbf {R}} | f (it) | _ {X_ {0} } ,; sup _ {tin mathbf {R}} | f (1 + it) | _ {X_ {1}} ight}.}

Определение.^[4] За $0 < θ < 1$ , то комплексное интерполяционное пространство $(Икс 0, Икс 1) θ$ - линейное подпространство в $Икс 0 + Икс 1$ состоящий из всех ценностей ж(θ) когда ж изменяется в предыдущем пространстве функций,

{displaystyle (X_ {0}, X_ {1}) _ {heta} = left {xin X_ {0} + X_ {1}: x = f (heta) ,; fin {mathcal {F}} (X_ {0 }, X_ {1}) ight}.}

Норма на комплексном интерполяционном пространстве $(Икс 0, Икс 1) θ$ определяется

{displaystyle | x | _ {heta} = inf left {| f | _ {{mathcal {F}} (X_ {0}, X_ {1})}: f (heta) = x,; fin {mathcal {F }} (X_ {0}, X_ {1}) ight}.}

Оборудованное этой нормой комплексное пространство интерполяции $(Икс 0, Икс 1) θ$ является банаховым пространством.

Теорема.^[5] Даны две совместимые пары банаховых пространств

(Икс 0, Икс 1)

и

(Y 0, Y 1)

, пара

((Икс 0, Икс 1) θ, (Y 0, Y 1) θ)

- точная пара интерполяции экспоненты

θ

, т.е. если

Т : Икс 0 + Икс 1 \to Y 0 + Y 1

, - линейный оператор, ограниченный

Икс j

к

Y j, j = 0, 1

, тогда

Т

ограничен от

(Икс 0, Икс 1) θ

к

(Y 0, Y 1) θ

и

{displaystyle | T | _ {heta} leq | T | _ {0} ^ {1- heta} | T | _ {1} ^ {heta}.}

Семья $L п$ пространства (состоящие из комплекснозначных функций) хорошо себя ведут при комплексной интерполяции.^[6] Если $(р, Σ, μ)$ произвольный измерить пространство, если $1 \leq п 0, п 1 \leq \infty$ и $0 < θ < 1$ , тогда

{displaystyle left (L ^ {p_ {0}} (R, Sigma, mu), L ^ {p_ {1}} (R, Sigma, mu) ight) _ {heta} = L ^ {p} (R, Sigma, mu), qquad {frac {1} {p}} = {frac {1- heta} {p_ {0}}} + {frac {heta} {p_ {1}}},}

с равенством норм. Этот факт тесно связан с Теорема Рисса – Торина.

Реальная интерполяция

Есть два способа ввести метод реальной интерполяции. Первым и наиболее часто используемым при фактическом выявлении примеров пространств интерполяции является K-метод. Второй метод, J-метод, дает те же интервалы интерполяции, что и K-метод, когда параметр $θ$ в $(0, 1)$ . Согласованность J- и K-методов важна для изучения двойственных интерполяционных пространств: в основном, двойственное интерполяционное пространство, построенное с помощью K-метода, оказывается пространством, построенным из двойственной пары J-методом; Смотри ниже.

К-метод

K-метод реальной интерполяции^[7] можно использовать для банаховых пространств над полем $р$ из действительные числа.

Определение. Позволять $(Икс 0, Икс 1)$ - совместимая пара банаховых пространств. За $т > 0$ и каждый $Икс \in Икс 0 + Икс 1$ , позволять

{displaystyle K (x, t; X_ {0}, X_ {1}) = inf left {left | x_ {0} ight | _ {X_ {0}} + tleft | x_ {1} ight | _ {X_ { 1}}: x = x_ {0} + x_ {1} ,; x_ {0} в X_ {0} ,, x_ {1} в X_ {1} ight}.}

Изменение порядка двух пробелов приводит к:^[8]

{displaystyle K (x, t; X_ {0}, X_ {1}) = tKleft (x, t ^ {- 1}; X_ {1}, X_ {0} ight).}

Позволять

{displaystyle {egin {align} | x | _ {heta, q; K} & = left (int _ {0} ^ {infty} left (t ^ {- heta} K (x, t; X_ {0}, X_ {1}) ight) ^ {q}, {frac {dt} {t}} ight) ^ {frac {1} {q}}, && 0 0}; t ^ {- heta} K (x, t; X_ {0}, X_ {1}), && 0leq heta leq 1.end {выровнено}} }

K-метод вещественной интерполяции заключается в взятии $K θ, q (Икс 0, Икс 1)$ быть линейным подпространством $Икс 0 + Икс 1$ состоящий из всех $Икс$ такой, что $|| Икс || θ, q; K < \infty$ .

