Теорема Уитни о расширении - Whitney extension theorem

В математика, в частности в математический анализ, то Теорема Уитни о расширении является частичным обращением к Теорема Тейлора. Грубо говоря, теорема утверждает, что если А является замкнутым подмножеством евклидова пространства, то можно продолжить данную функцию от А таким образом, чтобы иметь предписанные производные в точках А. Это результат Хасслер Уитни.

Заявление

Точная формулировка теоремы требует внимательного рассмотрения того, что значит предписывать производную функции на замкнутом множестве. Одна из трудностей, например, состоит в том, что замкнутые подмножества евклидова пространства вообще лишены дифференцируемой структуры. Таким образом, отправной точкой является рассмотрение утверждения теоремы Тейлора.

Учитывая ценный C^м функция ж(Икс) на р^п, Теорема Тейлора утверждает, что для каждого а, Икс, у ∈ р^п, есть функция р_α(Икс,у) стремящаяся к 0 равномерно при Икс,у → а такой, что

${displaystyle f ({mathbf {x}}) = sum _ {| alpha | leq m} {frac {D ^ {alpha} f ({mathbf {y}})} {alpha!}} cdot ({mathbf {x }} - {mathbf {y}}) ^ {alpha} + sum _ {| alpha | = m} R_ {alpha} ({mathbf {x}}, {mathbf {y}}) {frac {({mathbf { x}} - {mathbf {y}}) ^ {alpha}} {alpha!}}}$

(1)

где сумма закончилась мультииндексы  α.

Позволять ж_α = D^αж для каждого мультииндекса α. Дифференцируя (1) по Икси, возможно, заменив р при необходимости дает

${displaystyle f_ {alpha} ({mathbf {x}}) = сумма _ {| eta | leq m- | alpha |} {frac {f_ {alpha + eta} ({mathbf {y}})} {eta!}} ({mathbf {x}} - {mathbf {y}}) ^ {eta } + R_ {alpha} ({mathbf {x}}, {mathbf {y}})}$

(2)

куда р_α является о(|Икс − у|^м−|α|) равномерно как Икс,у → а.

Обратите внимание, что (2) можно рассматривать как чисто условие совместимости между функциями ж_α которое должно быть выполнено, чтобы эти функции были коэффициентами ряда Тейлора функции ж. Именно это понимание позволяет сделать следующее утверждение

Теорема. Предположим, что ж_α представляют собой набор функций на замкнутом подмножестве А из р^п для всех мультииндексов α с ${displaystyle | alpha | leq m}$ удовлетворяющее условию совместимости (2) во всех точках Икс, у, и а из А. Тогда существует функция F(Икс) класса C^м такой, что:

1. F = ж₀ на А.
2. D^αF = ж_α на А.
3. F реально аналитична в каждой точке р^п − А.

Доказательства приведены в оригинальной статье Уитни (1934), И в Мальгрейндж (1967), Бирстон (1980) и Хёрмандер (1990).

Расширение в полупространство

Сили (1964) доказал усиление теоремы Уитни о продолжении в частном случае полупространства. Гладкая функция на полупространстве р^п,+ точек, где Икс_п ≥ 0 - гладкая функция ж по интерьеру Икс_п для которого производные ∂^α ж продолжаются до непрерывных функций на полупространстве. На границе Икс_п = 0, ж ограничивается гладкой функцией. К Лемма Бореля, ж продолжается до гладкой функции на всем р^п. Поскольку лемма Бореля локальна по своей природе, те же рассуждения показывают, что если Ω является (ограниченной или неограниченной) областью в р^п с гладкой границей, то любую гладкую функцию на замыкании Ω можно продолжить до гладкой функции на р^п.

