Пространство Асплунда - Asplund space

В математика - в частности, в функциональный анализ - ан Пространство Асплунда или же пространство сильной дифференцируемости это тип хорошо воспитанный Банахово пространство. Пространства Асплунда были введены в 1968 г. математик Эдгар Асплунд, кто интересовался Дифференцируемость по Фреше свойства Липшицевы функции на банаховых пространствах.

Эквивалентные определения

Есть много эквивалентных определений того, что это значит для банахова пространства. Икс быть Пространство Асплунда:

• Икс является Асплундом тогда и только тогда, когда каждый разделимое подпространство Y из Икс имеет отделимый непрерывное двойное пространство Y^∗.
• Икс является Асплундом тогда и только тогда, когда каждый непрерывный выпуклая функция на любом открыто выпуклое подмножество U из Икс дифференцируема по Фреше в точках плотный грамм_δ-подмножество из U.
• Икс является Асплундом тогда и только тогда, когда его двойственное пространство Икс^∗ имеет Радон-Никодымская недвижимость. Этот отель был основан Namioka & Phelps в 1975 году и Stegall в 1978 году.
• Икс является Асплундом тогда и только тогда, когда каждый непустой ограниченное подмножество своего двойного пространства Икс^∗ имеет слабые - ∗ - срезы сколь угодно малого диаметра.
• Икс является Асплундовым тогда и только тогда, когда каждая непустая слабо- ∗ компактный выпуклый подмножество двойственного пространства Икс^∗ является ∗ -слабо замкнутой выпуклый корпус его слабо- ∗ сильно открытые точки. В 1975 году Хафф и Моррис показали, что это свойство эквивалентно утверждению, что любое ограниченное, замкнутое и выпуклое подмножество сопряженного пространства Икс^∗ является замкнутой выпуклой оболочкой своих крайних точек.

Свойства пространств Асплунда

• Класс пространств Асплунда замкнут относительно топологических изоморфизмов: т. Е. Если Икс и Y - банаховы пространства, Икс это Асплунд, и Икс является гомеоморфный к Y, тогда Y также является пространством Асплунда.
• Каждый закрыто линейное подпространство пространства Асплунда - это пространство Асплунда.
• Каждый факторное пространство пространства Асплунда - это пространство Асплунда.
• Класс пространств Асплунда замкнут относительно расширений: если Икс является банаховым пространством и Y является подпространством Асплунда в Икс для которого фактор-пространство Икс ⁄ Y Асплунд, то Икс - Асплунд.
• Каждая локально липшицева функция на открытом подмножестве пространства Асплунда дифференцируема по Фреше в точках некоторого плотного подмножества ее области определения. Этот результат был установлен Preiss в 1990 г. и имеет приложения в теории оптимизации.
• Следующая теорема из оригинальной статьи Асплунда 1968 года является хорошим примером того, почему не-Асплундовские пространства ведут себя плохо: если Икс не является пространством Асплунда, то существует эквивалентная норма на Икс который не может быть дифференцируемым по Фреше в каждой точке Икс.
• В 1976 году Ekeland & Lebourg показали, что если Икс банахово пространство с эквивалентной нормой, дифференцируемой по Фреше вне начала координат, то Икс это пространство Асплунда. Однако в 1990 году Хейдон привел пример пространства Асплунда, которое не имеет эквивалентной нормы, которая Гато дифференцируемые вдали от происхождения.

Рекомендации

• Асплунд, Эдгар (1968). «Дифференцируемость по Фреше выпуклых функций». Acta Math. 121: 31–47. Дои:10.1007 / bf02391908. ISSN  0001-5962. МИСТЕР  0231199.
• Экеланд, Ивар; Лебур, Жерар (1976). "Общие задачи дифференцируемости по Фреше и возмущенной оптимизации в банаховых пространствах". Пер. Амер. Математика. Soc. 224 (2): 193–216 (1977). Дои:10.1090 / s0002-9947-1976-0431253-2. ISSN  0002-9947. МИСТЕР  0431253.
• Хейдон, Ричард (1990). «Контрпример к нескольким вопросам о рассеянных компактных пространствах». Бык. Лондонская математика. Soc. 22 (3): 261–268. Дои:10.1112 / blms / 22.3.261. ISSN  0024-6093. МИСТЕР  1041141.
• Huff, R.E .; Моррис, П. Д. (1975). «Двойственные пространства со свойством Крейна – Мильмана обладают свойством Радона – Никодима». Proc. Амер. Математика. Soc. 49: 104–108. Дои:10.1090 / с0002-9939-1975-0361775-9. ISSN  0002-9939. МИСТЕР  0361775.
• Намиока, И.; Фелпс, Р. (1975). «Банаховы пространства, являющиеся пространствами Асплунда». Duke Math. J. 42 (4): 735–750. Дои:10.1215 / s0012-7094-75-04261-1. HDL:10338.dmlcz / 127336. ISSN  0012-7094. МИСТЕР  0390721.
• Прейсс, Дэвид (1990). «Дифференцируемость липшицевых функций на банаховых пространствах». J. Funct. Анальный. 91 (2): 312–345. Дои:10.1016 / 0022-1236 (90) 90147-Д. ISSN  0022-1236. МИСТЕР  1058975.
• Стегалл, Чарльз (1978). «Двойственность между пространствами Асплунда и пространствами со свойством Радона – Никодима». Исраэль Дж. Математика. 29 (4): 408–412. Дои:10.1007 / bf02761178. ISSN  0021-2172. МИСТЕР  0493268.