Пример

Важный пример - пара $(L 1 (р, Σ, μ), L \infty (р, Σ, μ))$ , где функционал $K (т, ж; L 1, L \infty)$ можно вычислить явно. Мера $μ$ должно быть $σ$ -конечный. В этом контексте лучший способ сократить функцию $ж \in L 1 + L \infty$ как сумма двух функций $ж 0 \in L 1$ и $ж 1 \in L \infty$ для некоторых $s > 0$ быть выбранной как функция $т$ , позволить $ж 1 (Икс)$ быть дано для всех $Икс \in р$ к

{displaystyle f_ {1} (x) = {egin {case} f (x) & | f (x) |

Оптимальный выбор $s$ приводит к формуле^[9]

{displaystyle Kleft (f, t; L ^ {1}, L ^ {infty} ight) = int _ {0} ^ {t} f ^ {*} (u), du,}

куда $ж *$ это убывающая перестановка из $ж$ .

J-метод

Как и K-метод, J-метод может использоваться для реальных банаховых пространств.

Определение. Позволять $(Икс 0, Икс 1)$ - совместимая пара банаховых пространств. За $т > 0$ и для каждого вектора $Икс \in Икс 0 \cap Икс 1$ , позволять

{displaystyle J (x, t; X_ {0}, X_ {1}) = max left (| x | _ {X_ {0}}, t | x | _ {X_ {1}} ight).}

Вектор $Икс$ в $Икс 0 + Икс 1$ принадлежит пространству интерполяции $J θ, q (Икс 0, Икс 1)$ тогда и только тогда, когда это можно записать как

{displaystyle x = int _ {0} ^ {infty} v (t), {frac {dt} {t}},}

куда $v (т)$ измерим со значениями в $Икс 0 \cap Икс 1$ и такой, что

{displaystyle Phi (v) = left (int _ {0} ^ {infty} left (t ^ {- heta} J (v (t), t; X_ {0}, X_ {1}) ight) ^ {q }, {frac {dt} {t}} ight) ^ {frac {1} {q}}

Норма $Икс$ в $J θ, q (Икс 0, Икс 1)$ дается формулой

{displaystyle | x | _ {heta, q; J}: = inf _ {v} left {Phi (v): x = int _ {0} ^ {infty} v (t), {frac {dt} {t }} ight}.}

Связь между методами интерполяции

Два реальных метода интерполяции эквивалентны, когда $0 < θ < 1$ .^[10]

Теорема. Позволять

(Икс 0, Икс 1)

- совместимая пара банаховых пространств. Если

0 < θ < 1

и

1 \leq q \leq \infty

, тогда

{displaystyle J_ {heta, q} (X_ {0}, X_ {1}) = K_ {heta, q} (X_ {0}, X_ {1}),}

с эквивалентность норм.

Теорема охватывает вырожденные случаи, которые не были исключены: например, если $Икс 0$ и $Икс 1$ образуют прямую сумму, тогда пересечение и J-пространства являются нулевым пространством, и простое вычисление показывает, что K-пространства также нулевые.

Когда $0 < θ < 1$ , с точностью до эквивалентной перенормировки можно говорить о то Банахово пространство, полученное методом вещественной интерполяции с параметрами $θ$ и $q$ . Обозначения для этого реального интерполяционного пространства: $(Икс 0, Икс 1) θ, q$ . У одного есть это

{displaystyle (X_ {0}, X_ {1}) _ {heta, q} = (X_ {1}, X_ {0}) _ {1- heta, q}, qquad 0

Для данного значения $θ$ , реальные интерполяционные пространства увеличиваются с увеличением $q$ :^[11] если $0 < θ < 1$ и $1 \leq q \leq р \leq \infty$ справедливо следующее непрерывное включение:

{displaystyle (X_ {0}, X_ {1}) _ {heta, q} subset (X_ {0}, X_ {1}) _ {heta, r}.}

Теорема. Данный

0 < θ < 1

,

1 \leq q \leq \infty

и две совместимые пары

(Икс 0, Икс 1)

и

(Y 0, Y 1)

, пара

((Икс 0, Икс 1) θ, q, (Y 0, Y 1) θ, q)

- точная пара интерполяции экспоненты

θ

.^[12]

Пространство комплексной интерполяции обычно не изоморфно одному из пространств, заданных методом реальной интерполяции. Однако есть общие отношения.

