Теорема Адамара о трех линиях - Hadamard three-lines theorem

В комплексный анализ, раздел математики, Теорема Адамара о трех линиях является результатом поведения голоморфные функции определены в областях, ограниченных параллельными линиями в комплексная плоскость. Теорема названа в честь французского математика. Жак Адамар.

Заявление

Позволять ж(z) - ограниченная функция от г = х + гу определяется на полосе

{ Displaystyle {х + iy: а leq x leq b },}

голоморфный внутри полосы и непрерывный на всей полосе. Если

{ Displaystyle М (х) = sup _ {y} | е (х + iy) |, ,}

затем войтиM(Икс) - выпуклая функция на [а, б].

Другими словами, если ${ Displaystyle х = та + (1-т) Ь}$ с ${ Displaystyle 0 Leq т Leq 1}$ , тогда

{ Displaystyle М (Икс) Leq М (а) ^ {т} М (б) ^ {1-т}. ,}

Доказательство

Определять ${ Displaystyle F (z)}$ к

{ Displaystyle F (z) = е (z) M (a) ^ {z-b над b-a} M (b) ^ {z-a над a-b}.}

Таким образом |F(z) | ≤ 1 по краям полосы. Результат следует после того, как будет показано, что неравенство выполняется и внутри полосы.

После аффинное преобразование в координате z, можно предположить, что а = 0 и б = 1, функция

{ Displaystyle F_ {n} (z) = F (z) e ^ {z ^ {2} / n} e ^ {- 1 / n}}

стремится к 0 при |z| стремится к бесконечности и удовлетворяет |F_п| ≤ 1 на границе полосы. В принцип максимального модуля поэтому может применяться к F_п в полосе. Итак |F_п(z) | ≤ 1. Поскольку F_п(z) как правило F(z) в качестве п стремится к бесконечности. следует, что |F(z)| ≤ 1.

Приложения

Теорема о трех строках может быть использована для доказательства Теорема Адамара о трех кругах для ограниченной непрерывной функции ${ displaystyle g (z)}$ накольцо ${ Displaystyle {Z: г Leq | Z | Leq R }}$ , голоморфный внутри. Действительно, применяя теорему к

{ Displaystyle е (г) = г (е ^ {г}), ,}

показывает, что если

{ Displaystyle м (s) = sup _ {| z | = e ^ {s}} | g (z) |, ,}

тогда ${ Displaystyle журнал , м (ов)}$ является выпуклой функцией от s.

Трехстрочная теорема верна и для функций со значениями в Банахово пространство и играет важную роль в комплексная теория интерполяции. Это может быть использовано для доказательства Неравенство Гёльдера для измеримых функций