Предельный цикл - Limit cycle

Стабильный предельный цикл (выделен жирным шрифтом) и две другие траектории, втекающие в него

Стабильный предельный цикл (выделен жирным шрифтом) для Генератор Ван дер Поля

В математика, при изучении динамические системы с двумерным фазовое пространство, а предельный цикл закрытый траектория в фазовом пространстве, обладающем тем свойством, что по крайней мере еще одна траектория вьется в него по спирали либо когда время приближается к бесконечности, либо когда время приближается к отрицательной бесконечности. Такое поведение проявляется в некоторых нелинейные системы. Предельные циклы использовались для моделирования поведения очень многих реальных колебательных систем. Исследование предельных циклов было инициировано Анри Пуанкаре (1854–1912).

Определение

Рассмотрим двумерную динамическую систему вида

{ Displaystyle х '(т) = В (х (т))}

куда

{ Displaystyle V: mathbb {R} ^ {2} to mathbb {R} ^ {2}}

- гладкая функция. А траектория этой системы - некоторая гладкая функция ${ Displaystyle х (т)}$ со значениями в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ которое удовлетворяет этому дифференциальному уравнению. Такая траектория называется закрыто (или же периодический), если он не постоянный, но возвращается в исходную точку, т.е. если существует ${ displaystyle t_ {0}> 0}$ такой, что ${ Displaystyle х (т + т_ {0}) = х (т)}$ для всех ${ Displaystyle т в mathbb {R}}$ . An орбита это изображение траектории, подмножество ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ . А закрытая орбита, или же цикл, - изображение замкнутой траектории. А предельный цикл это цикл, который является установленный предел какой-то другой траектории.

Характеристики

Посредством Теорема Жордана, каждая замкнутая траектория делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю по кривой.

Учитывая предельный цикл и внутреннюю траекторию, которая приближается к предельному циклу при приближении времени ${ displaystyle + infty}$ , то вокруг предельного цикла существует такая окрестность, что все траектории внутри, которые начинаются в окрестности, приближаются к предельному циклу для времени, приближающегося ${ displaystyle + infty}$ . Соответствующее утверждение верно для внутренней траектории, которая приближается к предельному циклу при приближении времени ${ displaystyle - infty}$ , а также для внешних траекторий, приближающихся к предельному циклу.

Стабильные, нестабильные и полустабильные предельные циклы

В случае, когда все соседние траектории приближаются к предельному циклу, когда время приближается к бесконечности, это называется стабильный или же привлекательный предельный цикл (ω-предельный цикл). Если вместо этого все соседние траектории приближаются к нему, когда время приближается к отрицательной бесконечности, то это неустойчивый предельный цикл (α-предельный цикл). Если есть соседняя траектория, которая закручивается в предельный цикл, когда время приближается к бесконечности, и другая, которая закручивается в нее, когда время приближается к отрицательной бесконечности, то это полустабильный предельный цикл. Существуют также предельные циклы, которые не являются ни стабильными, ни нестабильными, ни полустабильными: например, соседняя траектория может приближаться к предельному циклу извне, но внутренняя часть предельного цикла приближается к семейству других циклов (которые не могли бы '' t - предельные циклы).

Устойчивые предельные циклы являются примерами аттракторы. Они подразумевают самоокупаемость колебания: замкнутая траектория описывает идеальное периодическое поведение системы, и любое небольшое возмущение от этой замкнутой траектории заставляет систему возвращаться к ней, заставляя систему придерживаться предельного цикла.

Поиск предельных циклов

Каждая замкнутая траектория содержит внутри себя стационарный пункт системы, т.е. точка ${ displaystyle p}$ куда ${ Displaystyle V (p) = 0}$ . В Теорема Бендиксона – Дюлака и Теорема Пуанкаре – Бендиксона предсказывают отсутствие или существование соответственно предельных циклов двумерных нелинейных динамических систем.

Открытые проблемы

Поиск предельных циклов, вообще говоря, очень сложная задача. Число предельных циклов полиномиального дифференциального уравнения на плоскости является основной целью второй части. Шестнадцатая проблема Гильберта. Неизвестно, например, есть ли система ${ Displaystyle х '= В (х)}$ в плоскости, где обе компоненты ${ displaystyle V}$ являются квадратичными многочленами от двух переменных, так что система имеет более 4 предельных циклов.

