Весы Макенхаупта - Muckenhoupt weights

В математика, класс Весы Макенхаупта $А п$ состоит из этих весов $ω$ для чего Максимальный оператор Харди – Литтлвуда ограничен $L п (dω)$ . В частности, мы рассматриваем функции $ж$ на $р п$ и связанные с ними максимальные функции $M (ж)$ определяется как

{displaystyle M (f) (x) = sup _ {r> 0} {frac {1} {r ^ {n}}} int _ {B_ {r} (x)} | f |,}

где $B р (Икс)$ мяч в $р п$ с радиусом $р$ и центр $Икс$ . Позволять $1 \leq п < \infty$ , мы хотим охарактеризовать функции $ω : р п \to [0, \infty)$ для которого у нас есть граница

{displaystyle int | M (f) (x) | ^ {p}, omega (x) dxleq Cint | f | ^ {p}, omega (x), dx,}

где $C$ зависит только от $п$ и $ω$ . Впервые это было сделано Бенджамин Макенхаупт.^[1]

Определение

Для фиксированного $1 < п < \infty$ , мы говорим, что вес $ω : р п \to [0, \infty)$ принадлежит $А п$ если $ω$ локально интегрируем и существует постоянная $C$ так что для всех мячей $B$ в $р п$ , у нас есть

{displaystyle left ({frac {1} {| B |}} int _ {B} omega (x), dxight) left ({frac {1} {| B |}} int _ {B} omega (x) ^ {- {frac {q} {p}}}, dxight) ^ {frac {p} {q}} leq C

где $| B |$ это Мера Лебега из $B$ , и $q$ это действительное число такое, что: $1 / п + 1 / q = 1$ .

Мы говорим $ω : р п \to [0, \infty)$ принадлежит $А 1$ если есть какие-то $C$ такой, что

{displaystyle {frac {1} {| B |}} int _ {B} omega (y), dyleq Comega (x),}

для всех $Икс \in B$ и все шары $B$ .^[2]

Эквивалентные характеристики

Этот следующий результат является фундаментальным результатом изучения весов Макенхаупта.

Теорема. Вес

ω

в

А п

тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих утверждений.^[2]

а) Максимальная функция Харди – Литтлвуда ограничен

L п (ω (Икс) dx)

, это

{displaystyle int | M (f) (x) | ^ {p}, omega (x), dxleq Cint | f | ^ {p}, omega (x), dx,}

для некоторых

C

что зависит только от

п

и постоянная

А

в приведенном выше определении.

б) существует постоянная

c

такое, что для любой локально интегрируемой функции

ж

на

р п

, и все шары

B

:

{displaystyle (f_ {B}) ^ {p} leq {frac {c} {omega (B)}} int _ {B} f (x) ^ {p}, omega (x), dx,}

где:

{displaystyle f_ {B} = {frac {1} {| B |}} int _ {B} f, qquad omega (B) = int _ {B} omega (x), dx.}

Эквивалентно:

Теорема. Позволять

1 < п < \infty

, тогда

ш = е φ \in А п

тогда и только тогда, когда выполняются оба следующих условия:

{displaystyle sup _ {B} {frac {1} {| B |}} int _ {B} e ^ {varphi -varphi _ {B}} dx

{displaystyle sup _ {B} {frac {1} {| B |}} int _ {B} e ^ {- {frac {varphi -varphi _ {B}} {p-1}}} dx

Эту эквивалентность можно проверить, используя Неравенство Дженсена.

Обратные неравенства Гёльдера и $А \infty$

Основным инструментом доказательства указанной эквивалентности является следующий результат.^[2] Следующие утверждения эквивалентны

$ω \in А п$ для некоторых $1 \leq п < \infty$ .
Существуют $0 < δ, γ < 1$ такой, что для всех мячей $B$ и подмножества $E \subset B$ , $| E | \leq γ | B |$ подразумевает $ω (E) \leq δ ω (B)$ .
Существуют $1 < q$ и $c$ (оба в зависимости от $ω$ ) такая, что для всех шаров $B$ у нас есть:

{displaystyle {frac {1} {| B |}} int _ {B} omega ^ {q} leq left ({frac {c} {| B |}} int _ {B} omega ight) ^ {q}. }

Мы называем неравенство в третьей формулировке обратным неравенством Гёльдера, поскольку обратное неравенство следует для любой неотрицательной функции непосредственно из Неравенство Гёльдера. Если выполнено какое-либо из трех эквивалентных условий выше, мы говорим $ω$ принадлежит $А \infty$ .

