Ограниченное среднее колебание - Bounded mean oscillation

В гармонический анализ в математика, функция ограниченное среднее колебание, также известный как BMO функция, это функция с действительным знаком среднее колебание которого ограничено (конечно). Пространство функций ограниченное среднее колебание (BMO), это функциональное пространство что в некотором точном смысле играет ту же роль в теории Пространства Харди ЧАС^п что пространство L^∞ из существенно ограниченные функции играет в теории L^п-пространства: его еще называют Пространство Джона – Ниренберга, после Фриц Джон и Луи Ниренберг который представил и изучил его впервые.

Историческая справка

В соответствии с Ниренберг (1985 г., п. 703 и стр. 707),^[1] пространство функций ограниченного среднего колебания было введено Джон (1961, pp. 410–411) в связи с его исследованиями сопоставления из ограниченное множество Ω принадлежащий р^п в р^п и соответствующие проблемы, возникающие из теория упругости, именно из концепции упругая деформация: основные обозначения были введены в следующей статье Джон и Ниренберг (1961),^[2] где были доказаны некоторые свойства этих функциональных пространств. Следующим важным шагом в развитии теории стало доказательство Чарльз Фефферман^[3] из двойственность между BMO и Харди космос ЧАС¹, в отмеченной статье Фефферман и Штейн, 1972 г.: конструктивное доказательство этого результата, вводящее новые методы и начинающее дальнейшее развитие теории, было дано Акихито Учияма.^[4]

Определение

Определение 1. В среднее колебание из локально интегрируемая функция ты через гиперкуб^[5] Q в р^п определяется как значение следующих интеграл:

${displaystyle {frac {1} {| Q |}} int _ {Q} | u (y) -u_ {Q} |, mathrm {d} y}$

куда

• |Q| это объем из Q, т.е. его Мера Лебега
• ты_Q среднее значение ты на кубе Q, т.е.

${displaystyle u_ {Q} = {frac {1} {| Q |}} int _ {Q} u (y), mathrm {d} y.}$

Определение 2. А BMO функция является локально интегрируемой функцией ты чье среднее колебание супремум, взял на себя множество всех кубики Q содержалась в р^п, конечно.

Примечание 1. Верхняя грань среднего колебания называется BMO норма из ты.^[6] и обозначается ||ты||_BMO (а в некоторых случаях также обозначается ||ты||_∗).

Заметка 2. Использование кубики Q в р^п как интеграция домены на котором среднее колебание рассчитывается, не обязательно: Вигеринк (2001) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFWiegerinck2001 (помощь) использует мячи вместо этого и, как заметил Штейн (1993, п. 140), при этом совершенно эквивалентное определение функции ограниченного среднего колебания.

Обозначение

• Общепринятая нотация, используемая для набора функций BMO в данной области Ω является BMO(Ω): когда Ω = р^п, BMO(р^п) просто обозначается как BMO.
• В BMO норма данной функции BMO ты обозначается ||ты||_BMO: в некоторых случаях также обозначается как ||ты||_∗.

Основные свойства

BMO функции локально п–Интегрируемый

BMO функции локально L^п если 0 < п <∞, но может не быть локально ограниченным. Фактически, используя неравенство Джона-Ниренберга, мы можем доказать, что

${displaystyle | u | _ {BMO} simeq sup _ {Q} left ({frac {1} {| Q |}} int _ {Q} | u-u_ {Q} | ^ {p} dxight) ^ {1 /п}}$.

BMO - это банахово пространство

Постоянные функции имеют нулевое среднее колебание, поэтому функции, различающиеся для постоянного c > 0 могут иметь одно и то же значение нормы BMO, даже если их разница не равна нулю почти всюду. Следовательно, функция ||ты||_BMO собственно норма на факторное пространство функций BMO по модулю пространство постоянные функции на рассматриваемом домене.

