Теорема Планшереля - Plancherel theorem

В математика, то Теорема Планшереля (иногда называемое тождеством Парсеваля – Планшереля^[1]) является результатом гармонический анализ, доказано Мишель Планшерель в 1910 году. В нем говорится, что интеграл квадрата модуля функции равен интегралу квадрата модуля ее частотный спектр. То есть, если ${ displaystyle f (x)}$ - функция на действительной прямой, а ${ Displaystyle { widehat {f}} ( xi)}$ - его частотный спектр, то

Более точная формулировка состоит в том, что если функция находится в обоих Lp пространства ${ Displaystyle L ^ {1} ( mathbb {R})}$ и ${ Displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R})}$, то его преобразование Фурье в ${ Displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R})}$, а отображение преобразования Фурье является изометрией относительно L² норма. Это означает, что отображение преобразования Фурье ограничено ${ Displaystyle L ^ {1} ( mathbb {R}) cap L ^ {2} ( mathbb {R})}$ имеет уникальное расширение до линейного изометрического отображения ${ Displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R}) mapsto L ^ {2} ( mathbb {R})}$, иногда называемое преобразованием Планшереля. Эта изометрия на самом деле унитарный карта. Фактически это позволяет говорить о преобразованиях Фурье квадратично интегрируемые функции.

Теорема Планшереля остается в силе, как указано на п-размерный Евклидово пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$. Теорема также верна в более общем случае в локально компактные абелевы группы. Существует также версия теоремы Планшереля, которая имеет смысл для некоммутативных локально компактных групп, удовлетворяющих определенным техническим условиям. Это предмет некоммутативный гармонический анализ.

В унитарность из преобразование Фурье часто называют Теорема Парсеваля в области науки и техники, основываясь на более раннем (но менее общем) результате, который использовался для доказательства унитарности Ряд Фурье.

Из-за поляризационная идентичность, можно также применить теорему Планшереля к ${ Displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R})}$ внутренний продукт двух функций. То есть, если ${ displaystyle f (x)}$ и ${ displaystyle g (x)}$ два ${ Displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R})}$ функции и ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ обозначает преобразование Планшереля, то

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f (x) { overline {g (x)}} , dx = int _ {- infty} ^ { infty} ({ mathcal {P}} f) ( xi) { overline {({ mathcal {P}} g) ( xi)}} , d xi,}$

и если ${ displaystyle f (x)}$ и ${ displaystyle g (x)}$ кроме того ${ Displaystyle L ^ {1} ( mathbb {R})}$ функции, то

${ Displaystyle ({ mathcal {P}} f) ( xi) = { widehat {f}} ( xi) = int _ {- infty} ^ { infty} f (x) e ^ { -2 pi i xi x} , dx,}$

и

${ displaystyle ({ mathcal {P}} g) ( xi) = { widehat {g}} ( xi) = int _ {- infty} ^ { infty} g (x) e ^ { -2 pi i xi x} , dx,}$

так

Смотрите также

• Теорема Планшереля для сферических функций

Рекомендации

• Планшерель, Мишель; Миттаг-Леффлер (1910 г.), «Вклад в представление об образовании единой функции арбитража с определенными целями», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 30 (1): 289–335, Дои:10.1007 / BF03014877.
• Диксмье, Дж. (1969), Les C * -algèbres et leurs Репрезентации, Готье Виллар.
• Йосида, К. (1968), Функциональный анализ, Springer Verlag.

внешняя ссылка

• «Теорема Планшереля», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Теорема Планшереля на Mathworld

Этот математический анализ –Связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.