Особое значение - Википедия - Singular value

В математика, особенно функциональный анализ, то сингулярные значения, или же s-числа из компактный оператор Т : Икс → Y действуя между Гильбертовы пространства Икс и Y, - квадратные корни неотрицательных собственные значения самосопряженного оператора Т^*Т (куда Т^* обозначает прилегающий из Т).

Сингулярные значения неотрицательны действительные числа, обычно перечисляются в порядке убывания (s₁(Т), s₂(Т),…). Наибольшее сингулярное значение s₁(Т) равно норма оператора из Т (видеть Теорема мин-макс ).

Визуализация разложение по сингулярным числам (СВД) двумерного реального матрица сдвига M. Сначала мы видим единичный диск синим цветом вместе с двумя канонические единичные векторы. Затем мы видим действие M, что искажает диск до эллипс. СВД разлагается M в три простых преобразования: вращение V^*, а масштабирование Σ по повернутым осям координат и второй поворот U. Σ это диагональная матрица содержащий на своей диагонали сингулярные значения M, которые представляют собой длины σ₁ и σ₂ из полуоси эллипса.

Если Т действует в евклидовом пространстве р^п, существует простая геометрическая интерпретация сингулярных значений: рассмотрим изображение как Т из единичная сфера; это эллипсоид, а длины его полуосей - сингулярные значения Т (на рисунке приведен пример в р²).

Сингулярные значения - это абсолютные значения собственные значения из нормальная матрица А, поскольку спектральная теорема может применяться для получения унитарной диагонализации А в качестве А = UΛU^*. Следовательно, ${ displaystyle { sqrt {A ^ {*} A}} = { sqrt {U Lambda ^ {2} U ^ {*}}} = U | Lambda | U ^ {*}}$ .

Наиболее нормы в исследуемых операторах гильбертова пространства определяются с помощью s-числа. Например, Кай Фан -k-норма - это сумма первых k сингулярных значений, норма следа - это сумма всех сингулярных значений, а Норма Шаттена это пкорень -й степени из суммы п-ые степени сингулярных чисел. Обратите внимание, что каждая норма определена только на специальном классе операторов, поэтому s-числа полезны при классификации различных операторов.

В конечномерном случае a матрица всегда можно разложить в виде UΣV^*, куда U и V^* находятся унитарные матрицы и Σ это диагональная матрица с сингулярными значениями, лежащими на диагонали. Это разложение по сингулярным числам.

Основные свойства

За ${ displaystyle A in mathbb {C} ^ {m times n},}$ и ${ Displaystyle я = 1,2, ldots, мин {м, п }}$ .

Теорема мин-макс для сингулярных значений. Здесь ${ Displaystyle U: тусклый (U) = я}$ является подпространством ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ измерения ${ displaystyle i}$ .

{ Displaystyle { begin {align} sigma _ {i} (A) & = min _ { dim (U) = n-i + 1} max _ { underset { | x | _ { 2} = 1} {x in U}} left | Ax right | _ {2}. sigma _ {i} (A) & = max _ { dim (U) = i } min _ { underset { | x | _ {2} = 1} {x in U}} left | Ax right | _ {2}. end {align}}}

Транспонирование и сопряжение матрицы не изменяют сингулярные значения.

{ displaystyle sigma _ {i} (A) = sigma _ {i} left (A ^ { extf {T}} right) = sigma _ {i} left (A ^ {*} right) = sigma _ {i} left ({ bar {A}} right).}

Для любого унитарного ${ displaystyle U in mathbb {C} ^ {m times m}, V in mathbb {C} ^ {n times n}.}$

{ displaystyle sigma _ {i} (A) = sigma _ {i} (БПЛА).}

Отношение к собственным значениям:

{ displaystyle sigma _ {i} ^ {2} (A) = lambda _ {i} left (AA ^ {*} right) = lambda _ {i} left (A ^ {*} A верно).}

Неравенства относительно сингулярных значений

Смотрите также ^[1].

