Бифуркация Хопфа - Википедия - Hopf bifurcation

Комплексные собственные значения произвольного отображения (точки). В случае бифуркации Хопфа два комплексно сопряженных собственных значения пересекают мнимую ось.

в математическая теория бифуркаций, а Хопф бифуркация это критическая точка где стабильность системы переключается и периодическое решение возникает.[1] Точнее, это локальная бифуркация, в которой фиксированная точка из динамическая система теряет устойчивость, так как пара комплексно сопряженный собственные значения -из линеаризация вокруг фиксированной точки - пересекает комплексная плоскость мнимая ось. При разумно общих предположениях о динамической системе малой амплитуды предельный цикл ветви от фиксированной точки.

Бифуркация Хопфа также известна как Бифуркация Пуанкаре – Андронова – Хопфа, названный в честь Анри Пуанкаре, Александр Андронов и Эберхард Хопф.

Обзор

Сверхкритические и подкритические бифуркации Хопфа

Динамика бифуркации Хопфа вблизи . Возможные траектории показаны красным цветом, устойчивые структуры - синим, а неустойчивые структуры - голубым пунктиром. Сверхкритическая бифуркация Хопфа: 1a) устойчивая неподвижная точка 1b) неустойчивая неподвижная точка, устойчивый предельный цикл 1c) динамика фазового пространства. Докритическая бифуркация Хопфа: 2a) стабильная неподвижная точка, неустойчивый предельный цикл 2b) нестабильная неподвижная точка 2c) динамика фазового пространства. определяет угловую динамику и, следовательно, направление намотки траекторий.

Предельный цикл орбитально устойчив, если определенная величина, называемая первый коэффициент Ляпунова отрицательна, а бифуркация - сверхкритическая. В противном случае она нестабильна и бифуркация подкритическая.

В нормальная форма бифуркации Хопфа:

куда zб оба сложны и λ является параметром.

Написать: Номер α называется первым Ляпунов коэффициент.

  • Если α отрицательна, то существует устойчивый предельный цикл для λ > 0:
куда
Затем бифуркация называется сверхкритический.
  • Если α положительна, то существует неустойчивый предельный цикл для λ <0. Бифуркация называется субкритический.

Пример

Бифуркация Хопфа в системе Селькова (см. Статью). При изменении параметров предельный цикл (синим цветом) появляется из устойчивого равновесия.

Бифуркации Хопфа происходят в Модель Лотки – Вольтерры из взаимодействие хищника и жертвы (известный как парадокс обогащения ), Модель Ходжкина – Хаксли для нервной оболочки,[2] модель Селькова гликолиз,[3] то Реакция Белоусова – Жаботинского, то Аттрактор Лоренца, а Брюсселятор.

Модель Селькова - это

Справа показан фазовый портрет, иллюстрирующий бифуркацию Хопфа в модели Селькова.[4]

В системах железнодорожного транспорта особенно важен анализ бифуркаций Хопфа. Обычно устойчивое движение железнодорожного подвижного состава на низких скоростях переходит в неустойчивое движение на высоких скоростях. Одной из целей нелинейного анализа этих систем является выполнение аналитического исследования бифуркации, нелинейной поперечной устойчивости и поведения рельсовых транспортных средств на касательном пути с использованием метода Боголюбова.[5]

Определение бифуркации Хопфа

Возникновение или исчезновение периодической орбиты из-за локального изменения свойств устойчивости неподвижной точки известно как бифуркация Хопфа. Следующая теорема работает для неподвижных точек с одной парой сопряженных ненулевых чисто мнимых собственные значения. Он говорит об условиях, при которых происходит это явление бифуркации.

Теорема (см. раздел 11.2 [6]). Позволять быть Якобиан непрерывного параметрического динамическая система оценивается в устойчивой точке . Предположим, что все собственные значения имеют отрицательную действительную часть, кроме одной сопряженной ненулевой чисто мнимой пары . А Бифуркация хопфа возникает, когда эти два собственных значения пересекают мнимую ось из-за изменения параметров системы.

Критерий Рауса-Гурвица

Критерий Рауса-Гурвица (раздел I.13 [7]) дает необходимые условия для возникновения бифуркации Хопфа. Давайте посмотрим, как можно конкретно использовать эту идею.[8]

Серия Штурм

Позволять быть Серия Штурм связано с характеристический многочлен . Их можно записать в виде:

Коэффициенты за в соответствуют тому, что называется Детерминанты Гурвица.[8] Их определение связано с соответствующими Матрица Гурвица.

Предложения

Предложение 1. Если все детерминанты Гурвица положительные, кроме возможно тогда ассоциированный якобиан не имеет чисто мнимых собственных значений.

Предложение 2.. Если все детерминанты Гурвица (для всех в положительные, и тогда все собственные значения ассоциированного якобиана имеют отрицательные действительные части, кроме чисто мнимой сопряженной пары.

Это последнее предложение дает условия, которые мы ищем для возникновения бифуркации Хопфа (см. Теорему выше) для параметрической непрерывной динамической системы.

Пример

Рассмотрим классический Генератор Ван дер Поля записанные обыкновенными дифференциальными уравнениями:

Матрица Якоби, связанная с этой системой, выглядит следующим образом:

Характеристический многочлен (в ) линеаризации в точке (0,0) равна:

Коэффициенты:
Связанный Серия Штурм является:

В Штурм полиномы можно записать как (здесь ):

Приведенное выше предложение 2 говорит, что нужно иметь:

Поскольку 1> 0 и −1 <0 очевидны, можно сделать вывод, что бифуркация Хопфа может произойти для осциллятора Ван дер Поля, если .

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ «Раздвоения Хопфа» (PDF). Массачусетский технологический институт.
  2. ^ Guckenheimer, J .; Labouriau, J.S. (1993), "Бифуркация уравнений Ходжкина и Хаксли: новый поворот", Вестник математической биологии, 55 (5): 937–952, Дои:10.1007 / BF02460693, S2CID  189888352.
  3. ^ "Selkov Model Wolfram Demo". [демонстрации.wolfram.com]. Получено 30 сентября 2012.
  4. ^ Для получения подробной информации см. Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос. Эддисон Уэсли. п.205. ISBN  978-0-7382-0453-6.
  5. ^ Сераджян, Реза (2011). «Влияние инерции тележки и корпуса на нелинейный поиск колесных пар, признанное теорией бифуркации Хопфа» (PDF). Международный журнал автомобильной инженерии. 3 (4): 186–196.
  6. ^ Hale, J .; Кочак, Х. (1991). Динамика и бифуркации. Тексты по прикладной математике. 3. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-97141-2.
  7. ^ Hairer, E .; Norsett, S.P .; Ваннер, Г. (1993). Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I: нежесткие задачи (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-56670-0.
  8. ^ а б Kahoui, M.E .; Вебер, А. (2000). «Решение бифуркаций Хопфа путем исключения квантора в архитектуре программных компонентов». Журнал символических вычислений. 30 (2): 161–179. Дои:10.1006 / jsco.1999.0353.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка