Разветвление вил - Pitchfork bifurcation

Эта секция нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. (Октябрь 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В теория бифуркации, поле внутри математика, а вилы раздвоение это особый тип местных бифуркация где система переходит от одной фиксированной точки к трем фиксированным точкам. Разветвления вил, как Бифуркации Хопфа имеют два типа - сверхкритический и докритический.

В непрерывных динамических системах, описываемых ODE â € ”т.е. потоков - бифуркации вил обычно возникают в системах с симметрия.

Сверхкритический случай

Сверхкритический случай: сплошные линии - устойчивые точки, пунктирные - нестабильные.

В нормальная форма суперкритической развилки вил

${displaystyle {frac {dx} {dt}} = rx-x ^ {3}.}$

За ${displaystyle r <0}$, имеется одно устойчивое равновесие при ${displaystyle x = 0}$. За ${displaystyle r> 0}$ есть неустойчивое равновесие при ${displaystyle x = 0}$, и два устойчивых положения равновесия при ${displaystyle x = pm {sqrt {r}}}$.

Докритический случай

Докритический случай: сплошная линия представляет устойчивую точку, пунктирная линия - неустойчивую.

В нормальная форма для докритического случая

${displaystyle {frac {dx} {dt}} = rx + x ^ {3}.}$

В этом случае для ${displaystyle r <0}$ равновесие при ${displaystyle x = 0}$ устойчиво, и есть два неустойчивых положения равновесия при ${displaystyle x = pm {sqrt {-r}}}$. За ${displaystyle r> 0}$ равновесие при ${displaystyle x = 0}$ нестабильно.

Формальное определение

ODE

${displaystyle {точка {x}} = f (x, r),}$

описывается функцией с одним параметром ${displaystyle f (x, r)}$ с ${displaystyle rin mathbb {R}}$ удовлетворение:

${displaystyle -f (x, r) = f (-x, r) ,,}$ (f - это нечетная функция ),

${displaystyle {egin {выравнивается} {frac {partial f} {partial x}} (0, r_ {0}) & = 0, & {frac {partial ^ {2} f} {partial x ^ {2}}} (0, r_ {0}) & = 0, & {frac {partial ^ {3} f} {partial x ^ {3}}} (0, r_ {0}) & eq 0, [5pt] {frac { partial f} {partial r}} (0, r_ {0}) & = 0, & {frac {partial ^ {2} f} {partial rpartial x}} (0, r_ {0}) & eq 0.end { выровнено}}}$

имеет вилы раздвоение в ${displaystyle (x, r) = (0, r_ {0})}$. Форму вил задает знак третьей производной:

${displaystyle {frac {partial ^ {3} f} {partial x ^ {3}}} (0, r_ {0}) {egin {cases} <0, & {ext {supercritical}} > 0, & { ext {subcritical}} конец {случаи}} ,,}$

Обратите внимание, что докритический и сверхкритический режим описывают стабильность внешних линий вил (пунктирная или сплошная, соответственно) и не зависят от того, в каком направлении обращены вилы. Например, отрицательное значение первого ОДУ выше, ${displaystyle {точка {x}} = x ^ {3} -rx}$, смотрит в том же направлении, что и первое изображение, но меняет устойчивость.

Смотрите также

• Теория бифуркации
• Бифуркационная диаграмма

Рекомендации

• Стивен Строгац, Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике, Книги Персея, 2000.
• С. Виггинс, Введение в прикладные нелинейные динамические системы и хаос, Springer-Verlag, 1990.