Теорема. Позволять

(Икс 0, Икс 1)

- совместимая пара банаховых пространств. Если

0 < θ < 1

, тогда

{displaystyle (X_ {0}, X_ {1}) _ {heta, 1} subset (X_ {0}, X_ {1}) _ {heta} subset (X_ {0}, X_ {1}) _ {heta , infty}.}

Примеры

Когда $Икс 0 = C ([0, 1])$ и $Икс 1 = C 1 ([0, 1])$ , пространство непрерывно дифференцируемых функций на $[0, 1]$ , то $(θ, \infty)$ метод интерполяции, для $0 < θ < 1$ , дает Пространство Гёльдера $C 0, θ$ экспоненты $θ$ . Это потому, что K-функционал $K (ж, т; Икс 0, Икс 1)$ этой пары эквивалентно

{displaystyle sup left {| f (u) | ,, {frac {| f (u) -f (v) |} {1 + t ^ {- 1} | uv |}}: u, vin [0,1 ] ight}.}

Только ценности $0 < т < 1$ здесь интересно.

Реальная интерполяция между $L п$ пробелы дает^[13] семья Пространства Лоренца. Предполагая $0 < θ < 1$ и $1 \leq q \leq \infty$ , надо:

{displaystyle left (L ^ {1} (mathbf {R}, Sigma, mu), L ^ {infty} (mathbf {R}, Sigma, mu) ight) _ {heta, q} = L ^ {p, q } (mathbf {R}, Sigma, mu), qquad {ext {where}} {frac {1} {p}} = 1- heta,}

с эквивалентными нормами. Это следует из неравенство Харди и из приведенного выше значения K-функционала для этой совместимой пары. Когда $q = п$ , пространство Лоренца $L п, п$ равно $L п$ , вплоть до перенормировки. Когда $q = \infty$ , пространство Лоренца $L п,\infty$ равно слабый- $L п$ .

Теорема о повторении

Промежуточное пространство $Икс$ совместимой пары $(Икс 0, Икс 1)$ говорят, что из учебный класс θ если ^[14]

{displaystyle (X_ {0}, X_ {1}) _ {heta, 1} subset Xsubset (X_ {0}, X_ {1}) _ {heta, infty},}

при непрерывных инъекциях. Помимо всех реальных интерполяционных пространств $(Икс 0, Икс 1) θ, q$ с параметром $θ$ и $1 \leq q \leq \infty$ , комплексное интерполяционное пространство $(Икс 0, Икс 1) θ$ это промежуточное пространство класса $θ$ совместимой пары $(Икс 0, Икс 1)$ .

Теоремы повторения, по сути, говорят, что интерполяция с параметром $θ$ в некотором роде ведет себя как формирование выпуклое сочетание $а = (1 - θ) Икс 0 + θx 1$ : дополнительная выпуклая комбинация двух выпуклых комбинаций дает другую выпуклую комбинацию.

Теорема.^[15] Позволять

А 0, А 1

быть промежуточными пространствами совместимой пары

(Икс 0, Икс 1)

, класса

θ 0

и

θ 1

соответственно, с

0 < θ 0 \neq θ 1 < 1

. Когда

0 < θ < 1

и

1 \leq q \leq \infty

, надо

{displaystyle (A_ {0}, A_ {1}) _ {heta, q} = (X_ {0}, X_ {1}) _ {eta, q}, qquad eta = (1- heta) heta _ {0 } + heta heta _ {1}.}

Примечательно, что при интерполяции реальным методом между $А 0 = (Икс 0, Икс 1) θ 0, q 0$ и $А 1 = (Икс 0, Икс 1) θ 1, q 1$ , только значения $θ 0$ и $θ 1$ иметь значение. Также, $А 0$ и $А 1$ могут быть сложными интерполяционными пространствами между $Икс 0$ и $Икс 1$ , с параметрами $θ 0$ и $θ 1$ соответственно.

