Теория бифуркации - Bifurcation theory

Фазовый портрет, показывающий бифуркацию седло-узел

Теория бифуркации это математический изучение изменений качественного или топологический структура данного семья, такой как интегральные кривые семьи векторные поля, а решения семейства дифференциальные уравнения. Чаще всего применяется к математический исследование динамические системы, а бифуркация происходит, когда небольшое плавное изменение значений параметров (параметров бифуркации) системы вызывает внезапное «качественное» или топологическое изменение ее поведения.[1] Бифуркации происходят в обеих непрерывных системах (описываемых ODE, DDE или PDEs ) и дискретных систем (описываемых картами). Название «бифуркация» впервые ввел Анри Пуанкаре в 1885 г. в первой статье по математике, показывающей такое поведение.[2] Анри Пуанкаре также позже назвал различные типы стационарные точки и классифицировал их по мотивам

Типы бифуркаций

Бифуркации полезно разделить на два основных класса:

  • Локальные бифуркации, которые могут быть полностью проанализированы через изменение свойств локальной устойчивости равновесие периодические орбиты или другие инвариантные наборы, когда параметры пересекают критические пороги; и
  • Глобальные бифуркации, которые часто происходят, когда большие инвариантные множества системы «сталкиваются» друг с другом или с положениями равновесия системы. Их нельзя обнаружить только путем анализа устойчивости состояний равновесия (неподвижных точек).

Локальные бифуркации

Бифуркации уменьшения периода вдвое (L), приводящие к порядку, за которыми следуют бифуркации удвоения периода (R), ведущие к хаосу.

Локальная бифуркация происходит, когда изменение параметра приводит к изменению устойчивости равновесия (или фиксированной точки). В непрерывных системах это соответствует действительной части собственного значения равновесия, проходящей через ноль. В дискретных системах (описываемых картами, а не ОДУ) это соответствует фиксированной точке, имеющей Множитель Флоке с модулем, равным единице. В обоих случаях равновесие негиперболический в точке бифуркации. Топологические изменения фазового портрета системы могут быть ограничены сколь угодно малыми окрестностями бифуркационных неподвижных точек, перемещая параметр бифуркации близко к точке бифуркации (следовательно, `` локально '').

С технической точки зрения, рассмотрим непрерывную динамическую систему, описываемую ОДУ

Локальная бифуркация происходит в если Якобиан матрицаимеет собственное значение с нулевой действительной частью. Если собственное значение равно нулю, бифуркация является бифуркацией установившегося состояния, но если собственное значение ненулевое, но чисто мнимое, это Бифуркация хопфа.

Для дискретных динамических систем рассмотрим систему

Затем происходит локальная бифуркация при если матрицаимеет собственное значение с модулем, равным единице. Если собственное значение равно единице, бифуркация представляет собой либо седло-узел (часто называемое бифуркацией складок на картах), либо транскритическую бифуркацию или бифуркацию вил. Если собственное значение равно -1, это бифуркация удвоения периода (или переворота), в противном случае это бифуркация Хопфа.

Примеры локальных бифуркаций включают:

Глобальные бифуркации

Фазовый портрет до, при и после гомоклинической бифуркации в 2D. Периодическая орбита растет, пока не столкнется с седловой точкой. В точке бифуркации период периодической орбиты вырос до бесконечности и стал равным гомоклиническая орбита. После бифуркации периодической орбиты больше нет. Левая панель: Для малых значений параметров есть точка перевала в начале и предельный цикл в первом квадранте. Средняя панель: По мере увеличения параметра бифуркации предельный цикл растет до тех пор, пока он точно не пересечет седловую точку, создавая орбиту бесконечной продолжительности. Правая панель: При дальнейшем увеличении параметра бифуркации предельный цикл полностью исчезает.

Глобальные бифуркации происходят, когда «большие» инвариантные множества, такие как периодические орбиты, сталкиваются с положениями равновесия. Это вызывает изменения в топологии траекторий в фазовом пространстве, которые не могут быть ограничены малой окрестностью, как в случае с локальными бифуркациями. Фактически, изменения в топологии простираются на сколь угодно большие расстояния (следовательно, «глобальные»).

