Неравенство свертки Юнга - Википедия - Youngs convolution inequality

В математика, Неравенство свертки Юнга это математическое неравенство о свертка двух функций,[1] названный в честь Уильям Генри Янг.

Заявление

Евклидово пространство

В реальный анализ, следующий результат называется неравенством свертки Юнга:[2]

Предполагать ж в Lп(рd) и грамм в Lq(рd) и

с 1 ≤ п, qр ≤ ∞. потом

Здесь звездочка обозначает свертка, Lп является Пространство Лебега, и

обозначает обычный Lп норма.

Эквивалентно, если и тогда

Обобщения

Неравенство свертки Юнга имеет естественное обобщение, в котором мы заменяем по унимодулярная группа . Если мы позволим быть биинвариантным Мера Хаара на и мы позволяем или же - интегрируемые функции, то определим к

Тогда в этом случае неравенство Юнга утверждает, что для и и такой, что

у нас есть связь

Эквивалентно, если и тогда

С на самом деле является локально компактной абелевой группой (и, следовательно, унимодулярной) с мерой Лебега - искомой мерой Хаара, это фактически обобщение.

Приложения

В качестве примера можно привести неравенство Юнга, чтобы показать, что тепловая полугруппа является сжимающейся полугруппой, использующей L2 норма (т.е. Преобразование Вейерштрасса не увеличивает L2 норма).

Доказательство

Доказательство неравенством Гёльдера.

Неравенство Юнга имеет элементарное доказательство с неоптимальной константой 1.[3]

Мы предполагаем, что функции неотрицательны и интегрируемы, где является унимодулярной группой с биинвариантной мерой Хаара . Мы используем тот факт, что для любых измеримых

Посредством Неравенство Гёльдера для трех функций выводим, что

Заключение следует из левоинвариантности меры Хаара, сохранения интегралов при обращении области и из Теорема Фубини.

Доказательство интерполяцией

Неравенство Юнга также можно доказать интерполяцией; см. статью о Интерполяция Рисса – Торина для доказательства.

Постоянная резкости

В случае пq > 1 Неравенство Юнга можно усилить до точного вида с помощью

где постоянная cп,q < 1.[4][5][6] Когда эта оптимальная константа достигается, функция и находятся многомерные гауссовские функции.

Примечания

  1. ^ Янг, В. Х. (1912), «Об умножении последовательностей констант Фурье», Труды Королевского общества А, 87 (596): 331–339, Дои:10.1098 / RSPA.1912.0086, JFM  44.0298.02, JSTOR  93120
  2. ^ Богачев, Владимир Иванович (2007), Теория измерения, я, Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-34513-8, МИСТЕР  2267655, Zbl  1120.28001, Теорема 3.9.4
  3. ^ Либ, Эллиотт Х.; Потеря, Майкл (2001). Анализ. Аспирантура по математике (2-е изд.). Провиденс, Р.И .: Американское математическое общество. п. 100. ISBN  978-0-8218-2783-3. OCLC  45799429.
  4. ^ Бекнер, Уильям (1975). «Неравенства в анализе Фурье». Анналы математики. 102 (1): 159–182. Дои:10.2307/1970980. JSTOR  1970980.
  5. ^ Браскэмп, Херм Ян; Либ, Эллиотт Х (1976-05-01). «Лучшие константы в неравенстве Юнга, его обратное и его обобщение на более чем три функции». Успехи в математике. 20 (2): 151–173. Дои:10.1016/0001-8708(76)90184-5.
  6. ^ Фурнье, Джон Дж. Ф. (1977), «Резкость в неравенстве Юнга для свертки», Pacific J. Math., 72 (2): 383–397, Дои:10.2140 / pjm.1977.72.383, МИСТЕР  0461034, Zbl  0357.43002

внешняя ссылка