Есть также теорема о повторении для комплексного метода.

Теорема.^[16] Позволять

(Икс 0, Икс 1)

- совместимая пара комплексных банаховых пространств, и предположим, что

Икс 0 \cap Икс 1

плотно в

Икс 0

И в

Икс 1

. Позволять

А 0 = (Икс 0, Икс 1) θ 0

и

А 1 = (Икс 0, Икс 1) θ 1

, куда

0 \leq θ 0 \leq θ 1 \leq 1

. Предположим далее, что

Икс 0 \cap Икс 1

плотно в

А 0 \cap А 1

. Затем для каждого

0 \leq θ \leq 1

,

{displaystyle left (left (X_ {0}, X_ {1} ight) _ {heta _ {0}}, left (X_ {0}, X_ {1} ight) _ {heta _ {1}} ight) _) _ {heta} = (X_ {0}, X_ {1}) _ {eta}, qquad eta = (1- heta) heta _ {0} + heta heta _ {1}.}

Условие плотности всегда выполняется, когда $Икс 0 \subset Икс 1$ или же $Икс 1 \subset Икс 0$ .

Двойственность

Позволять $(Икс 0, Икс 1)$ быть совместимой парой, и предположим, что $Икс 0 \cap Икс 1$ плотно в Икс₀ И в Икс₁. В этом случае отображение ограничения из (непрерывной) двойной ${displaystyle X '_ {j}}$ из $Икс j$ , $j = 0, 1,$ к двойному $Икс 0 \cap Икс 1$ один на один. Отсюда следует, что пара двойников ${displaystyle left (X '_ {0}, X' _ {1} ight)}$ совместимая пара, непрерывно вложенная в двойственную $(Икс 0 \cap Икс 1)'$ .

Для метода комплексной интерполяции имеет место следующий результат двойственности:

Теорема.^[17] Позволять

(Икс 0, Икс 1)

- совместимая пара комплексных банаховых пространств, и предположим, что

Икс 0 \cap Икс 1

плотно в

Икс 0

И в

Икс 1

. Если

Икс 0

и

Икс 1

находятся рефлексивный, то двойственное к комплексному интерполяционному пространству получается путем интерполяции двойников,

{displaystyle ((X_ {0}, X_ {1}) _ {heta}) '= left (X' _ {0}, X '_ {1} ight) _ {heta}, qquad 0

В общем, двойственное пространство $(Икс 0, Икс 1) θ$ равно^[17] к ${displaystyle left (X '_ {0}, X' _ {1} ight) ^ {heta},}$ пространство, определяемое вариантом комплексного метода.^[18] Методы upper-θ и lower-θ в общем случае не совпадают, но они совпадают, если хотя бы один из Икс₀, Икс₁ рефлексивное пространство.^[19]

Для реального метода интерполяции двойственность сохраняется при условии, что параметрq конечно:

Теорема.^[20] Позволять

0 < θ < 1, 1 \leq q < \infty

и

(Икс 0, Икс 1)

совместимая пара реальных банаховых пространств. Предположить, что

Икс 0 \cap Икс 1

плотно в

Икс 0

И в

Икс 1

. потом

{displaystyle left (left (X_ {0}, X_ {1} ight) _ {heta, q} ight) '= left (X' _ {0}, X '_ {1} ight) _ {heta, q' },}

куда

{displaystyle {frac {1} {q '}} = 1- {frac {1} {q}}.}

Дискретные определения

Поскольку функция $т \to K (Икс, т)$ регулярно меняется (увеличивается, но $1 / т K (Икс, т)$ убывает), определение $K θ, q$ -норма вектора $п$ , ранее задававшееся интегралом, эквивалентно определению, данному рядом.^[21] Эта серия получается путем взлома $(0, \infty)$ на кусочки $(2 п, 2 п +1)$ равной массы для меры $d т / т$ ,

{displaystyle | x | _ {heta, q; K} simeq left (sum _ {nin mathbf {Z}} left (2 ^ {- heta n}) Kleft (x, 2 ^ {n}; X_ {0}, X_ {1} ight) ight) ^ {q} ight) ^ {frac {1} {q}}.}

В частном случае, когда $Икс 0$ непрерывно вложен в $Икс 1$ , можно опустить часть ряда с отрицательными индексами $п$ . В этом случае каждая из функций $Икс \to K (Икс, 2 п; Икс 0, Икс 1)$ определяет эквивалентную норму на $Икс 1$ .

