Теорема Рисса – Торина - Riesz–Thorin theorem

В математика, то Теорема Рисса – Торина, часто называемый Интерполяционная теорема Рисса – Торина. или Теорема Рисса – Торина о выпуклости, результат о интерполяция операторов. Он назван в честь Марсель Рис и его ученик Г. Улоф Торин.

Эта теорема ограничивает нормы линейных отображений, действующих между L^п пробелы. Его полезность связана с тем, что некоторые из этих пространств имеют более простую структуру, чем другие. Обычно это относится к L² который является Гильбертово пространство, или в L¹ и L^∞. Поэтому можно доказать теоремы о более сложных случаях, доказав их в двух простых случаях, а затем с помощью теоремы Рисса – Торина перейти от простых случаев к сложным. В Теорема Марцинкевича аналогично, но применимо также к классу нелинейных карт.

Мотивация

Для начала нам понадобится следующее определение:

Определение. Позволять п₀, п₁ быть двумя числами такими, что 0 < п₀ < п₁ ≤ ∞. Тогда для 0 < θ < 1 определять п_θ к:  1/п_θ = 1 − θ/п₀ + θ/п₁.

Разделив функцию  ж  в L^п_θ как продукт | ж | = | ж |^1−θ | ж |^θ и применяя Неравенство Гёльдера к его п_θ мощности, мы получаем следующий результат, основополагающий при изучении L^п-пространства:

Предложение (лог-выпуклость L^п-нормы). Каждый  ж  ∈ L^п₀ ∩ L^п₁ удовлетворяет:

${ Displaystyle | е | _ {p _ { theta}} leq | f | _ {p_ {0}} ^ {1- theta} | f | _ {p_ {1}} ^ { theta}.}$

Этот результат, название которого происходит от выпуклости карты ​¹⁄_п ↦ журнал ||ж ||_п на [0, ∞], следует, что L^п₀ ∩ L^п₁ ⊂ L^п_θ.

С другой стороны, если взять разложение слоеного пирога  ж  =  ж 1_{{| ж |>1}} +  ж 1_{{| ж |≤1}}, то мы видим, что  ж 1_{{| ж |>1}} ∈ L^п₀ и  ж 1_{{| ж |≤1}} ∈ L^п₁, откуда получаем следующий результат:

Предложение. Каждый  ж  в L^п_θ можно записать в виде суммы:  ж  = грамм + час, куда грамм ∈ L^п₀ и час ∈ L^п₁.

В частности, из приведенного выше результата следует, что L^п_θ входит в L^п₀ + L^п₁, то сумма из L^п₀ и L^п₁ в пространстве всех измеримых функций. Таким образом, мы имеем следующую цепочку включений:

Следствие. L^п₀ ∩ L^п₁ ⊂ L^п_θ ⊂ L^п₀ + L^п₁.

На практике мы часто сталкиваемся с операторы определены на сумма L^п₀ + L^п₁. Например, Лемма Римана – Лебега. показывает, что преобразование Фурье карты L¹(р^d) ограниченно в L^∞(р^d), и Теорема Планшереля показывает, что преобразование Фурье отображает L²(р^d) ограниченно в себя, поэтому преобразование Фурье ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ распространяется на (L¹ + L²) (р^d) установив

${ displaystyle { mathcal {F}} (f_ {1} + f_ {2}) = { mathcal {F}} _ {L ^ {1}} (f_ {1}) + { mathcal {F} } _ {L ^ {2}} (е_ {2})}$

для всех  ж₁  ∈ L¹(р^d) и  ж₂  ∈ L²(р^d). Поэтому естественно исследовать поведение таких операторов на промежуточные подпространства L^п_θ.

Для этого вернемся к нашему примеру и заметим, что преобразование Фурье на множестве сумм L¹ + L² был получен путем суммирования двух экземпляров одного и того же оператора, а именно

${ displaystyle { mathcal {F}} _ {L ^ {1}}: L ^ {1} ( mathbf {R} ^ {d}) to L ^ { infty} ( mathbf {R} ^ {d}),}$

${ displaystyle { mathcal {F}} _ {L ^ {2}}: L ^ {2} ( mathbf {R} ^ {d}) to L ^ {2} ( mathbf {R} ^ { d}).}$

Это действительно одно и тоже оператор, в том смысле, что они согласовывают подпространство (L¹ ∩ L²) (р^d). Поскольку пересечение содержит простые функции, он плотный в обоих L¹(р^d) и L²(р^d). Плотно определенные непрерывные операторы допускают уникальные расширения, поэтому мы вправе рассматривать ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {L ^ {1}}}$ и ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {L ^ {2}}}$ быть одинаковый.

