Квазинорм - Quasinorm

В линейная алгебра, функциональный анализ и смежные области математика, а квазинорма похож на норма в том, что он удовлетворяет аксиомам нормы, за исключением того, что неравенство треугольника заменяется на

${displaystyle | x + y | leq K (| x | + | y ​​|)}$

для некоторых K > 0.

Связанные понятия

Определение:^[1] А квазинорма в векторном пространстве Икс карта с действительными значениями п на Икс который удовлетворяет следующим условиям:

1. Неотрицательность: п ≥ 0;
2. Абсолютная однородность: п(sx) = |s| п(Икс) для всех Икс ∈ Икс и все скаляры s;
3. существует k ≥ 1 такой, что п(Икс + у) ≤ k[п(Икс) + п(у)] для всех Икс, у ∈ Икс.

Если п это квазинорма на Икс тогда п индуцирует векторную топологию на Икс базис окрестности которого в начале координат задается множествами:^[1]

{ Икс ∈ Икс : п(Икс) < 1/п }

в качестве п пробегает положительные целые числа. А топологическое векторное пространство (TVS) с такой топологией называется квазинормированное пространство.

Каждый квазинформированный TVS является псевдометризуемый.

А векторное пространство с ассоциированной квазинормой называется квазинормированное векторное пространство.

А полный квазинормированное пространство называется квазибанахово пространство.

Квазинормированное пространство ${displaystyle (A, | cdot |)}$ называется квазинормированная алгебра если векторное пространство А является алгебра и есть постоянная K > 0 такой, что

${displaystyle | xy | leq K | x | cdot | y |}$

для всех ${displaystyle x, yin A}$.

Полная квазинормированная алгебра называется квазибанахова алгебра.

Характеристики

А топологическое векторное пространство (TVS) является квазинормированным пространством тогда и только тогда, когда оно имеет ограниченную окрестность начала координат.^[1]

Смотрите также

• Метризуемые ТВС
• Семинорм
• Топологическое векторное пространство - Векторное пространство с понятием близости

Рекомендации

• Aull, Charles E .; Роберт Лоуэн (2001). Справочник по истории общей топологии. Springer. ISBN  0-7923-6970-X.
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа. Springer. ISBN  0-387-97245-5.
• Никольский, Николай Капитонович (1992). Функциональный анализ I: линейный функциональный анализ. Энциклопедия математических наук. 19. Springer. ISBN  3-540-50584-9.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ. CRC Press. ISBN  0-8247-8643-2.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN  978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.