Диадические кубики - Dyadic cubes

В математика, то диадические кубики представляют собой собрание кубики в р^п разных размеров или масштабов, так что набор кубиков каждого масштаба раздел р^п и каждый куб в одном масштабе может быть записан как объединение кубов меньшего масштаба. Они часто используются в математике (особенно гармонический анализ ) как способ дискретизации объектов для облегчения вычислений или анализа. Например, чтобы изучить произвольное подмножество А из Евклидово пространство, вместо этого можно заменить его объединением диадических кубов определенного размера, которые крышка набор. Этот набор можно рассматривать как пиксельную версию исходного набора, и по мере использования кубиков меньшего размера получается более четкое изображение набора. А. Наиболее заметные проявления диадических кубов включают Теорема Уитни о расширении и Лемма Кальдерона – Зигмунда..

Диадические кубы в евклидовом пространстве

В евклидовом пространстве диадические кубы могут быть построены следующим образом: для каждого целого числа k пусть Δ_k быть набором кубиков в р^п стороны длины 2^−k и уголки в комплекте

${ displaystyle 2 ^ {- k} mathbf {Z} ^ {n} = left {2 ^ {- k} (v_ {1}, dots, v_ {n}): v_ {j} in mathbf {Z} right }}$

и пусть ∆ - объединение всех ∆_k.

Наиболее важными особенностями этих кубиков являются следующие:

1. Для каждого целого числа k, Δ_k перегородки р^п.
2. Все кубики в Δ_k имеют одинаковую длину стороны, а именно 2^−k.
3. Если интерьеры из двух кубиков Q и р в Δ имеют непустое пересечение, то либо Q содержится в р или же р содержится в Q.
4. Каждый Q в Δ_k можно записать как объединение 2^п кубы в Δ_k+1 с непересекающимися интерьерами.

Мы используем слово «разделение» несколько вольно: хотя их союз - это все р^п, кубы в Δ_k могут перекрывать свои границы. Однако эти совпадения нулевая мера Лебега, и поэтому для большинства приложений эта немного более слабая форма разделения не помеха.

Также может показаться странным, что больше k соответствует кубикам меньшего размера. Можно думать о k как степень увеличения. Однако на практике, полагая Δ_k - набор кубиков со стороной 2^k или 2^−k это вопрос предпочтения или удобства.

Уловка на одну треть

Одним из недостатков диадических кубов в евклидовом пространстве является то, что они слишком сильно зависят от конкретного положения кубов. Например, для диадических кубов Δ, описанных выше, невозможно содержать произвольные мяч внутри некоторых Q в Δ (рассмотрим, например, единичный шар с центром в нуле). В качестве альтернативы может быть такой куб, который содержит мяч, но размеры шара и куба очень разные. Из-за этого предостережения иногда бывает полезно работать с двумя или более коллекциями диадических кубов одновременно.

Определение

Следующее известно как одна третья уловка:^[1]

Пусть Δ_k быть диадическими кубами масштаба k как указано выше. Определять

${ displaystyle Delta _ {k} ^ { alpha} = {Q + alpha: Q in Delta _ {k} }.}$

Это набор диадических кубов в Δ_k переводится вектором α. Для каждого такого α пусть ∆^α - объединение Δ_k^α над k.

• Есть универсальная константа C > 0 такое, что для любого шара B с радиусом р <1/3, существует α в {0,1 / 3}^п и куб Q в Δ^α содержащий B диаметр которых не более Cr.
• В более общем смысле, если B мяч с любой радиус р > 0, в {0, 1/3, 4/3, 4²/3, ...}^п и куб Q в Δ^α содержащий B диаметр которых не более Cr.

Пример приложения

Уловка одной трети привлекательна тем, что можно сначала доказать диадические версии теоремы, а затем вывести из них «недиадические» теоремы. Например, вспомним Максимальная функция Харди-Литтлвуда

${ Displaystyle Mf (x) = sup _ {r> 0} { frac {1} {| B (x, r) |}} int _ {B (x, r)} | f (y) | dy}$

куда ж это локально интегрируемая функция и |B(Икс, р) | обозначает меру шара B(Икс, р). В Максимальное неравенство Харди – Литтлвуда заявляет, что для интегрируемый функция ж,

${ displaystyle left | {x in mathbf {R} ^ {n}: Mf (x)> lambda } right | leq { frac {C_ {n}} { lambda}} | f | _ {1}}$

при λ> 0 где C_п - некоторая константа, зависящая только от размерности.

Эта теорема обычно доказывается с использованием Лемма Витали о покрытии. Однако можно избежать использования этой леммы, если сначала докажем указанное неравенство для диадические максимальные функции

${ Displaystyle M _ { Delta ^ { alpha}} е (х) = sup _ {x in Q in Delta ^ { alpha}} { frac {1} {| Q |}} int _ {Q} | f (x) | dx.}$

Доказательство аналогично доказательству исходной теоремы, однако свойства диадических кубов избавляют нас от необходимости использовать лемму Витали о покрытии. Затем мы можем вывести исходное неравенство, используя прием одной трети.

Диадические кубы в метрических пространствах

Аналоги диадических кубов могут быть построены в некоторых метрические пространства.^[2] В частности, пусть Икс метрическое пространство с метрикой d который поддерживает удвоение меры µ, т.е. такая мера, что при Икс ∈ Икс и р > 0 имеется:

${ Displaystyle му (В (х, 2r)) Leq С му (В (х, г))}$

куда C > 0 - универсальная постоянная, не зависящая от выбора Икс и р.

Если Икс поддерживает такую ​​меру, то существуют наборы множеств ∆_k такие, что они (и их объединение Δ) удовлетворяют следующему:

• Для каждого целого числа k, Δ_k перегородки Икс, в том смысле, что

${ displaystyle mu left (X обратная косая черта bigcup nolimits _ {Q in Delta _ {k}} Q right) = 0.}$

• Все наборы Q в Δ_k примерно одинакового размера. Точнее, каждый такой Q имеет центр z_Q такой, что

${ Displaystyle B (z_ {Q}, c_ {1} delta ^ {k}) substeq Q substeq B (z_ {Q}, c_ {2} delta ^ {k})}$

куда c₁, c₂, и δ положительные константы, зависящие только от константы удвоения C меры µ и не зависит от Q.

• Каждый Q в Δ_k содержится в уникальном наборе р в Δ_k−1.
• Есть постоянные постоянные C₃, η> 0, зависящее только от µ, такое, что для всех k и т > 0,

${ Displaystyle му влево ( влево {х в Q: d (х, X обратная косая черта Q) leq t delta ^ {k} right } right) leq C_ {3} t ^ { eta} mu (Q).}$

Эти условия очень похожи на свойства обычных евклидовых кубов, описанных ранее. Последнее условие говорит о том, что область у границы «куба» Q в Δ мала, что является само собой разумеющимся свойством в евклидовом случае, хотя очень важно для расширения результатов из гармонический анализ к настройке метрического пространства.

Смотрите также

• Quadtree
• Вейвлет-преобразование

Рекомендации