Таким образом, проблема изучения операторов на сумме L^п₀ + L^п₁ существенно сводится к изучению операторов, отображающих два естественных доменных пространства, L^п₀ и L^п₁, ограниченно двумя целевыми пространствами: L^q₀ и L^q₁, соответственно. Поскольку такие операторы отображают пространство сумм L^п₀ + L^п₁ к L^q₀ + L^q₁, естественно ожидать, что эти операторы отображают промежуточное пространство L^п_θ в соответствующее промежуточное пространство L^q_θ.

Формулировка теоремы

Есть несколько способов сформулировать интерполяционную теорему Рисса – Торина;^[1] для согласования с обозначениями в предыдущем разделе мы будем использовать формулировку суммы.

Интерполяционная теорема Рисса – Торина.. Позволять (Ω₁, Σ₁, μ₁) и (Ω₂, Σ₂, μ₂) быть σ-конечная мера пробелы. Предполагать 1 ≤ п₀ , q₀ , п₁ , q₁ ≤ ∞, и разреши Т : L^п₀(μ₁) + L^п₁(μ₁) → L^q₀(μ₂) + L^q₁(μ₂) быть линейный оператор который ограниченно карты L^п₀(μ₁) в L^q₀(μ₂) и L^п₁(μ₁) в L^q₁(μ₂). За 0 < θ < 1, позволять п_θ, q_θ быть определенным, как указано выше. потом Т ограниченно отображает L^п_θ(μ₁) в L^q_θ(μ₂) и удовлетворяет норма оператора оценивать

${ displaystyle | T | _ {L ^ {p _ { theta}} к L ^ {q _ { theta}}} leq | T | _ {L ^ {p_ {0}} to L ^ {q_ {0}}} ^ {1- theta} | T | _ {L ^ {p_ {1}} to L ^ {q_ {1}}} ^ { theta}.}$

Другими словами, если Т одновременно из тип (п₀, q₀) и типа (п₁, q₁), тогда Т относится к типу (п_θ, q_θ) для всех 0 < θ < 1. Таким образом, интерполяционная теорема поддается наглядному описанию. В самом деле, диаграмма Рисса из Т это совокупность всех точек (1/п, 1/q) в единичной площади [0, 1] × [0, 1] такой, что Т относится к типу (п, q). Интерполяционная теорема утверждает, что диаграмма Рисса Т является выпуклым множеством: учитывая две точки на диаграмме Рисса, отрезок линии, соединяющий их, также будет на диаграмме.

Первоначально интерполяционная теорема была сформулирована и доказана Марсель Рис в 1927 г.^[2] В статье 1927 г. теорема устанавливается только для нижний треугольник диаграммы Рисса, а именно, с ограничением, что п₀ ≤ q₀ и п₁ ≤ q₁. Улоф Торин распространил интерполяционную теорему на весь квадрат, сняв ограничение нижнего треугольника. Доказательство Торина было первоначально опубликовано в 1938 году и впоследствии было расширено в его диссертации 1948 года.^[3]

Эскиз доказательства

Классическое доказательство интерполяционной теоремы Рисса – Торина в значительной степени опирается на Теорема Адамара о трех линиях для установления необходимых границ, хотя возможна версия, исключающая использование комплексного анализа.^[4] Посредством характеризация двойственных пространств L^п-пространства, Мы видим, что

${ Displaystyle | Tf | _ {q _ { theta}} = sup _ { | g | _ {p _ { theta}} leq 1} left | int (Tf) g , d mu _ {2} right |.}$

Соответствующим образом определяя варианты  ж_z  и грамм_z из  ж  и грамм для каждого z в C, получаем вся функция

${ displaystyle phi (z) = int left (Tf_ {z} right) g_ {z} , d mu _ {2}}$

чья ценность в z = θ является

${ displaystyle int (Tf) g.}$

Затем мы можем использовать гипотезы, чтобы установить верхние оценки Φ на линиях Re (z) = 0 и Re (z) = 1, откуда Теорема Адамара о трех линиях устанавливает интерполированную границу Φ на линии Re (z) = θ. Теперь достаточно проверить, что оценка при z = θ это то, что мы хотели.