Приложения

Примеры ветвления предельных циклов из неподвижных точек вблизи Бифуркация хопфа. Траектории отмечены красным, устойчивые конструкции - синим, неустойчивые - голубым. Выбор параметра определяет возникновение и стабильность предельных циклов.

Предельные циклы важны во многих научных приложениях, где моделируются системы с автоколебаниями. Вот некоторые примеры:

Аэродинамические колебания предельного цикла^[1]
В Модель Ходжкина – Хаксли за потенциалы действия в нейроны.
Сельковская модель гликолиз.^[2]
Ежедневные колебания экспрессии генов, уровня гормонов и температуры тела животных, которые являются частью циркадный ритм.^[3]^[4]
В миграция из раковые клетки в замкнутой микросреде следует предельный цикл колебаний.^[5]
Некоторые нелинейные электрические схемы проявлять колебания предельного цикла,^[6] который вдохновил оригинал Модель Ван дер Поля.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Стивен Х. Строгац (2014). Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике. Авалон. ISBN 9780813349114.
М. Видьясагар (2002). Нелинейный системный анализ (Второе изд.). СИАМ. ISBN 9780898715262.
Филип Хартман, "Обыкновенное дифференциальное уравнение", Общество промышленной и прикладной математики, 2002.
Витольд Гуревич, "Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям", Довер, 2002.
Соломон Лефшец, "Дифференциальные уравнения: геометрическая теория", Довер, 2005 г.
Лоуренс Перко, "Дифференциальные уравнения и динамические системы", Springer-Verlag, 2006.
Артур Мэттак, «Предельные циклы: критерии существования и несуществования», MIT Open Courseware http://videolectures.net/mit1803s06_mattuck_lec32/#

внешняя ссылка

«предельный цикл». planetmath.org. Получено 2019-07-06.

[1] Томас, Джеффри П .; Доуэлл, Эрл Х .; Холл, Кеннет С. (2002), «Нелинейные аэродинамические эффекты невязкой жидкости на трансзвуковую расходимость, флаттер и колебания предельного цикла» (PDF), Журнал AIAA, Американский институт аэронавтики и астронавтики, 40 (4): 638, Bibcode:2002AIAAJ..40..638T, Дои:10.2514/2.1720, получено 9 декабря, 2019

[2] Сельков, Е. Е. (1968). «Автоколебания при гликолизе 1. Простая кинетическая модель». Европейский журнал биохимии. 4 (1): 79–86. Дои:10.1111 / j.1432-1033.1968.tb00175.x. ISSN 1432-1033. PMID 4230812.

[3] Лелуп, Жан-Кристоф; Гонзе, Дидье; Гольдбетер, Альберт (1999-12-01). «Модели предельного цикла для циркадных ритмов, основанные на регуляции транскрипции у Drosophila и Neurospora». Журнал биологических ритмов. 14 (6): 433–448. Дои:10.1177/074873099129000948. ISSN 0748-7304. PMID 10643740. S2CID 15074869.

[4] Роеннеберг, Тилль; Чуа, Элейн Джейн; Бернардо, Рик; Мендоса, Эдуардо (9 сентября 2008 г.). «Моделирование биологических ритмов». Текущая биология. 18 (17): R826 – R835. Дои:10.1016 / j.cub.2008.07.017. ISSN 0960-9822. PMID 18786388. S2CID 2798371.

[5] Брюкнер, Дэвид Б .; Финк, Александра; Шрайбер, Кристоф; Röttgermann, Peter J. F .; Редлер, Иоахим; Бродерс, Чейз П. (2019). «Стохастическая нелинейная динамика ограниченной миграции клеток в системах с двумя состояниями». Природа Физика. 15 (6): 595–601. Bibcode:2019НатФ..15..595Б. Дои:10.1038 / s41567-019-0445-4. ISSN 1745-2481. S2CID 126819906.

[6] Жину, Жан-Марк; Летелье, Кристоф (30 апреля 2012). «Ван дер Поль и история релаксационных колебаний: к появлению концепции». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки. 22 (2): 023120. arXiv:1408.4890. Bibcode:2012Хаос..22b3120G. Дои:10.1063/1.3670008. ISSN 1054-1500. PMID 22757527. S2CID 293369.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]