Пространство интерполяции $(Икс 0, Икс 1) θ, q$ является «диагональным подпространством» $ℓ q$ -сумма последовательности банаховых пространств (каждое изоморфно $Икс 0 + Икс 1$ ). Следовательно, когда $q$ конечно, двойственное $(Икс 0, Икс 1) θ, q$ это частное из $ℓ п$ -сумма дуалов, $1 / п + 1 / q = 1$ , что приводит к следующей формуле для дискретного $J θ, п$ -норма функционала Икс' в двойном $(Икс 0, Икс 1) θ, q$ :

{displaystyle | x '| _ {heta, p; J} simeq inf left {left (sum _ {nin mathbf {Z}} left (2 ^ {heta n} max left (left | x' _ {n} ight | _ {X '_ {0}}, 2 ^ {- n} left | x' _ {n} ight | _ {X '_ {1}} ight) ight) ^ {p} ight) ^ {frac {1 } {p}}: x '= sum _ {nin mathbf {Z}} x' _ {n} ight}.}

Обычная формула для дискретного $J θ, п$ -norm получается изменением $п$ к $- п$ .

Дискретное определение облегчает изучение нескольких вопросов, среди которых уже упоминавшееся определение дуального. Другие такие вопросы - это компактность или слабокомпактность линейных операторов. Лайонс и Питре доказали, что:

Теорема.^[22] Если линейный оператор

Т

является компактный из

Икс 0

в банахово пространство

Y

и ограничен от

Икс 1

к

Y

, тогда

Т

компактный из

(Икс 0, Икс 1) θ, q

к

Y

когда

0 < θ < 1

,

1 \leq q \leq \infty

.

Дэвис, Фигил, Джонсон и Пелчинский использовали интерполяцию в своем доказательстве следующего результата:

Теорема.^[23] Ограниченный линейный оператор между двумя банаховыми пространствами есть слабо компактный тогда и только тогда, когда он учитывается рефлексивное пространство.

Общий метод интерполяции

Космос $ℓ q$ используемое для дискретного определения, можно заменить произвольным пространство последовательности Y с безусловная основа, а веса $а п = 2 - θn$ , $б п = 2 (1- θ) п$ , которые используются для $K θ, q$ -норма, можно заменить на общие веса

{displaystyle a_ {n}, b_ {n}> 0, sum _ {n = 1} ^ {infty} min (a_ {n}, b_ {n})

Пространство интерполяции $K (Икс 0, Икс 1, Y, {а п}, {б п})$ состоит из векторов $Икс$ в $Икс 0 + Икс 1$ такой, что^[24]

{displaystyle | x | _ {K (X_ {0}, X_ {1})} = sup _ {mgeq 1} left | sum _ {n = 1} ^ {m} a_ {n} Kleft (x, {frac {b_ {n}} {a_ {n}}}; X_ {0}, X_ {1} ight), y_ {n} ight | _ {Y}

куда {у_п} является безусловным основанием $Y$ . Этот абстрактный метод можно использовать, например, для доказательства следующего результата:

Теорема.^[25] Банахово пространство с безусловным базисом изоморфно дополняемому подпространству пространства с симметричный базис.

Интерполяция пространств Соболева и Бесова.

Доступны несколько результатов интерполяции для Соболевские пространства и Пространства Бесова на р^п,^[26]

{displaystyle {egin {выравнивается} & H_ {p} ^ {s} && sin mathbf {R}, 1leq pleq infty & B_ {p, q} ^ {s} && sin mathbf {R}, 1leq p, qleq infty end {выравнивается} }}

Эти пространства являются пространствами измеримые функции на $р п$ когда $s \geq 0$ , и из умеренные распределения на $р п$ когда $s < 0$ . Для остальной части раздела будут использоваться следующие настройки и обозначения:

{displaystyle {egin {align} 0 &

Комплексная интерполяция хорошо работает в классе пространств Соболева. ${displaystyle H_ {p} ^ {s}}$ (в Бесселевские потенциальные пространства ), а также пространства Бесова:

