Неравенство Хаусдорфа – Юнга. - Hausdorff–Young inequality

В Неравенство Хаусдорфа-Юнга является основополагающим результатом в математической области Анализ Фурье. Как утверждение о рядах Фурье это было открыто Уильям Генри Янг  (1913 ) и расширен Хаусдорф  (1923 ). Сейчас это обычно понимается как довольно прямое следствие Теорема Планшереля, найденного в 1910 г., в сочетании с Теорема Рисса-Торина, первоначально обнаруженный Марсель Рис в 1927 году. С помощью этого механизма он легко допускает несколько обобщений, включая многомерные ряды Фурье и преобразование Фурье на вещественной прямой, евклидовы пространства, а также более общие пространства. С этими расширениями это один из самых известных результатов анализа Фурье, который встречается почти в каждом вводном учебнике по этому предмету для выпускников.

Природу неравенства Хаусдорфа-Юнга можно понять только с помощью интегрирования Римана и бесконечных рядов в качестве предварительного условия. Учитывая непрерывную функцию ж: (0,1) → ℝ, определим его «коэффициенты Фурье» как

${ displaystyle c_ {n} = int _ {0} ^ {1} e ^ {- 2 pi inx} f (x) , dx}$

для каждого целого числа п. Неравенство Хаусдорфа-Юнга говорит, что

${ displaystyle left ( sum _ {n = - infty} ^ { infty} | c_ {n} | ^ {3} right) ^ {1/3} leq left ( int _ {0 } ^ {1} | f (t) | ^ {3/2} , dt right) ^ {2/3}.}$

Грубо говоря, это можно интерпретировать как указание на то, что «размер» функции ж, как представлено правой частью вышеупомянутого неравенства, управляет «размером» своей последовательности коэффициентов Фурье, представленной левой частью.

Однако это лишь очень частный случай общей теоремы. Ниже приводятся обычные формулировки теоремы с использованием техники L^п пробелы и Интеграция Лебега.

Сопряженная экспонента

Учитывая ненулевое действительное число п, определите действительное число п' («сопряженный показатель» числа п) уравнением

${ displaystyle { frac {1} {p}} + { frac {1} {p '}} = 1.}$

Если п равно единице, это уравнение не имеет решения, но интерпретируется как п' бесконечно, как элемент расширенная строка действительных чисел. Аналогично, если п бесконечно, как элемент расширенная строка действительных чисел, то это интерпретируется как п' равно единице.

Обычно понимаемые особенности сопряженной экспоненты просты:

• сопряженная экспонента числа в диапазоне [1,2] находится в диапазоне [2, ∞]
• сопряженная экспонента числа в диапазоне [2, ∞] находится в диапазоне [1,2]
• сопряженный показатель 2 равен 2

Утверждения теоремы

Ряд Фурье

Учитывая функцию ${ Displaystyle f: (0,1) к mathbb {C},}$ один определяет его «коэффициенты Фурье» как функцию ${ displaystyle c: mathbb {Z} to mathbb {C}}$ от

${ Displaystyle с (п) = int _ {0} ^ {1} f (t) e ^ {- 2 pi int} , dt,}$

хотя для произвольной функции ж, эти интегралы могут не существовать. Неравенство Гёльдера показывает, что если ж в L^п(0,1) для некоторого числа п∈ [1, ∞], то каждый коэффициент Фурье определен корректно.

Неравенство Хаусдорфа-Юнга говорит, что для любого числа п в интервале (1,2) имеем

${ displaystyle { Big (} sum _ {n = - infty} ^ { infty} { big |} c (n) { big |} ^ {p '} { Big)} ^ {1 / p '} leq { Big (} int _ {0} ^ {1} | f (t) | ^ {p} , dt { Big)} ^ {1 / p}}$

для всех ж в L^п(0,1). И наоборот, все еще предполагая п∈ (1,2], если ${ displaystyle c: mathbb {Z} to mathbb {C}}$ отображение, для которого

${ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} { big |} c (n) { big |} ^ {p} < infty,}$

тогда существует ${ Displaystyle е в L ^ {p '} (0,1)}$ коэффициенты Фурье которого равны c и с

${ displaystyle { Big (} int _ {0} ^ {1} | f (t) | ^ {p '} , dt { Big)} ^ {1 / p'} leq { Big ( } sum _ {n = - infty} ^ { infty} { big |} c (n) { big |} ^ {p} { Big)} ^ {1 / p}.}$

Использованная литература. Раздел XII.2 в томе II книги Зигмунда

Многомерный ряд Фурье

Случай рядов Фурье обобщается на многомерный случай. Учитывая функцию ${ displaystyle f: (0,1) ^ {k} to mathbb {C},}$ определить его коэффициенты Фурье ${ displaystyle c: mathbb {Z} ^ {k} to mathbb {C}}$ от