Интерполяция аналитических семейств операторов

Схема доказательства, представленная в предыдущем разделе, легко обобщается на случай, когда оператор Т допускается аналитическое изменение. Фактически, аналогичное доказательство можно провести, чтобы установить оценку всей функции

${ displaystyle varphi (z) = int (T_ {z} f_ {z}) g_ {z} , d mu _ {2},}$

откуда получаем следующую теорему Элиас Штайн, опубликованный в его диссертации 1956 года:^[5]

Интерполяционная теорема Штейна. Позволять (Ω₁, Σ₁, μ₁) и (Ω₂, Σ₂, μ₂) быть σ-конечная мера пробелы. Предполагать 1 ≤ п₀ , п₁ ≤ ∞, 1 ≤ q₀ , q₁ ≤ ∞, и определите:

S = {z ∈ C : 0 z) < 1} ,

S = {z ∈ C : 0 ≤ Re (z) ≤ 1} .

Возьмем набор линейных операторов {Т_z : z ∈ S} на пространстве простых функций в L¹(μ₁) в пространство всех μ₂-измеримые функции на Ω₂. Мы предполагаем следующие свойства этого набора линейных операторов:

• Отображение

${ displaystyle z mapsto int (T_ {z} f) g , d mu _ {2}}$

продолжается на S и голоморфный на S для всех простых функций  ж  и грамм.

• Для некоторой постоянной k < π, операторы удовлетворяют равномерной оценке:

${ displaystyle sup _ {z in S} e ^ {- k | { text {Im}} (z) |} log left | int (T_ {z} f) g , mu _ {2} right | < infty}$

• Т_z карты L^п₀(μ₁) ограниченно к L^q₀(μ₂) в любое время Re (z) = 0.
• Т_z карты L^п₁(μ₁) ограниченно L^q₁(μ₂) в любое время Re (z) = 1.
• Нормы операторов удовлетворяют равномерной оценке

${ displaystyle sup _ {{ text {Re}} (z) = 0,1} e ^ {- k | { text {Im}} (z) |} log left | T_ {z} right | < infty}$ для некоторой постоянной k < π.

Затем для каждого 0 < θ < 1, Оператор Т_θ карты L^п_θ(μ₁) ограниченно в L^q_θ(μ₂).

Теория настоящие пространства Харди и пространство ограниченных средних колебаний позволяет нам использовать аргумент интерполяционной теоремы Штейна при работе с операторами в пространстве Харди ЧАС¹(р^d) и пространство BMO ограниченных средних колебаний; это результат Чарльз Фефферман и Элиас Штайн.^[6]

Приложения

Неравенство Хаусдорфа – Юнга.

Это было показано в первая секция что преобразование Фурье ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ карты L¹(р^d) ограниченно в L^∞(р^d) и L²(р^d) в себя. Аналогичный аргумент показывает, что Оператор ряда Фурье, который преобразует периодические функции  ж  : Т → C в функции ${ displaystyle { hat {f}}: mathbf {Z} to mathbf {C}}$ значениями которых являются коэффициенты Фурье

${ displaystyle { hat {f}} (n) = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) e ^ {- inx} , dx}$,

карты L¹(Т) ограниченно в ℓ^∞(Z) и L²(Т) в ℓ²(Z). Теперь из интерполяционной теоремы Рисса – Торина следует следующее:

${ Displaystyle { begin {align} left | { mathcal {F}} f right | _ {L ^ {q} ( mathbf {R} ^ {d})} & leq | f | _ {L ^ {p} ( mathbf {R} ^ {d})} left | { hat {f}} right | _ { ell ^ {q} ( mathbf { Z})} & leq | f | _ {L ^ {p} ( mathbf {T})} end {align}}}$

куда 1 ≤ п ≤ 2 и 1/п + 1/q = 1. Это Неравенство Хаусдорфа – Юнга..

