Топологическая динамика - Topological dynamics

В математика, топологическая динамика это раздел теории динамические системы в котором качественные, асимптотические свойства динамических систем исследуются с точки зрения общая топология.

Объем

Центральным объектом изучения топологической динамики является топологическая динамическая система, т.е. топологическое пространство вместе с непрерывное преобразование, непрерывный поток или, в более общем смысле, полугруппа непрерывных преобразований этого пространства. Истоки топологической динамики лежат в изучении асимптотических свойств траектории систем автономный обыкновенные дифференциальные уравнения, в частности, поведение предельные наборы и различные проявления «повторяемости» движения, такие как периодические траектории, повторяемость и минимальность, устойчивость, неблуждающие точки. Джордж Биркофф считается основоположником отрасли. Структурная теорема для минимальных дистальных потоков, доказанная Гилель Фюрстенберг в начале 1960-х годов вдохновил много работ по классификации минимальных потоков. В 1970-1980-х годах много исследований было посвящено топологической динамике одномерных отображений, в частности, кусочно-линейный самокарты интервала и круга.

В отличие от теории гладких динамических систем, где основным объектом исследования является гладкое многообразие с диффеоморфизм или плавный поток, фазовые пространства рассматриваемые в топологической динамике являются общими метрические пространства (обычно, компактный ). Это требует разработки совершенно разных техник, но дает дополнительную степень гибкости даже в плавных настройках, потому что инвариантные подмножества многообразия часто очень сложны топологически (ср. предельный цикл, странный аттрактор ); Кроме того, сменные места возникающие через символические представления, можно рассматривать наравне с более геометрическими действиями. Топологическая динамика тесно связана с эргодическая теория динамических систем, и многие фундаментальные понятия последних имеют топологические аналоги (см. Энтропия Колмогорова – Синая и топологическая энтропия ).

Смотрите также

• Теорема Пуанкаре – Бендиксона
• Символическая динамика
• Топологическая сопряженность

Рекомендации

• Д. В. Аносов (2001) [1994], «Топологическая динамика», Энциклопедия математики, EMS Press
• Джозеф Ауслендер (ред.). «Топологическая динамика». Scholarpedia.
• Роберт Эллис, Лекции по топологической динамике. W. A. ​​Benjamin, Inc., Нью-Йорк, 1969 г.
• Уолтер Готтшалк, Густав Хедлунд, Топологическая динамика. Публикации коллоквиума Американского математического общества, Vol. 36. Американское математическое общество, Провиденс, Р. И., 1955.
• Ж. де Врис, Элементы топологической динамики. Математика и ее приложения, 257. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1993 ISBN  0-7923-2287-8
• Итан Акин, Общая топология динамических систем., Книжный магазин AMS, 2010, ISBN  978-0-8218-4932-3
• Ж. де Врис, Топологические динамические системы: введение в динамику непрерывных отображений, Исследования Де Грюйтера по математике, 59, Де Грюйтер, Берлин, 2014 г., ISBN  978-3-1103-4073-0
• Цзянь Ли и Сян Донг Е, Недавнее развитие теории хаоса в топологической динамике, Acta Mathematica Sinica, English Series, 2016, Volume 32, Issue 1, pp. 83–114.