${ displaystyle c (n_ {1}, ldots, n_ {k}) = int _ {(0,1) ^ {k}} f (x) e ^ {- 2 pi i (n_ {1}) x_ {1} + cdots + n_ {k} x_ {k})} , dx.}$

Как и в случае рядов Фурье, предположение, что ж в L^п за некоторую стоимость п в [1, ∞] обеспечивает с помощью неравенства Гёльдера существование коэффициентов Фурье. Теперь неравенство Хаусдорфа-Юнга говорит, что если п находится в диапазоне [1,2], то

${ displaystyle { Big (} sum _ {n in mathbb {Z} ^ {k}} { big |} c (n) { big |} ^ {p '} { Big)} ^ {1 / p '} leq { Big (} int _ {(0,1) ^ {k}} | f (x) | ^ {p} , dx { Big)} ^ {1 / p }}$

для любого ж в L^п((0,1)^k).

Использованная литература. Страница 248 книги Фолланда

Преобразование Фурье

Один определяет многомерное преобразование Фурье как

${ displaystyle { widehat {f}} ( xi) = int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- 2 pi i langle x, xi rangle} f (x) , dx.}$

Неравенство Хаусдорфа-Юнга в этой ситуации говорит, что если п число из интервала [1,2], то

${ Displaystyle { Big (} int _ { mathbb {R} ^ {n}} { big |} { widehat {f}} ( xi) { big |} ^ {p '} , d xi { Big)} ^ {1 / p '} leq { Big (} int _ { mathbb {R} ^ {n}} { big |} f (x) { big |} ^ {p} , dx { Big)} ^ {1 / p}}$

для любого ж в L^п(ℝ^п).

Использованная литература. страница 114 книги Графакоса, страница 165 книги Хёрмандера, страница 11 книги Рида и Саймона или раздел 5.1 книги Штейна и Вайсса. В книгах Хёрмандера и Рида-Саймона для определения преобразования Фурье используются соглашения, отличные от принятых в этой статье.

Язык нормированных векторных пространств

Приведенные выше результаты можно кратко перефразировать так:

• карта, которая отправляет функцию (0,1)^k→ ℂ коэффициентам Фурье определяет ограниченное комплексно-линейное отображение L^п((0,1)^k,dx)→L^п/(п-1)(ℤ^k,дн) на любой номер п В диапазоне [1,2]. Вот dx обозначает меру Лебега, а дн обозначает счетную меру. Кроме того, операторная норма этого линейного отображения меньше или равна единице.
• карта, которая отправляет функцию ℝ^п→ ℂ к своему преобразованию Фурье определяет ограниченное комплексно-линейное отображение L^п(ℝ^п)→L^п/(п-1)(ℝ^п) на любой номер п В диапазоне [1,2]. Кроме того, операторная норма этого линейного отображения меньше или равна единице.

Доказательство

Здесь мы используем язык нормированных векторных пространств и ограниченных линейных отображений, что удобно для применения теоремы Рисса-Торина. Доказательство состоит из двух составляющих:

• согласно Теорема Планшереля, ряд Фурье (или преобразование Фурье) определяет ограниченное линейное отображение L²→L².
• используя только единственное равенство ${ displaystyle | e ^ {- 2 pi ina} | = 1}$ для любых реальных чисел п и а, непосредственно видно, что ряд Фурье (или преобразование Фурье) определяет ограниченное линейное отображение L¹→L^∞.

Операторная норма любого линейного отображения меньше или равна единице, как можно непосредственно проверить. Затем можно применить Теорема Рисса – Торина.

Точное неравенство Хаусдорфа-Юнга Бекнера

Равенство достигается в неравенстве Хаусдорфа-Юнга для (многомерного) ряда Фурье, если взять

${ Displaystyle е (х) = е ^ {2 пи я (m_ {1} x_ {1} + cdots + m_ {k} x_ {k})}}$

для любого конкретного выбора целых чисел ${ displaystyle m_ {1}, ldots, m_ {k}.}$ В приведенной выше терминологии «нормированных векторных пространств» это утверждает, что операторная норма соответствующего ограниченного линейного отображения в точности равна единице.

Поскольку преобразование Фурье близко аналогично ряду Фурье, а указанное выше неравенство Хаусдорфа-Юнга для преобразования Фурье доказывается точно так же, как неравенство Хаусдорфа-Юнга для рядов Фурье, может показаться удивительным, что равенство не достигается для указанного выше неравенства Хаусдорфа-Юнга для преобразования Фурье, за исключением специального случая ${ displaystyle p = 2}$ для чего Теорема Планшереля утверждает, что неравенство Хаусдорфа-Юнга является точным равенством.

