Норма оператора - Operator norm

В математика, то норма оператора средство для измерения "размера" определенных линейные операторы. Формально это норма определены на пространстве ограниченные линейные операторы между двумя данными нормированные векторные пространства.

Введение и определение

Учитывая два нормированных векторных пространства V и W (на той же базе поле, либо действительные числа р или сложные числа C), а линейная карта А : V → W непрерывно тогда и только тогда, когда существует действительное число c такой, что^[1]

{ displaystyle | Av | leq c | v | quad { mbox {для всех}} v in V.}

Норма слева - это норма в W а норма справа - это V. Интуитивно непрерывный оператор А никогда не увеличивает длину любого вектора более чем в раз c. Таким образом изображение ограниченного множества при непрерывном операторе также ограничено. Из-за этого свойства непрерывные линейные операторы также известны как ограниченные операторы. Чтобы «измерить размер» А, тогда кажется естественным взять инфимум номеров c такое, что указанное выше неравенство выполняется для всех v в V. Другими словами, мы измеряем "размер" А насколько он «удлиняет» векторы в «самом большом» случае. Итак, мы определяем операторную норму А в качестве

{ displaystyle | A | _ {op} = inf {c geq 0: | Av | leq c | v | { mbox {для всех}} v in V }. }

Инфимум достигается как совокупность всех таких c является закрыто, непустой, и ограниченный снизу.^[2]

Важно учитывать, что эта операторная норма зависит от выбора норм для нормированных векторных пространств. V и W.

Примеры

Каждый настоящий м-к-п матрица соответствует линейной карте из р^п к р^м. Каждая пара множества (вектора) нормы применимый к действительным векторным пространствам, индуцирует операторную норму для всех м-к-п матрицы действительных чисел; эти индуцированные нормы образуют подмножество матричные нормы.

Если мы специально выберем Евклидова норма на обоих р^п и р^м, то матричная норма, заданная матрице А это квадратный корень из крупнейших собственное значение матрицы А^*А (куда А^* обозначает сопряженный транспонировать из А).^[3] Это эквивалентно присвоению наибольшего исключительное значение из А.

Переходя к типичному бесконечномерному примеру, рассмотрим пространство последовательности л² определяется

{ displaystyle l ^ {2} = {(a_ {n}) _ {n geq 1}: ; a_ {n} in mathbb {C}, ; sum _ {n} | a_ { n} | ^ {2} < infty }.}

Это можно рассматривать как бесконечномерный аналог Евклидово пространство C^п. Теперь возьмем ограниченную последовательность s = (s_п). Последовательность s это элемент пространства л ^∞, с нормой

{ Displaystyle | s | _ { infty} = sup _ {n} | s_ {n} |.}

Определить оператора Т_s простым умножением:

{ displaystyle (a_ {n}) { stackrel {T_ {s}} { mapsto}} (s_ {n} cdot a_ {n}).}

Оператор Т_s ограничена операторной нормой

{ displaystyle | T_ {s} | _ {op} = | s | _ { infty}.}

Это обсуждение можно распространить непосредственно на случай, когда л² заменяется генералом L^п пространство с п > 1 и л ^∞ заменен на L^∞.

Эквивалентные определения

Первые четыре определения всегда эквивалентны, а если в дополнение ${ Displaystyle V neq {0 }}$ то все они эквивалентны:

{ displaystyle { begin {alignat} {4} | A | _ {op} & = inf && {c geq 0 ~ &&: ~ | Av | leq c | v | ~ && ~ { mbox {для всех}} ~ && v in V } & = sup && { | Av | ~ &&: ~ | v | leq 1 ~ && ~ { mbox { and}} ~ && v in V } & = sup && { | Av | ~ &&: ~ | v | <1 ~ && ~ { mbox {and}} ~ && v in V } & = sup && { | Av | ~ &&: ~ | v | = 1 { text {или}} 0 ~ && ~ { mbox {and}} ~ && v in V } & = sup && { | Av | ~ &&: ~ | v | = 1 ~ && ~ { mbox {and}} ~ && v in V } ; ; ; { text {это равенство выполняется тогда и только тогда, когда}} V neq {0 } & = sup && { bigg {} { frac { | Av |} { | v | }} ~ &&: ~ v neq 0 ~ && ~ { mbox {and}} ~ && v in V { bigg }} ; ; ; { text {это равенство выполняется тогда и только тогда, когда}} V neq {0 }. конец {выравнивание}}}

Если ${ Displaystyle V = {0 }}$ тогда наборы в последних двух строках будут пустыми, и, следовательно, их супремумы будет равно $\infty$ вместо правильного значения $0$ .

Характеристики

Операторная норма действительно является нормой на пространстве всех ограниченные операторы между V и W. Это означает

{ displaystyle | A | _ {op} geq 0 { mbox {and}} | A | _ {op} = 0 { mbox {тогда и только тогда, когда}} A = 0,}

{ displaystyle | aA | _ {op} = | a | | A | _ {op} { mbox {для каждого скаляра}} a,}

{ displaystyle | A + B | _ {op} leq | A | _ {op} + | B | _ {op}.}

Следующее неравенство является непосредственным следствием определения:

{ displaystyle | Av | leq | A | _ {op} | v | { mbox {для каждого}} v in V.}

Норма оператора также совместима с композицией или умножением операторов: если V, W и Икс три нормированных пространства над одним и тем же базовым полем, и ${ displaystyle A: V to W}$ и ${ displaystyle B: W to X}$ - два ограниченных оператора, то это субмультипликативная норма, то есть:

{ displaystyle | BA | _ {op} leq | B | _ {op} | A | _ {op}.}

Для ограниченных операторов на V, это означает, что операторное умножение совместно непрерывно.

