Норма Шаттена - Schatten norm

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найдите источники: «Норма Шаттена»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Ноябрь 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, конкретно функциональный анализ, то Schatten норма (или же Норма Шаттена-фон-Неймана) возникает как обобщение п-интегрируемость аналогична класс трассировки норма и Гильберта-Шмидта норма.

Определение

Позволять ${displaystyle H_ {1}}$, ${displaystyle H_ {2}}$ - гильбертовы пространства, а ${displaystyle T}$ (линейный) ограниченный оператор из ${displaystyle H_ {1}}$ к ${displaystyle H_ {2}}$. За ${displaystyle pin [1, infty)}$, определим p-норму Шаттена ${displaystyle T}$ в качестве

${displaystyle | T | _ {p} = mathrm {Tr} (| T | ^ {p}) ^ {frac {1} {p}}.}$

Если ${displaystyle T}$ компактный и ${displaystyle H_ {1} ,, H_ {2}}$ отделимы, то

${displaystyle | T | _ {p}: = {igg (} sum _ {ngeq 1} s_ {n} ^ {p} (T) {igg)} ^ {1 / p}}$

за ${displaystyle s_ {1} (T) geq s_ {2} (T) geq cdots s_ {n} (T) geq cdots geq 0}$то сингулярные значения из ${displaystyle T}$, т.е. собственные значения эрмитова оператора ${displaystyle | T |: = {sqrt {(T ^ {*} T)}}}$.

Характеристики

В дальнейшем мы формально расширяем диапазон ${displaystyle p}$ к ${displaystyle [1, infty]}$ с условием, что ${displaystyle | cdot | _ {infty}}$ - операторная норма. Двойной индекс к ${displaystyle p = infty}$ затем ${displaystyle q = 1}$.

• Нормы Шаттена унитарно инвариантны: для унитарных операторов ${displaystyle U}$ и ${displaystyle V}$ и ${displaystyle pin [1, infty]}$,

${displaystyle | UTV | _ {p} = | T | _ {p}.}$

• Они удовлетворяют Неравенство Гёльдера: для всех ${displaystyle pin [1, infty]}$ и ${displaystyle q}$ такой, что ${displaystyle {frac {1} {p}} + {frac {1} {q}} = 1}$, и операторы ${displaystyle Sin {mathcal {L}} (H_ {2}, H_ {3}), Tin {mathcal {L}} (H_ {1}, H_ {2})}$ определены между гильбертовыми пространствами ${displaystyle H_ {1}, H_ {2},}$ и ${displaystyle H_ {3}}$ соответственно,

${displaystyle | ST | _ {1} leq | S | _ {p} | T | _ {q}.}$

(Для матриц это можно обобщить на ${displaystyle | ST | _ {r} leq | S | _ {p} | T | _ {q}}$ за ${displaystyle {frac {1} {r}} = {frac {1} {p}} + {frac {1} {q}}}$.^[1])

• Субмультипликативность: для всех ${displaystyle pin [1, infty]}$ и операторы ${displaystyle Sin {mathcal {L}} (H_ {2}, H_ {3}), Tin {mathcal {L}} (H_ {1}, H_ {2})}$ определены между гильбертовыми пространствами ${displaystyle H_ {1}, H_ {2},}$ и ${displaystyle H_ {3}}$ соответственно,

${displaystyle | ST | _ {p} leq | S | _ {p} | T | _ {p}.}$

• Монотонность: Для ${displaystyle 1leq pleq p'leq infty}$,

${displaystyle | T | _ {1} geq | T | _ {p} geq | T | _ {p '} geq | T | _ {infty}.}$

• Двойственность: Пусть ${displaystyle H_ {1}, H_ {2}}$ - конечномерные гильбертовы пространства, ${displaystyle pin [1, infty]}$ и ${displaystyle q}$ такой, что ${displaystyle {frac {1} {p}} + {frac {1} {q}} = 1}$, тогда

${displaystyle | S | _ {p} = sup lbrace | langle S, Tangle | mid | T | _ {q} = 1brace,}$

куда ${displaystyle langle S, Tangle = mathrm {tr} (S ^ {*} T)}$ обозначает Внутреннее произведение Гильберта – Шмидта.

Замечания

Заметь ${displaystyle | cdot | _ {2}}$ - норма Гильберта – Шмидта (см. Оператор Гильберта – Шмидта ), ${displaystyle | cdot | _ {1}}$ - норма класса следов (см. класс трассировки ), и ${displaystyle | cdot | _ {infty}}$ - операторная норма (см. норма оператора ).

За ${displaystyle pin (0,1)}$ функция ${displaystyle | cdot | _ {p}}$ является примером квазинорма.

Оператор, имеющий конечную норму Шаттена, называется Оператор класса Шаттена а пространство таких операторов обозначается через ${displaystyle S_ {p} (H_ {1}, H_ {2})}$. При этой норме ${displaystyle S_ {p} (H_ {1}, H_ {2})}$ является банаховым пространством, а гильбертово пространство для п = 2.

Заметьте, что ${displaystyle S_ {p} (H_ {1}, H_ {2}) substeq {mathcal {K}} (H_ {1}, H_ {2})}$, алгебра компактные операторы. Это следует из того факта, что если сумма конечна, спектр будет конечным или счетным с началом координат в качестве предельной точки и, следовательно, компактным оператором (см. компактный оператор в гильбертовом пространстве ).

Дело п = 1 часто называют ядерная норма (также известный как норма следа, или Кай Фан 'н'-норма^[2])

Смотрите также

Матричные нормы

Рекомендации

• Раджендра Бхатия, Матричный анализ, Vol. 169. Springer Science & Business Media, 1997.
• Джон Уотроус, Теория квантовой информации, 2.3 Нормы операторов, конспект лекций, Университет Ватерлоо, 2011 г.
• Иоахим Вайдман, Линейные операторы в гильбертовых пространствах, Vol. 20. Спрингер, Нью-Йорк, 1980.