По факту, Бекнер (1975), следуя особому случаю, появляющемуся в Бабенко (1961), показал, что если п число в интервале [1,2], тогда

${ Displaystyle { Big (} int _ { mathbb {R} ^ {n}} { big |} { widehat {f}} ( xi) { big |} ^ {p '} , d xi { Big)} ^ {1 / p '} leq { Big (} { frac {p ^ {1 / p}} {(p') ^ {1 / p '}}} { Большой)} ^ {n / 2} { Big (} int _ { mathbb {R} ^ {n}} { big |} f (x) { big |} ^ {p} , dx { Big)} ^ {1 / p}}$

для любого ж в L^п(ℝ^п). Это улучшение стандартного неравенства Хаусдорфа-Юнга, поскольку контекст п≤2 и п'≥2 гарантирует, что число, появившееся справа от этого "Неравенство Бабенко – Бекнера «меньше или равно 1. Более того, это число нельзя заменить на меньшее, поскольку равенство достигается в случае гауссовских функций. В этом смысле работа Бекнера дает оптимальную (« точную ») версию Хаусдорфовой функции. -Неравенство Юнга. На языке нормированных векторных пространств оно говорит, что операторная норма ограниченного линейного отображения L^п(ℝ^п)→L^п/(п-1)(ℝ^п), как определено преобразованием Фурье, в точности равна

${ displaystyle { Big (} { frac {p ^ {1 / p}} {(p ') ^ {1 / p'}}} { Big)} ^ {n / 2}.}$

Условие на показатель степени

Условие п∈[1,2] важно. Если п>2, то принадлежность функции ${ Displaystyle L ^ {p}}$, не дает никакой дополнительной информации о порядке роста своего ряда Фурье, кроме того, что он находится в ${ displaystyle ell ^ {2}}$.

использованная литература

Исследовательские статьи

• Бабенко, К. Иван (1961), "Неравенство в теории интегралов Фурье", Известия Академии Наук СССР. Серия Математическая, 25: 531–542, ISSN  0373-2436, Г-Н  0138939 Англ. Пер., Амер. Математика. Soc. Пер. (2) 44, стр. 115–128.
• Бекнер, Уильям (1975), "Неравенства в анализе Фурье", Анналы математики, Вторая серия, 102 (1): 159–182, Дои:10.2307/1970980, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970980, Г-Н  0385456
• Хаусдорф, Феликс (1923), "Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes über Fourierreihen", Mathematische Zeitschrift, 16: 163–169, Дои:10.1007 / BF01175679
• Янг, В. Х. (1913), "Об определении суммируемости функции с помощью ее констант Фурье", Proc. Лондонская математика. Soc., 12: 71–88, Дои:10.1112 / плмс / с2-12.1.71

Учебники

• Берг, Йоран; Лёфстрём, Йорген. Интерполяционные пространства. Введение. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, № 223. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1976. x + 207 с.
• Фолланд, Джеральд Б. Реальный анализ. Современные методы и их применение. Второе издание. Чистая и прикладная математика (Нью-Йорк). Публикация Wiley-Interscience. John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк, 1999. xvi + 386 с. ISBN  0-471-31716-0
• Графакос, Лукас. Классический анализ Фурье. Третье издание. Тексты для выпускников по математике, 249. Springer, New York, 2014. xviii + 638 pp. ISBN  978-1-4939-1193-6, 978-1-4939-1194-3
• Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. Абстрактный гармонический анализ. Vol. II: Структура и анализ компактных групп. Анализ на локально компактных абелевых группах. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 152 Springer-Verlag, New York-Berlin 1970 ix + 771 pp.
• Хёрмандер, Ларс. Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных. I. Теория распределения и анализ Фурье. Перепечатка второго (1990 г.) издания [Springer, Berlin; MR1065993]. Классика по математике. Springer-Verlag, Берлин, 2003. x + 440 с. ISBN  3-540-00662-1
• Рид, Майкл; Саймон, Барри. Методы современной математической физики. II. Фурье-анализ, самосопряженность. Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Нью-Йорк-Лондон, 1975. xv + 361 с.
• Stein, Elias M .; Вайс, Гвидо. Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах. Princeton Mathematical Series, No. 32. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971. x + 297 pp.
• Зигмунд, А. Тригонометрические ряды. Vol. I, II. Третье издание. С предисловием Роберта А. Феффермана. Кембриджская математическая библиотека. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2002. xii; Vol. I: xiv + 383 с .; Vol. II: viii + 364 с. ISBN  0-521-89053-5