Неравенство Хаусдорфа – Юнга также может быть установлено для Преобразование Фурье на локально компактных абелевых группах. Оценка нормы 1 не является оптимальной. Видеть основная статья для справок.

Операторы свертки

Позволять  ж  - фиксированная интегрируемая функция и пусть Т быть оператором свертки с  ж , т.е. для каждой функции грамм у нас есть Tg =  ж  * грамм.

Хорошо известно, что Т ограничен L¹ к L¹ и тривиально, что он ограничен L^∞ к L^∞ (обе границы || ж ||₁). Следовательно, теорема Рисса – Торина дает

${ Displaystyle | е * г | _ {p} leq | f | _ {1} | g | _ {p}.}$

Мы берем это неравенство и меняем роль оператора и операнда, или, другими словами, думаем о S как оператор свертки с грамм, и получить это S ограничен от L¹ к L^п. Далее, поскольку грамм в L^п получаем с учетом неравенства Гёльдера, что S ограничен L^q к L^∞, где снова 1/п + 1/q = 1. Итак, интерполируя, получаем

${ displaystyle | е * г | _ {s} leq | f | _ {r} | g | _ {p}}$

где связь между п, р и s является

${ displaystyle { frac {1} {r}} + { frac {1} {p}} = 1 + { frac {1} {s}}.}$

Преобразование Гильберта

В Преобразование Гильберта из  ж  : р → C дан кем-то

${ displaystyle { mathcal {H}} f (x) = { frac {1} { pi}} , mathrm {pv} int _ {- infty} ^ { infty} { frac { f (xt)} {t}} , dt = left ({ frac {1} { pi}} , mathrm {pv} { frac {1} {t}} ast f right) (Икс),}$

где п.в. указывает на Главное значение Коши интеграла. Преобразование Гильберта - это Оператор множителя Фурье с особенно простым множителем:

${ displaystyle { widehat {{ mathcal {H}} f}} ( xi) = - i , mathrm {sgn} ( xi) { hat {f}} ( xi).}$

Это следует из Теорема Планшереля что преобразование Гильберта отображает L²(р) ограниченно в себя.

Тем не менее преобразование Гильберта не ограничено на L¹(р) или же L^∞(р), поэтому мы не можем напрямую использовать интерполяционную теорему Рисса – Торина. Чтобы понять, почему у нас нет этих границ конечных точек, достаточно вычислить преобразование Гильберта простых функций 1_(−1,1)(Икс) и 1_(0,1)(Икс) − 1_(0,1)(−Икс). Однако мы можем показать, что

${ displaystyle ({ mathcal {H}} f) ^ {2} = f ^ {2} +2 { mathcal {H}} (f { mathcal {H}} f)}$

для всех Функции Шварца  ж  : р → C, и этот идентификатор можно использовать вместе с Неравенство Коши – Шварца чтобы показать, что преобразование Гильберта отображает L^2п(р^d) ограниченно в себя для всех п ≥ 2. Теперь интерполяция устанавливает границу

${ displaystyle | { mathcal {H}} f | _ {p} leq A_ {p} | f | _ {p}}$

для всех 2 ≤ п < ∞, а самосопряженность преобразования Гильберта можно использовать для переноса этих оценок на 1 < п ≤ 2 дело.

Сравнение с реальным методом интерполяции

Хотя интерполяционная теорема Рисса – Торина и ее варианты являются мощными инструментами, дающими точную оценку норм интерполированных операторов, они страдают множеством недостатков: некоторые незначительные, некоторые более серьезные. Прежде всего отметим, что комплексно-аналитический характер доказательства интерполяционной теоремы Рисса – Торина заставляет скалярное поле быть C. Для функций с расширенными действительными значениями это ограничение можно обойти, переопределив функцию как конечную всюду - возможно, поскольку каждая интегрируемая функция должна быть конечной почти всюду. Более серьезным недостатком является то, что на практике многие операторы, такие как Максимальный оператор Харди – Литтлвуда и Операторы Кальдерона – Зигмунда, не имеют хороших оценок конечных точек.^[7] В случае преобразования Гильберта в предыдущем разделе мы смогли обойти эту проблему, явно вычислив оценки нормы в нескольких промежуточных точках. Это обременительно и часто невозможно в более общих сценариях. Поскольку многие такие операторы удовлетворяют оценки слабого типа