Вес и BMO

Определение $А п$ вес и обратное неравенство Гёльдера указывают на то, что такой вес не может вырождаться или расти слишком быстро. Это свойство можно выразить эквивалентным образом в терминах того, насколько колеблется логарифм веса:

а) Если

ш \in А п, (п \geq 1),

тогда

журнал(ш) \in BMO

(т.е.

журнал(ш)

имеет ограниченное среднее колебание ).

(б) Если

ж \in BMO

, то при достаточно малых

δ > 0

, у нас есть

е δf \in А п

для некоторых

п \geq 1

.

Эту эквивалентность можно установить, используя приведенную выше экспоненциальную характеристику весов, неравенство Йенсена и Неравенство Джона – Ниренберга.

Отметим, что предположение малости $δ > 0$ часть (b) необходима для того, чтобы результат был верным, так как $-log | Икс | \in BMO$ , но:

{displaystyle e ^ {- log | x |} = {frac {1} {e ^ {log | x |}}} = {frac {1} {| x |}}}

нет ни в одном $А п$ .

Другие свойства

Здесь мы перечисляем несколько различных свойств весов, некоторые из которых могут быть проверены с использованием определений, другие являются нетривиальными результатами:

{displaystyle A_ {1} subteq A_ {p} substeq A_ {infty}, qquad 1leq pleq infty.}

{displaystyle A_ {infty} = igcup _ {p

Если

ш \in А п

, тогда

ш dx

определяет удвоение меры: для любого мяча

B

, если

2 B

шар в два раза больше радиуса, то

ш (2 B) \leq Cw (B)

где

C > 1

постоянная, зависящая от

ш

.

Если

ш \in А п

, то есть

δ > 1

такой, что

ш δ \in А п

.

Если

ш \in А \infty

, то есть

δ > 0

и веса

{displaystyle w_ {1}, w_ {2} в A_ {1}}

такой, что

{displaystyle w = w_ {1} w_ {2} ^ {- delta}}

.^[3]

Ограниченность сингулярных интегралов

Не только максимальный оператор Харди – Литтлвуда ограничен на этих взвешенных $L п$ пробелы. Фактически любой Сингулярный интегральный оператор Кальдерона-Зигмунда также ограничено на этих пространствах.^[4] Опишем здесь более простой вариант.^[2] Предположим, у нас есть оператор $Т$ который ограничен $L 2 (dx)$ , так что у нас есть

{displaystyle forall fin C_ {c} ^ {infty}: qquad | T (f) | _ {L ^ {2}} leq C | f | _ {L ^ {2}}.}

Предположим также, что мы можем реализовать $Т$ как свертка против ядра $K$ в следующем смысле: если $ж, г$ гладкие с непересекающейся опорой, то:

{displaystyle int g (x) T (f) (x), dx = iint g (x) K (x-y) f (y), dy, dx.}

Наконец, мы предполагаем, что ядро имеет размер и гладкость. $K$ :

{displaystyle forall xeq 0, forall | alpha | leq 1: qquad left | partial ^ {alpha} Kight | leq C | x | ^ {- n-alpha}.}

Затем для каждого $1 < п < \infty$ и $ω \in А п$ , $Т$ является ограниченным оператором на $L п (ω (Икс) dx)$ . То есть имеем оценку

{displaystyle int | T (f) (x) | ^ {p}, omega (x), dxleq Cint | f (x) | ^ {p}, omega (x), dx,}

для всех $ж$ для которого правая часть конечна.