Из определения следует, что последовательность операторов сходится по операторной норме, что означает, что они сходятся равномерно на ограниченных множествах.

Таблица общих норм операторов

Некоторые общие операторные нормы легко вычислить, а другие NP-жесткий. За исключением NP-жестких норм, все эти нормы могут быть рассчитаны в N² операции (для N × N матрица), за исключением ${ displaystyle ell _ {2} - ell _ {2}}$ норма (что требует N³ операций для точного ответа или меньше, если вы аппроксимируете его силовой метод или же Итерации Ланцоша ).

Вычислимость операторных норм.^[4]
		Ко-домен
		${ displaystyle ell _ {1}}$	${ displaystyle ell _ {2}}$	${ displaystyle ell _ { infty}}$
Домен	${ displaystyle ell _ {1}}$	Максимум ${ displaystyle ell _ {1}}$ норма колонны	Максимум ${ displaystyle ell _ {2}}$ норма колонны	Максимум ${ displaystyle ell _ { infty}}$ норма колонны
	${ displaystyle ell _ {2}}$	NP-жесткий	Максимальное сингулярное значение	Максимум ${ displaystyle ell _ {2}}$ ряда
	${ displaystyle ell _ { infty}}$	NP-жесткий	NP-жесткий	Максимум ${ displaystyle ell _ {1}}$ норма ряда

Норма прилегающий или транспонирование можно вычислить следующим образом. У нас есть это для любого ${ displaystyle p, q}$ , тогда ${ displaystyle | A | _ {p rightarrow q} = | A ^ {*} | _ {q ' rightarrow p'}}$ куда ${ displaystyle p ', q'}$ Гёльдера сопряжены с ${ displaystyle p, q}$ , т.е. ${ displaystyle 1 / p + 1 / p '= 1}$ и ${ Displaystyle 1 / q + 1 / q '= 1}$ .

Операторы в гильбертовом пространстве

Предполагать ЧАС реальный или сложный Гильбертово пространство. Если А : ЧАС → ЧАС - линейный ограниченный оператор, то имеем

{ Displaystyle | A | _ {op} = | A ^ {*} | _ {op}}

и

{ Displaystyle | A ^ {*} A | _ {op} = | A | _ {op} ^ {2}}

,

куда А^* обозначает сопряженный оператор из А (которое в евклидовых гильбертовых пространствах со стандартным внутренний продукт соответствует сопряженный транспонировать матрицы А).

В целом спектральный радиус из А ограничена сверху операторной нормой А:

{ Displaystyle rho (A) leq | A | _ {op}.}

Чтобы понять, почему равенство не всегда может соблюдаться, рассмотрим Иорданская каноническая форма матрицы в конечномерном случае. Поскольку на наддиагонали есть ненулевые элементы, равенство может быть нарушено. В квазинильпотентные операторы - это один из классов таких примеров. Ненулевой квазинильпотентный оператор А имеет спектр {0}. Так ρ(А) = 0, а ${ displaystyle | A | _ {op}> 0}$ .

Однако когда матрица N является нормальный, это Иорданская каноническая форма диагональна (с точностью до унитарной эквивалентности); это спектральная теорема. В этом случае легко увидеть, что

{ Displaystyle rho (N) = | N | _ {op}.}

Эту формулу иногда можно использовать для вычисления операторной нормы данного ограниченного оператора А: определить Эрмитов оператор B = А^*А, определим его спектральный радиус и возьмем квадратный корень чтобы получить операторную норму А.

Пространство ограниченных операторов на ЧАС, с топология индуцированная операторной нормой, не является отделяемый. Например, рассмотрим гильбертово пространство L²[0, 1]. Для 0 < т ≤ 1, пусть Ω_т быть характеристическая функция из [0,т ], и п_т быть оператор умножения заданный Ω_т, т.е.

{ displaystyle P_ {t} (f) = f cdot Omega _ {t}.}

Тогда каждый п_т - ограниченный оператор с операторной нормой 1 и

{ displaystyle | P_ {t} -P_ {s} | _ {op} = 1 quad { mbox {для всех}} quad t neq s.}

Но {п_т : 0 < т ≤ 1} является бесчисленное множество. Отсюда следует пространство ограниченных операторов на L²[0, 1] неотделимо в операторной норме. Это можно сравнить с тем, что пространство последовательностей л ^∞ неотделимо.

Набор всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве вместе с операторной нормой и сопряженной операцией дает C * -алгебра.

Смотрите также

Непрерывный линейный оператор
Разрывная линейная карта
Двойная норма
Матричная норма - Норма на векторном пространстве матриц
Норма (математика) - Длина в векторном пространстве
Нормированное пространство
Операторная алгебра - Отделение функционального анализа
Теория операторов
Топологическое векторное пространство - Векторное пространство с понятием близости
Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве
Неограниченный оператор

Примечания

^ Крейсциг, Эрвин (1978), Вводный функциональный анализ с приложениями, John Wiley & Sons, стр. 97, ISBN 9971-51-381-1
^ См. Например Лемма 6.2 из Алипрантис и граница (2007).
^ Вайсштейн, Эрик В. «Оператор Норм». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-03-14.
^ раздел 4.3.1, Джоэл Тропп кандидатская диссертация, [1]