${ displaystyle mu left ( {x: Tf (x)> alpha } right) leq left ({ frac {C_ {p, q} | f | _ {p}} { alpha}} right) ^ {q},}$

реальные интерполяционные теоремы, такие как Интерполяционная теорема Марцинкевича лучше подходят для них. Кроме того, большое количество важных операторов, таких как Максимальный оператор Харди-Литтлвуда, только сублинейный. Это не помеха для применения реальных методов интерполяции, но сложные методы интерполяции плохо приспособлены для обработки нелинейных операторов. С другой стороны, реальные методы интерполяции, по сравнению со сложными методами интерполяции, имеют тенденцию давать худшие оценки для норм промежуточных операторов и не так хорошо ведут себя за пределами диагонали на диаграмме Рисса. Недиагональные версии интерполяционной теоремы Марцинкевича требуют формализма Пространства Лоренца и не обязательно производить оценки нормы на L^п-пространства.

Теорема Митягина

Б. Митягин расширил теорему Рисса – Торина; это расширение сформулировано здесь в частном случае пространства последовательностей с безусловные основания (см. ниже).

Предполагать:

${ displaystyle | A | _ { ell _ {1} to ell _ {1}}, | A | _ { ell _ { infty} to ell _ { infty}} leq M.}$

потом

${ Displaystyle | А | _ {Х к Х} Leq M}$

для любого безусловного банахова пространства последовательностей Икс, то есть для любого ${ displaystyle (x_ {i}) in X}$ и любой ${ Displaystyle ( varepsilon _ {я}) in {- 1,1 } ^ { infty}}$, ${ displaystyle | ( varepsilon _ {i} x_ {i}) | _ {X} = | (x_ {i}) | _ {X}}$.

Доказательство основано на Теорема Крейна – Мильмана.

Смотрите также

• Интерполяционная теорема Марцинкевича
• Пространство интерполяции

Примечания

Рекомендации

• Dunford, N .; Шварц, Дж. (1958), Линейные операторы, части I и II, Wiley-Interscience.
• Фефферман, Чарльз; Штейн, Элиас М. (1972) "${ displaystyle H ^ {p}}$ Пространства нескольких переменных », Acta Mathematica, 129: 137–193, Дои:10.1007 / bf02392215
• Глазман, И.М .; Любич, Ю.И. (1974), Конечномерный линейный анализ: систематическое изложение в форме задачи, Кембридж, Массачусетс .: M.I.T. Нажмите. Перевод с русского под редакцией Г. П. Баркера и Г. Куэрти.
• Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I, Grundl. Математика. Wissenschaft., 256, Спрингер, Дои:10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN  3-540-12104-8, МИСТЕР  0717035.
• Митягин [Митягин], Б.С. (1965), "Интерполяционная теорема для модулярных пространств". (Русский)", Мат. Сб. (Н.С.), 66 (108): 473–482.
• Торин, Г. О. (1948), "Теоремы о выпуклости, обобщающие теоремы М. Рисса и Адамара с некоторыми приложениями", Comm. Сем. Математика. Univ. Лунд [Medd. Lunds Univ. Мат. Сем.], 9: 1–58, МИСТЕР  0025529
• Рис, Марсель (1927), "Sur les maxima des formes bilinéaires et sur les fonctionnelles linéaires", Acta Mathematica, 49 (3–4): 465–497, Дои:10.1007 / bf02564121
• Штейн, Элиас М. (1956), "Интерполяция линейных операторов", Пер. Амер. Математика. Soc., 83 (2): 482–492, Дои:10.1090 / s0002-9947-1956-0082586-0
• Stein, Elias M .; Шакарчи, Рами (2011), Функциональный анализ: введение в дополнительные темы анализа, Princeton University Press
• Stein, Elias M .; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах, Princeton University Press

внешняя ссылка

• "Теорема Рисса о выпуклости", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]