Неравенство свертки Юнга - Википедия - Youngs convolution inequality

В математика, Неравенство свертки Юнга это математическое неравенство о свертка двух функций,^[1] названный в честь Уильям Генри Янг.

Заявление

Евклидово пространство

В реальный анализ, следующий результат называется неравенством свертки Юнга:^[2]

Предполагать ж в L^п(р^d) и грамм в L^q(р^d) и

${ displaystyle { frac {1} {p}} + { frac {1} {q}} = { frac {1} {r}} + 1}$

с 1 ≤ п, q ≤ р ≤ ∞. потом

${ displaystyle | е * г | _ {r} leq | f | _ {p} | g | _ {q}.}$

Здесь звездочка обозначает свертка, L^п является Пространство Лебега, и

${ Displaystyle | е | _ {p} = { Bigl (} int _ { mathbf {R} ^ {d}} | f (x) | ^ {p} , dx { Bigr)} ^ {1 / p}}$

обозначает обычный L^п норма.

Эквивалентно, если ${ displaystyle p, q, r geq 1}$ и ${ displaystyle textstyle { frac {1} {p}} + { frac {1} {q}} + { frac {1} {r}} = 2}$ тогда

${ displaystyle int _ { mathbf {R} ^ {d}} int _ { mathbf {R} ^ {d}} f (x) g (xy) h (y) , mathrm {d} x , mathrm {d} y leq left ( int _ { mathbf {R} ^ {d}} vert f vert ^ {p} right) ^ { frac {1} {p} } left ( int _ { mathbf {R} ^ {d}} vert g vert ^ {q} right) ^ { frac {1} {q}} left ( int _ { mathbf {R} ^ {d}} vert h vert ^ {r} right) ^ { frac {1} {r}}}$

Обобщения

Неравенство свертки Юнга имеет естественное обобщение, в котором мы заменяем ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ по унимодулярная группа ${ displaystyle G}$. Если мы позволим ${ displaystyle mu}$ быть биинвариантным Мера Хаара на ${ displaystyle G}$ и мы позволяем ${ displaystyle f, g: G to mathbb {R}}$ или же ${ Displaystyle mathbb {C}}$ - интегрируемые функции, то определим ${ displaystyle f * g}$ к

${ displaystyle f * g (x) = int _ {G} f (y) g (y ^ {- 1} x) , mathrm {d} mu (y).}$

Тогда в этом случае неравенство Юнга утверждает, что для ${ displaystyle f in L ^ {p} (G, mu)}$ и ${ displaystyle g in L ^ {q} (G, mu)}$ и ${ displaystyle p, q, r in [1, infty]}$ такой, что

${ displaystyle { frac {1} {p}} + { frac {1} {q}} = { frac {1} {r}} + 1}$

у нас есть связь

${ displaystyle lVert f * g rVert _ {r} leq lVert f rVert _ {p} lVert g rVert _ {q}.}$

Эквивалентно, если ${ displaystyle p, q, r geq 1}$ и ${ displaystyle textstyle { frac {1} {p}} + { frac {1} {q}} + { frac {1} {r}} = 2}$ тогда

${ displaystyle int _ {G} int _ {G} f (x) g (y ^ {- 1} x) h (y) , mathrm {d} mu (x) , mathrm { d} mu (y) leq left ( int _ {G} vert f vert ^ {p} right) ^ { frac {1} {p}} left ( int _ {G} vert g vert ^ {q} right) ^ { frac {1} {q}} left ( int _ {G} vert h vert ^ {r} right) ^ { frac {1 }{р}}.}$

С ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ на самом деле является локально компактной абелевой группой (и, следовательно, унимодулярной) с мерой Лебега - искомой мерой Хаара, это фактически обобщение.

Приложения

В качестве примера можно привести неравенство Юнга, чтобы показать, что тепловая полугруппа является сжимающейся полугруппой, использующей L² норма (т.е. Преобразование Вейерштрасса не увеличивает L² норма).

Доказательство

Доказательство неравенством Гёльдера.

Неравенство Юнга имеет элементарное доказательство с неоптимальной константой 1.^[3]

Мы предполагаем, что функции ${ displaystyle f, g, h: G to mathbb {R}}$ неотрицательны и интегрируемы, где ${ displaystyle G}$ является унимодулярной группой с биинвариантной мерой Хаара ${ displaystyle mu}$. Мы используем тот факт, что ${ Displaystyle му (S) = му (S ^ {- 1})}$ для любых измеримых ${ Displaystyle S подмножество G}$.С ${ displaystyle textstyle p (2 - { frac {1} {q}} - { frac {1} {r}}) = q (2 - { frac {1} {p}} - { frac {1} {r}}) = r (2 - { frac {1} {p}} - { frac {1} {q}}) = 1}$

${ displaystyle int _ {G} int _ {G} f (x) g (y ^ {- 1} x) h (y) , mathrm {d} mu (x) , mathrm { d} mu (y) = int _ {G} int _ {G} left (f (x) ^ {p} g (y ^ {- 1} x) ^ {q} right) ^ { 1 - { frac {1} {r}}} left (f (x) ^ {p} h (y) ^ {r} right) ^ {1 - { frac {1} {q}}} left (g (y ^ {- 1} x) ^ {q} h (y) ^ {r} right) ^ {1 - { frac {1} {p}}} , mathrm {d} му (х) , mathrm {d} mu (y)}$

Посредством Неравенство Гёльдера для трех функций выводим, что

${ displaystyle int _ {G} int _ {G} f (x) g (y ^ {- 1} x) h (y) , mathrm {d} mu (x) , mathrm { d} mu (y) leq left ( int _ {G} int _ {G} f (x) ^ {p} g (y ^ {- 1} x) ^ {q} , mathrm {d} mu (x) , mathrm {d} mu (y) right) ^ {1 - { frac {1} {r}}} left ( int _ {G} int _ {G} f (x) ^ {p} h (y) ^ {r} , mathrm {d} mu (x) , mathrm {d} mu (y) right) ^ {1- { frac {1} {q}}} left ( int _ {G} int _ {G} g (y ^ {- 1} x) ^ {q} h (y) ^ {r} , mathrm {d} mu (x) , mathrm {d} mu (y) right) ^ {1 - { frac {1} {p}}}.}$

Заключение следует из левоинвариантности меры Хаара, сохранения интегралов при обращении области и из Теорема Фубини.

Доказательство интерполяцией

Неравенство Юнга также можно доказать интерполяцией; см. статью о Интерполяция Рисса – Торина для доказательства.

Постоянная резкости

В случае п, q > 1 Неравенство Юнга можно усилить до точного вида с помощью

${ displaystyle | f * g | _ {r} leq c_ {p, q} | f | _ {p} | g | _ {q}.}$

где постоянная c_п,q < 1.^[4][5][6] Когда эта оптимальная константа достигается, функция ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$ находятся многомерные гауссовские функции.

Примечания

внешняя ссылка

• Неравенство Юнга для сверток в ProofWiki