Результат Сили для половинной линии дает равномерную карту расширения

${displaystyle displaystyle {E: C ^ {infty} (mathbf {R} ^ {+}) ightarrow C ^ {infty} (mathbf {R}),}}$

которое является линейным, непрерывным (для топологии равномерной сходимости функций и их производных на компактах) и принимает функции с носителями в [0,р] в функции, поддерживаемые в [-р,р]

Определять E, набор^[1]

${displaystyle displaystyle {E (f) (x) = sum _ {m = 1} ^ {infty} a_ {m} f (-b_ {m} x) varphi (-b_ {m} x) ,,, (x <0),}}$

где φ - гладкая функция компактного носителя на р равным 1 около 0, и последовательности (а_м), (б_м) удовлетворяют:

• б_м > 0 стремится к ∞;
• ∑ а_м б_м^j = (−1)^j за j ≥ 0 с абсолютно сходящейся суммой.

Решение этой системы уравнений можно получить, взяв б_п = 2^п и ища вся функция

${displaystyle g (z) = sum _ {m = 1} ^ {infty} a_ {m} z ^ {m}}$

такой, что грамм(2^j) = (−1)^j. Возможность построения такой функции следует из Теорема Вейерштрасса и Теорема Миттаг-Леффлера.^[2]

Это можно увидеть напрямую, установив^[3]

${displaystyle W (z) = prod _ {jgeq 1} (1-z / 2 ^ {j}),}$

целая функция с простыми нулями в 2^j. Производные W '(2^j) ограничены сверху и снизу. Аналогично функция

${displaystyle M (z) = сумма _ {jgeq 1} {(- 1) ^ {j} над W ^ {prime} (2 ^ {j}) (z-2 ^ {j})}}$

мероморфный с простыми полюсами и заданными вычетами в 2^j.

По конструкции

${displaystyle displaystyle {g (z) = W (z) M (z)}}$

- это целая функция с необходимыми свойствами.

Определение полупространства в р^п применяя оператор р к последней переменной Икс_п. Аналогично, используя гладкую разделение единства и локальной заменой переменных результат для полупространства подразумевает существование аналогичного продолжающего отображения

${displaystyle displaystyle {C ^ {infty} ({overline {Omega}}) ightarrow C ^ {infty} (mathbf {R} ^ {n})}}$

для любой области Ω в р^п с гладкой границей.

Смотрите также

• В Теорема Кирсбрауна дает расширения липшицевых функций.

Примечания

Рекомендации

• МакШейн, Эдвард Джеймс (1934), "Расширение диапазона функций", Бык. Амер. Математика. Soc., 40 (12): 837–842, Дои:10.1090 / s0002-9904-1934-05978-0, МИСТЕР  1562984, Zbl  0010.34606
• Уитни, Хасслер (1934), «Аналитические расширения функций, определенных в замкнутых множествах», Труды Американского математического общества, Американское математическое общество, 36 (1): 63–89, Дои:10.2307/1989708, JSTOR  1989708
• Бирстон, Эдвард (1980), "Дифференцируемые функции", Бюллетень Бразильского математического общества, 11 (2): 139–189, Дои:10.1007 / bf02584636
• Мальгранж, Бернар (1967), Идеалы дифференцируемых функций, Институт фундаментальных исследований в области математики им. Тата, 3, Oxford University Press
• Сили, Р. Т. (1964), "Расширение функций C∞, определенных в полупространстве", Proc. Амер. Математика. Soc., 15: 625–626, Дои:10.1090 / с0002-9939-1964-0165392-8
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных. I. Теория распределения и анализ Фурье, Springer-Verlag, ISBN  3-540-00662-1
• Chazarain, Жак; Пириу, Ален (1982), Введение в теорию линейных дифференциальных уравнений с частными производными, Исследования по математике и ее приложениям, 14, Эльзевьер, ISBN  0444864520
• Поннусамы, С .; Сильверман, Херб (2006), Сложные переменные с приложениями, Биркхойзер, ISBN  0-8176-4457-1
• Фефферман, Чарльз (2005), "Точная форма теоремы Уитни о продолжении", Анналы математики, 161 (1): 509–577, Дои:10.4007 / анналы.2005.161.509, МИСТЕР  2150391