Обратный результат

Если в дополнение к трем условиям, указанным выше, предположить условие невырожденности ядра $K$ : Для фиксированного единичного вектора $ты 0$

{displaystyle | K (x) | geq a | x | ^ {- n}}

всякий раз, когда ${displaystyle x = t {точка {u}} _ {0}}$ с участием $-\infty < т < \infty$ , то имеем обратное. Если мы знаем

{displaystyle int | T (f) (x) | ^ {p}, omega (x), dxleq Cint | f (x) | ^ {p}, omega (x), dx,}

для некоторых фиксированных $1 < п < \infty$ и немного $ω$ , тогда $ω \in А п$ .^[2]

Веса и квазиконформные отображения

Для $K > 1$ , а $K$ -квазиконформное отображение гомеоморфизм $ж : р п \to р п$ такой, что

{displaystyle fin W_ {loc} ^ {1,2} (mathbf {R} ^ {n}), quad {ext {and}} quad {frac {| Df (x) | ^ {n}} {J (f , x)}} leq K,}

где $Df (Икс)$ это производная из $ж$ в $Икс$ и $J (ж, Икс) = det (Df (Икс))$ это Якобиан.

Теорема Геринга^[5] заявляет, что для всех $K$ -квазиконформные функции $ж : р п \to р п$ , у нас есть $J (ж, Икс) \in А п$ , где $п$ зависит от $K$ .

Гармоническая мера

Если у вас односвязный домен $Ω \subseteq C$ , мы говорим, что его граничная кривая $Γ = \partialΩ$ является $K$ -chord-arc, если для любых двух точек $z, ш$ в $Γ$ есть кривая $γ \subseteq Γ$ соединение $z$ и $ш$ длина которого не более $K | z - ш |$ . Для области с такой границей и для любого $z 0$ в $Ω$ , то гармоническая мера $ш ( \cdot ) = ш (z 0, Ω, \cdot)$ абсолютно непрерывна относительно одномерного Мера Хаусдорфа и это Производная Радона – Никодима в $А \infty$ .^[6] (Обратите внимание, что в этом случае необходимо адаптировать определение весов к случаю, когда основная мера является одномерной мерой Хаусдорфа).

использованная литература

Гарнетт, Джон (2007). Ограниченные аналитические функции. Springer.

^ Макенхаупт, Бенджамин (1972). «Неравенства взвешенной нормы для максимальной функции Харди». Труды Американского математического общества, т. 165: 207–226.
^ ^а ^б ^c ^d ^е Штейн, Элиас (1993). «5». Гармонический анализ. Издательство Принстонского университета.
^ Джонс, Питер В. (1980). "Факторизация $А п$ веса ". Анна. математики. 2. 111 (3): 511–530. Дои:10.2307/1971107.
^ Графакос, Лукас (2004). «9». Классический и современный анализ Фурье. Нью-Джерси: Pearson Education, Inc.
^ Геринг, Ф. В. (1973). "The L^п-интегрируемость частных производных квазиконформного отображения ». Acta Math. 130: 265–277. Дои:10.1007 / BF02392268.
^ Гарнетт, Джон; Маршалл, Дональд (2008). Гармоническая мера. Издательство Кембриджского университета.

[1] Макенхаупт, Бенджамин (1972). «Неравенства взвешенной нормы для максимальной функции Харди». Труды Американского математического общества, т. 165: 207–226.

[bible-2] а ^б ^c ^d ^е Штейн, Элиас (1993). «5». Гармонический анализ. Издательство Принстонского университета.

[3] Джонс, Питер В. (1980). "Факторизация $А п$ веса ". Анна. математики. 2. 111 (3): 511–530. Дои:10.2307/1971107.

[grafakos-4] Графакос, Лукас (2004). «9». Классический и современный анализ Фурье. Нью-Джерси: Pearson Education, Inc.

[5] Геринг, Ф. В. (1973). "The L^п-интегрируемость частных производных квазиконформного отображения ». Acta Math. 130: 265–277. Дои:10.1007 / BF02392268.

[6] Гарнетт, Джон; Маршалл, Дональд (2008). Гармоническая мера. Издательство Кембриджского университета.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Весы Макенхаупта - Muckenhoupt weights

Определение

Эквивалентные характеристики

Обратные неравенства Гёльдера и А∞

Вес и BMO

Другие свойства

Ограниченность сингулярных интегралов

Обратный результат

Веса и квазиконформные отображения

Гармоническая мера

использованная литература

Обратные неравенства Гёльдера и $А \infty$