Средние значения соседних кубиков сопоставимы

Как следует из названия, среднее или среднее значение функции в BMO не сильно колеблется при вычислении кубов, расположенных близко друг к другу по положению и масштабу. Именно, если Q и р находятся диадические кубики так, чтобы их границы соприкасались, а длина стороны Q составляет не менее половины длины стороны р (и наоборот), то

${displaystyle | f_ {R} -f_ {Q} | leq C | f | _ {BMO}}$

куда C > 0 - некоторая универсальная постоянная. Это свойство фактически эквивалентно ж находясь в BMO, то есть если ж - локально интегрируемая функция такая, что |ж_р−ж_Q| ≤ C для всех диадических кубиков Q и р смежные в смысле, описанном выше, и ж находится в диадическом BMO (где супремум берется только для диадических кубов Q), тогда ж находится в BMO.^[7]

BMO - двойственное векторное пространство ЧАС¹

Фефферман (1971) показал, что пространство BMO двойственно ЧАС¹, пространство Харди с п = 1.^[8] Спаривание между ж ∈ ЧАС¹ и грамм ∈ BMO задается формулой

${displaystyle (f, g) = int _ {mathbb {R} ^ {n}} f (x) g (x), mathrm {d} x}$

хотя при определении этого интеграла требуется некоторая осторожность, поскольку он, как правило, не сходится абсолютно.

Неравенство Джона – Ниренберга

В Неравенство Джона – Ниренберга это оценка, которая определяет, насколько функция ограниченного среднего колебания может отклоняться от своего среднего значения на определенную величину.

Заявление

Для каждого ${displaystyle fin operatorname {BMO} left (mathbb {R} ^ {n} ight)}$, есть константы ${displaystyle c_ {1}, c_ {2}> 0}$, такое, что для любого куба ${displaystyle Q}$ в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$,

${displaystyle left | left {xin Q: | f-f_ {Q} |> lambda ight} ight | leq c_ {1} exp left (-c_ {2} {frac {lambda} {| f | _ {BMO}}) } ight) | Q |.}$

Наоборот, если это неравенство выполняется для всех кубики с некоторой постоянной C вместо ||ж||_BMO, тогда ж находится в BMO с нормой самое большее постоянное время C.

Следствие: расстояние в BMO до L^∞

Неравенство Джона – Ниренберга на самом деле может дать больше информации, чем просто BMO-норма функции. Для локально интегрируемой функции ж, позволять А(ж) быть инфимальным А> 0, для которого

${displaystyle sup _ {Qsubseteq mathbb {R} ^ {n}} {frac {1} {| Q |}} int _ {Q} e ^ {frac {| f-f_ {Q} |} {A}} mathrm {d} x$

Из неравенства Джона – Ниренберга следует, что А(ж) ≤ C ||ж||_BMO для некоторой универсальной постоянной C. Для L^∞ функции, однако указанное выше неравенство будет выполняться для всех А > 0. Другими словами, А(ж) = 0, если ж находится в L^∞. Следовательно, постоянная А(ж) дает нам способ измерить, насколько функция в BMO удалена от подпространства L^∞. Это утверждение можно уточнить:^[9] есть постоянный C, в зависимости только от измерение п, такое, что для любой функции ж ∈ BMO (р^п) имеет место двустороннее неравенство

${displaystyle {frac {1} {C}} A (f) leq inf _ {gin L ^ {infty}} | f-g | _ {BMO} leq CA (f).}$

Обобщения и расширения

Пространства BMOH и BMOA

Когда измерение окружающего пространства равно 1, пространство BMO можно рассматривать как линейное подпространство из гармонические функции на единичный диск и играет важную роль в теории Пространства Харди: используя определение 2, можно определить BMO (Т) пространство на единичный круг как пространство функции ж : Т → р такой, что

${displaystyle {frac {1} {| I |}} int _ {I} | f (y) -f_ {I} |, mathrm {d} y$

т.е. такой, что его среднее колебание по каждой дуге I единичный круг^[10] ограничено. Здесь как раньше ж_я - среднее значение f по дуге I.

Определение 3. Аналитическая функция на единичный диск считается, что принадлежит Гармонический BMO или в BMOH пространство если и только если это Интеграл Пуассона BMO (Т) функция. Следовательно, BMOH - это пространство всех функций ты с формой:

${displaystyle u (a) = {frac {1} {2pi}} int _ {mathbf {T}} {frac {1- | a | ^ {2}} {| ae ^ {i heta} | ^ {2} }} f (e ^ {i heta}), mathrm {d} heta}$

укомплектован нормой:

${displaystyle | u | _ {BMOH} = sup _ {| a | <1} left {{frac {1} {2pi}} int _ {mathbf {T}} {frac {1- | a | ^ {2} } {| ae ^ {i heta} | ^ {2}}} | f (e ^ {i heta}) - u (a) |, mathrm {d} heta ight}}$

Подпространство аналитических функций, принадлежащих BMOH, называется Аналитическое пространство BMO или BMOA пространство.