Примеры глобальных бифуркаций включают:

  • Гомоклиническая бифуркация в котором предельный цикл сталкивается с точка перевала.[3] Гомоклинические бифуркации могут происходить сверхкритически или субкритически. Вышеупомянутый вариант - это «малая» гомоклиническая бифуркация или «тип I». В 2D также существует гомоклиническая бифуркация «большого» или «типа II», в которой гомоклиническая орбита «захватывает» другие концы неустойчивых и устойчивых многообразий седла. В трех или более измерениях могут происходить бифуркации более высоких коразмерностей, вызывая сложные, возможно хаотичный динамика.
  • Гетероклиническая бифуркация в котором предельный цикл сталкивается с двумя или более седловыми точками; они включают гетероклинический цикл.[4] Гетероклинические бифуркации бывают двух типов: резонансные бифуркации и поперечные бифуркации. Оба типа бифуркации приведут к изменению устойчивости гетероклинического цикла. При резонансной бифуркации устойчивость цикла изменяется, когда алгебраическое условие на собственные значения состояний равновесия в цикле выполняется. Обычно это сопровождается рождением или смертью периодическая орбита. Поперечная бифуркация гетероклинического цикла возникает, когда действительная часть поперечного собственного значения одного из положений равновесия в цикле проходит через ноль. Это также вызовет изменение стабильности гетероклинического цикла.
  • Бифуркация бесконечного периода в котором устойчивый узел и седловая точка одновременно возникают на предельном цикле.[5] Поскольку предел Если параметр приближается к некоторому критическому значению, скорость колебаний замедляется, а период приближается к бесконечности. При этом критическом значении происходит бифуркация бесконечного периода. За пределами критического значения две фиксированные точки непрерывно выходят друг из друга в предельном цикле, чтобы нарушить колебания и сформировать две седловые точки.
  • Катастрофа голубого неба в котором предельный цикл сталкивается с негиперболическим циклом.

Глобальные бифуркации также могут включать более сложные множества, такие как хаотические аттракторы (например, кризисы ).

Коразмерность бифуркации

В коразмерность бифуркации - это количество параметров, которые необходимо изменить, чтобы бифуркация произошла. Это соответствует коразмерности набора параметров, для которого бифуркация происходит в пределах всего пространства параметров. Бифуркации седло-узел и бифуркации Хопфа - единственные типичные локальные бифуркации, которые действительно имеют коразмерность один (все остальные имеют более высокую коразмерность). Однако транскритические бифуркации и бифуркации вил также часто рассматриваются как коразмерность один, потому что нормальные формы могут быть записаны только с одним параметром.

Примером хорошо изученной бифуркации коразмерности два является Бифуркация Богданова – Такенса.

Приложения в полуклассической и квантовой физике

Теория бифуркации была применена, чтобы связать квантовые системы с динамикой их классических аналогов в атомных системах,[6][7][8] молекулярные системы,[9] и резонансные туннельные диоды.[10] Теория бифуркации также применялась к изучению лазерная динамика[11] и ряд теоретических примеров, к которым трудно получить экспериментальный доступ, таких как «взорванный верх»[12] и связанные квантовые ямы.[13] Основная причина связи между квантовыми системами и бифуркациями в классических уравнениях движения заключается в том, что при бифуркациях сигнатура классических орбит становится большой, поскольку Мартин Гуцвиллер указывает в своей классике[14] работа над квантовый хаос.[15] Многие виды бифуркаций были изучены в отношении связей между классической и квантовой динамикой, включая бифуркации седловых узлов, бифуркации Хопфа, омбилические бифуркации, бифуркации удвоения периода, бифуркации пересоединения, касательные бифуркации и бифуркации каспов.