Сингулярные значения подматриц

За ${ displaystyle A in mathbb {C} ^ {m times n}.}$

Позволять ${ displaystyle B}$ обозначать ${ displaystyle A}$ с одним из его рядов или же столбцы удалены. потом
${ Displaystyle sigma _ {я + 1} (A) leq sigma _ {я} (B) leq sigma _ {я} (A)}$
Позволять ${ displaystyle B}$ обозначать ${ displaystyle A}$ с одним из его рядов и столбцы удалены. потом
${ Displaystyle sigma _ {я + 2} (А) leq sigma _ {я} (В) leq sigma _ {я} (А)}$
Позволять ${ displaystyle B}$ обозначить ${ Displaystyle (м-к) раз (п-л)}$ подматрица ${ displaystyle A}$ . потом
${ Displaystyle sigma _ {я + к + l} (A) leq sigma _ {я} (B) leq sigma _ {я} (A)}$

Особые значения ${ displaystyle A + B}$

За ${ displaystyle A, B in mathbb {C} ^ {m times n}}$

${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ {k} sigma _ {i} (A + B) leq sum _ {i = 1} ^ {k} sigma _ {i} (A) + sigma _ {i} (B), quad k = min {m, n }}$
${ Displaystyle sigma _ {я + j-1} (A + B) leq sigma _ {i} (A) + sigma _ {j} (B). quad i, j in mathbb { N}, i + j-1 leq min {m, n }}$

Особые значения ${ displaystyle AB}$

За ${ Displaystyle А, В в mathbb {C} ^ {п раз п}}$

${ Displaystyle { begin {выровнен} prod _ {i = n} ^ {i = n-k + 1} sigma _ {i} (A) sigma _ {i} (B) & leq prod _ {i = n} ^ {i = n-k + 1} sigma _ {i} (AB) prod _ {i = 1} ^ {k} sigma _ {i} (AB) & leq prod _ {i = 1} ^ {k} sigma _ {i} (A) sigma _ {i} (B), sum _ {i = 1} ^ {k} sigma _ { i} ^ {p} (AB) & leq sum _ {i = 1} ^ {k} sigma _ {i} ^ {p} (A) sigma _ {i} ^ {p} (B) , end {align}}}$
${ displaystyle sigma _ {n} (A) sigma _ {i} (B) leq sigma _ {i} (AB) leq sigma _ {1} (A) sigma _ {i} ( Б) quad i = 1,2, ldots, n.}$

За ${ displaystyle A, B in mathbb {C} ^ {m times n}}$ ^[2]

{ displaystyle 2 sigma _ {i} (AB ^ {*}) leq sigma _ {i} left (A ^ {*} A + B ^ {*} B right), quad i = 1 , 2, ldots, n.}

Сингулярные значения и собственные значения

За ${ Displaystyle А в mathbb {C} ^ {п раз п}}$ .

Видеть^[3]
${ displaystyle lambda _ {i} left (A + A ^ {*} right) leq 2 sigma _ {i} (A), quad i = 1,2, ldots, n.}$
Предполагать ${ displaystyle left | lambda _ {1} (A) right | geq cdots geq left | lambda _ {n} (A) right |}$ ${ displaystyle left | lambda _ {1} (A) right | geq cdots geq left | lambda _ {n} (A) right |}$ . Тогда для ${ Displaystyle к = 1,2, ldots, п}$ ${ Displaystyle к = 1,2, ldots, п}$ :
1. Теорема Вейля
  ${ displaystyle prod _ {я = 1} ^ {k} left | lambda _ {i} (A) right | leq prod _ {i = 1} ^ {k} sigma _ {i} (А).}$
2. За ${ displaystyle p> 0}$ .
  ${ displaystyle sum _ {я = 1} ^ {k} left | lambda _ {i} ^ {p} (A) right | leq sum _ {i = 1} ^ {k} sigma _ {i} ^ {p} (A).}$

История

Эта концепция была введена Эрхард Шмидт в 1907 году. Шмидт в то время называл сингулярные значения собственными значениями. Название «единичное значение» впервые было процитировано Smithies в 1937 году. В 1957 году Аллахвердиев доказал следующую характеристику пth s-номер ^[1]:

{ displaystyle s_ {n} (T) = inf { big {} , | TL |: L { text {- оператор конечного ранга}}

Эта формулировка позволила расширить понятие s-номера операторам в Банахово пространство.

Особое значение - Википедия - Singular value

Содержание

Основные свойства