{displaystyle {egin {align} left (H_ {p_ {0}} ^ {s_ {0}}, H_ {p_ {1}} ^ {s_ {1}} ight) _ {heta} & = H_ {p_ {) heta}} ^ {s_ {heta}}, && s_ {0} eq s_ {1}, 1

Вещественная интерполяция между пространствами Соболева может дать пространства Бесова, кроме случаев, когда $s 0 = s 1$ ,

{displaystyle left (H_ {p_ {0}} ^ {s}, H_ {p_ {1}} ^ {s} ight) _ {heta, p_ {heta}} = H_ {p_ {heta}} ^ {s} .}

Когда $s 0 \neq s 1$ но $п 0 = п 1$ , вещественная интерполяция между пространствами Соболева дает пространство Бесова:

{displaystyle left (H_ {p} ^ {s_ {0}}, H_ {p} ^ {s_ {1}} ight) _ {heta, q} = B_ {p, q} ^ {s_ {heta}}, qquad s_ {0} eq s_ {1}.}

Также,

{displaystyle {egin {align} left (B_ {p, q_ {0}} ^ {s_ {0}}, B_ {p, q_ {1}} ^ {s_ {1}} ight) _ {heta, q}) & = B_ {p, q} ^ {s_ {heta}}, && s_ {0} eq s_ {1}. Left (B_ {p, q_ {0}} ^ {s}, B_ {p, q_ {1 }} ^ {s} ight) _ {heta, q} & = B_ {p, q_ {heta}} ^ {s}. left (B_ {p_ {0}, q_ {0}} ^ {s_ {0 }}, B_ {p_ {1}, q_ {1}} ^ {s_ {1}} ight) _ {heta, q_ {heta}} & = B_ {p_ {heta}, q_ {heta}} ^ {s_ {heta}}, && s_ {0} eq s_ {1}, p_ {heta} = q_ {heta} .end {выровнено}}}

Смотрите также

Примечания

^ Основополагающие работы в этом направлении Львы, Жак-Луи (1960), "Une construction d'espaces d'interpolation", C. R. Acad. Sci. Париж (На французском), 251: 1853–1855 и Кальдерон (1964).
^ впервые определено в Львов, Жак-Луи; Peetre, Jaak (1961), "Propriétés d'espaces d'interpolation", C. R. Acad. Sci. Париж (На французском), 253: 1747–1749, разработанный в Львы и Питр (1964), с обозначениями, немного отличающимися (и более сложными, с четырьмя параметрами вместо двух) от сегодняшних обозначений. Позднее он был помещен в сегодняшнюю форму в Петре, Яак (1963), "Nouvelles propriétés d'espaces d'interpolation", C. R. Acad. Sci. Париж (На французском), 256: 1424–1426, иПитре, Яак (1968), Теория интерполяции нормированных пространств, Notas de Matemática, 39, Рио-де-Жанейро: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Conselho Nacional de Pesquisas, стр. Iii + 86.
^ видеть Беннет и Шарпли (1988) С. 96–105.
^ см. стр. 88 дюйм Берг и Лёфстрём (1976).
^ см. теорему 4.1.2, с. 88 дюйм Берг и Лёфстрём (1976).
^ см. главу 5, с. 106 дюйм Берг и Лёфстрём (1976).
^ см. стр. 293–302 в Беннет и Шарпли (1988).
^ см. предложение 1.2, с. 294 дюйм Беннет и Шарпли (1988).
^ см. стр. 298 дюйм Беннет и Шарпли (1988).
^ см. теорему 2.8, с. 314 дюйм Беннет и Шарпли (1988).
^ см. предложение 1.10, с. 301 дюйм Беннет и Шарпли (1988)
^ см. теорему 1.12, стр. 301–302 в Беннет и Шарпли (1988).
^ см. теорему 1.9, с. 300 дюйм Беннет и Шарпли (1988).
^ см. определение 2.2, стр. 309–310 в Беннет и Шарпли (1988)
^ см. теорему 2.4, с. 311 дюйм Беннет и Шарпли (1988)
^ см. 12.3, с. 121 дюйм Кальдерон (1964).
^ ^а ^б см. 12.1 и 12.2, с. 121 дюйм Кальдерон (1964).
^ Теорема 4.1.4, с. 89 дюйм Берг и Лёфстрём (1976).
^ Теорема 4.3.1, с. 93 дюйм Берг и Лёфстрём (1976).
^ см. Теорема 3.1, с. 23 дюйм Львы и Питр (1964), или теорема 3.7.1, с. 54 дюйм Берг и Лёфстрём (1976).
^ см. гл. II в Львы и Питр (1964).
^ см. гл. 5, Теорема 2.2, стр. 37 дюйм Львы и Питр (1964).
^ Дэвис, Уильям Дж .; Фигиель, Тадеуш; Джонсон, Уильям Б.; Пелчинский, Александр (1974), "Факторизация слабо компактных операторов", Журнал функционального анализа, 17 (3): 311–327, Дои:10.1016/0022-1236(74)90044-5, см. также теорему 2.g.11, с. 224 дюйм Линденштраус и Цафрири (1979).
^ Джонсон, Уильям Б.; Lindenstrauss, Joram (2001), "Основные понятия геометрии банаховых пространств", Справочник по геометрии банаховых пространств, Vol. я, Амстердам: Северная Голландия, стр. 1–84., и раздел 2.g в Линденштраус и Цафрири (1979).
^ см. теорему 3.b.1, с. 123 дюйм Линденштраус, Иорам; Цафрири, Лиор (1977), Классические банаховы пространства I, пространства последовательностей, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете, 92, Берлин: Springer-Verlag, стр. Xiii + 188, ISBN 978-3-540-08072-5.
^ Теорема 6.4.5, с. 152 дюйм Берг и Лёфстрём (1976).