Смотрите также

Заметки

  1. ^ Blanchard, P .; Девани, Р.Л.; Холл, Г. Р. (2006). Дифференциальные уравнения. Лондон: Томпсон. С. 96–111. ISBN  978-0-495-01265-8.
  2. ^ Анри Пуанкаре. "L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de Rotation". Acta Mathematica, vol.7, pp. 259-380, сентябрь 1885 г.
  3. ^ Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос. Эддисон-Уэсли. п. 262. ISBN  0-201-54344-3.
  4. ^ Ло, Динцзюнь (1997). Теория бифуркаций и методы динамических систем.. World Scientific. п. 26. ISBN  981-02-2094-4.
  5. ^ Джеймс П. Кинер, "Бифуркация бесконечного периода и ветви глобальной бифуркации", Журнал SIAM по прикладной математике, Vol. 41, № 1 (август 1981 г.), стр. 127–144.
  6. ^ Gao, J .; Делос, Дж. Б. (1997). «Квантовые проявления бифуркаций замкнутых орбит в спектрах фотопоглощения атомов в электрических полях». Phys. Ред. А. 56 (1): 356–364. Bibcode:1997PhRvA..56..356G. Дои:10.1103 / PhysRevA.56.356.
  7. ^ Peters, A.D .; Jaffé, C .; Делос, Дж. Б. (1994). «Квантовые проявления бифуркаций классических орбит: точно решаемая модель». Phys. Rev. Lett. 73 (21): 2825–2828. Bibcode:1994ПхРвЛ..73.2825П. Дои:10.1103 / PhysRevLett.73.2825. PMID  10057205.
  8. ^ Кортни, Майкл; Цзяо, Хун; Спеллмейер, Нил; Клеппнер, Даниэль; Gao, J .; Delos, J. B .; и другие. (1995). "Бифуркации замкнутой орбиты в штарковских спектрах сплошных сред". Phys. Rev. Lett. 74 (9): 1538–1541. Bibcode:1995ФРвЛ..74.1538С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.74.1538. PMID  10059054.
  9. ^ Founargiotakis, M .; Farantos, S.C .; Скокос, гл .; Контопулос, Г. (1997). «Бифуркационные диаграммы периодических орбит несвязанных молекулярных систем: FH2». Письма по химической физике. 277 (5–6): 456–464. Bibcode:1997CPL ... 277..456F. Дои:10.1016 / S0009-2614 (97) 00931-7.
  10. ^ Монтейро, Т. С. и Сарага, Д. С. (2001). «Квантовые ямы в наклонных полях: полуклассические амплитуды и времена фазовой когерентности». Основы физики. 31 (2): 355–370. Дои:10.1023 / А: 1017546721313. S2CID  120968155.
  11. ^ Wieczorek, S .; Krauskopf, B .; Симпсон, Т. Б. и Ленстра, Д. (2005). «Динамическая сложность полупроводниковых лазеров с оптической инжекцией». Отчеты по физике. 416 (1–2): 1–128. Bibcode:2005PhR ... 416 .... 1Вт. Дои:10.1016 / j.physrep.2005.06.003.
  12. ^ Стаматиу, Г. и Гикас, Д. П. К. (2007). «Зависимость квантовой запутанности от бифуркаций и рубцов в неавтономных системах. Случай квантового волчка». Письма о физике A. 368 (3–4): 206–214. arXiv:Quant-ph / 0702172. Bibcode:2007ФЛА..368..206С. Дои:10.1016 / j.physleta.2007.04.003. S2CID  15562617.
  13. ^ Galan, J .; Фрейре, Э. (1999). «Хаос в модели среднего поля связанных квантовых ям; бифуркации периодических орбит в симметричной гамильтоновой системе». Доклады по математической физике. 44 (1–2): 87–94. Bibcode:1999RpMP ... 44 ... 87G. Дои:10.1016 / S0034-4877 (99) 80148-7.
  14. ^ Kleppner, D .; Делос, Дж. Б. (2001). «За пределами квантовой механики: идеи из работ Мартина Гуцвиллера». Основы физики. 31 (4): 593–612. Дои:10.1023 / А: 1017512925106. S2CID  116944147.
  15. ^ Гуцвиллер, Мартин К. (1990). Хаос в классической и квантовой механике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-97173-5.

использованная литература

внешние ссылки