BMOA как двойственное пространство ЧАС¹(D)

Чарльз Фефферман в своей оригинальной работе доказал, что реальное пространство BMO двойственно действительнозначному гармоническому пространству Харди на верхнем полупространство р^п × (0, ∞].^[11] В теории комплексного и гармонического анализа на единичном круге его результат формулируется следующим образом.^[12] Позволять ЧАС^п(D) быть аналитическим Харди космос на блок Диск. За п = 1 отождествляем (ЧАС¹) * с BMOA путем сопряжения ж ∈ ЧАС¹(D) и грамм ∈ BMOA с помощью антилинейное преобразование Т_грамм

${displaystyle T_ {g} (f) = lim _ {rightarrow 1} int _ {- pi} ^ {pi} {ar {g}} (e ^ {i heta}) f (re ^ {i heta}), mathrm {d} heta}$

Обратите внимание, что хотя предел всегда существует для ЧАС¹ функция f и Т_грамм является элементом дуального пространства (ЧАС¹) *, так как преобразование антилинейный, у нас нет изометрического изоморфизма между (ЧАС¹) * и BMOA. Однако можно получить изометрию, если рассматривать своего рода пространство сопряженных функций BMOA.

Космос ВМО

Космос VMO функций исчезающее среднее колебание является замыканием в BMO непрерывных функций, обращающихся в нуль на бесконечности. Его также можно определить как пространство функций, «средние колебания» которых на кубах Q не только ограничены, но и равномерно стремятся к нулю, поскольку радиус куба Q стремится к 0 или ∞. Пространство VMO является своего рода аналогом пространства Харди пространства непрерывных функций, исчезающих на бесконечности, и, в частности, действительного гармонического пространства Харди. ЧАС¹ является двойником VMO.^[13]

Связь с преобразованием Гильберта

Локально интегрируемая функция ж на р является BMO тогда и только тогда, когда его можно записать как

${displaystyle f = f_ {1} + Hf_ {2} + альфа}$

куда ж_я ∈ L^∞, α - постоянная и ЧАС это Преобразование Гильберта.

Норма BMO тогда эквивалентна точной нижней грани ${displaystyle | f_ {1} | _ {infty} + | f_ {2} | _ {infty}}$ по всем таким представлениям.

по аналогии ж является VMO тогда и только тогда, когда он может быть представлен в приведенной выше форме с помощью ж_я ограниченные равномерно непрерывные функции на р.^[14]

Диадическое пространство BMO

Позволять Δ обозначим множество диадические кубики в р^п. Космос диадический BMO, написано BMO_d - пространство функций, удовлетворяющих тому же неравенству, что и для функций BMO, только супремум выполняется по всем диадическим кубам. Этот супремум иногда обозначают ||•||_BMOd.

Это пространство правильно содержит BMO. В частности, функция журнал (х) χ_[0,∞) это функция, которая есть в двоичном BMO, но не в BMO. Однако если функция ж такова, что ||ж(•−Икс)||_BMOd ≤ C для всех Икс в р^п для некоторых C > 0, то по одна третья уловка ж также находится в BMO. В случае BMO на Т^п вместо р^п, функция ж такова, что ||ж(•−Икс)||_BMOd ≤ C для n + 1 выбранных подходящим образом Икс, тогда ж также находится в BMO. Это означает, что BMO (Т^п ) является пересечением n + 1 трансляции диадического BMO. По двойственности H¹(Т^п ) является суммой n + 1 перевода диадического H¹.

Хотя диадический BMO - гораздо более узкий класс, чем BMO, многие теоремы, которые верны для BMO, намного проще доказать для диадического BMO, и в некоторых случаях можно восстановить исходные теоремы BMO, сначала доказав их в специальном диадическом случае.^[15]

Примеры

Примеры функций BMO включают следующее:

• Все ограниченные (измеримые) функции. Если ж находится в L^∞, то ||ж||_BMO ≤ 2 || f ||_∞:^[16] однако обратное неверно, как показывает следующий пример.
• Журнал функций (|п|) для любого полинома п который не равен тождественно нулю: в частности, это верно и для |п(Икс)| = |Икс|.^[16]
• Если ш является А_∞ масса, затем log (ш) является BMO. Наоборот, если ж это BMO, то е^δf является А_∞ вес при достаточно малых δ> 0: этот факт является следствием Неравенство Джона – Ниренберга.^[17]

Примечания

Рекомендации