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки

Топологические векторные пространства (ТВС)
Базовые концепты	Банахово пространство Непрерывный линейный оператор Функционалы Гильбертово пространство Линейные операторы Локально выпуклое пространство Гомоморфизм Топологическое векторное пространство Векторное пространство
Основные результаты	Теорема о замкнутом графике Теорема Ф. Рисса Хан-Банах (разделение гиперплоскостей Векторнозначный Хан – Банах ) Открытое отображение (Банаха – Шаудера) (Ограниченный обратный ) Равномерная ограниченность (Банаха – Штейнгауза)
Карты	Почти открыто Билинейный (форма оператор ) и Полуторалинейные формы Закрыто Компактный оператор Непрерывный и Прерывистый Линейные карты Плотно очерченный Гомоморфизм Функционалы Норма Оператор Семинорм Сублинейный Транспонировать
Виды наборов	Абсолютно выпуклый / дисковый Поглощающий / Радиальный Аффинный Сбалансированный / По кругу Банаховые диски Граничные точки Ограниченный Дополненное подпространство Выпуклый Выпуклый конус (подмножество) Линейный конус (подмножество) Крайняя точка Предварительно компактный / полностью ограниченный Радиальный Радиально выпуклый / Звездообразный Симметричный
Установить операции	Аффинная оболочка (Относительный ) Алгебраический интерьер (основной) Выпуклый корпус Линейный пролет Дополнение Минковского Полярный (Квази ) Относительный интерьер
Типы ТВС	Асплунд B-Complete / Ptak Банах (Счетно ) Ствол (Ультра- ) Борнологический Браунер Полный (DF) -пространство Выдающийся F-пространство Фреше (приручить Фреше ) Гротендик Гильберта Infrabarreled Пространство интерполяции LB-пространство LF-пространство Локально выпуклое пространство Макки (Псевдо) Метризуемый Montel Квазибаррельский Квази-полный Квазинформированный (Полиномиально Полу- ) Рефлексивный Рис Шварц Полукомплект Смит Стереотип (B Строго Равномерно выпуклый (Квази ) Ультрабочий Равномерно гладкий Перепончатый С свойством аппроксимации

Пространство интерполяции - Interpolation space

Содержание

История

Настройка интерполяции

Комплексная интерполяция

Реальная интерполяция

К-метод

Пример

J-метод

Связь между методами интерполяции

Примеры

Теорема о повторении

Двойственность

Дискретные определения

Общий метод интерполяции

Интерполяция пространств Соболева и Бесова.

Смотрите также

Примечания

Рекомендации