Уравнение Дуффинга - Duffing equation

А Раздел Пуанкаре вынужденного уравнения Дуффинга, предполагающего хаотическое поведение

{ Displaystyle ( альфа = 1,}

{ displaystyle beta = 5,}

{ displaystyle delta = 0,02,}

{ displaystyle gamma = 8}

и

{ displaystyle omega = 0,5)}

.

В Уравнение Дуффинга (или же Осциллятор Дуффинга), названный в честь Георг Даффинг (1861–1944), является нелинейный второго порядка дифференциальное уравнение используется для моделирования определенных демпфированные и ведомые генераторы. Уравнение имеет вид

{ displaystyle { ddot {x}} + delta { dot {x}} + alpha x + beta x ^ {3} = gamma cos ( omega t) ,}

где (неизвестная) функция ${ Displaystyle х = х (т)}$ это смещение во времени ${ displaystyle t,}$ ${ displaystyle { dot {x}}}$ это первый производная из ${ displaystyle x}$ по времени, т.е. скорость, и ${ displaystyle { ddot {x}}}$ - вторая производная по времени от ${ displaystyle x,}$ т.е. ускорение. Цифры ${ displaystyle delta,}$ ${ displaystyle alpha,}$ ${ displaystyle beta,}$ ${ displaystyle gamma}$ и ${ displaystyle omega}$ даны константы.

Уравнение описывает движение затухающего осциллятора с более сложным потенциал чем в простые гармонические колебания (что соответствует случаю ${ Displaystyle бета = дельта = 0}$ ); физически он моделирует, например, упругий маятник чья весна жесткость не совсем подчиняется Закон Гука.

Уравнение Дуффинга представляет собой пример динамической системы, которая демонстрирует хаотичное поведение. Кроме того, система Дуффинга представлена в частотный отклик явление скачкообразного резонанса, что-то вроде частоты гистерезис поведение.

Параметры

Параметры в приведенном выше уравнении:

${ displaystyle delta}$ контролирует количество демпфирование,
${ displaystyle alpha}$ управляет линейным жесткость,
${ displaystyle beta}$ контролирует степень нелинейности возвращающей силы; если ${ displaystyle beta = 0,}$ Уравнение Дуффинга описывает простой гармонический осциллятор,
${ displaystyle gamma}$ это амплитуда периодической движущей силы; если ${ displaystyle gamma = 0}$ система лишена движущей силы, и
${ displaystyle omega}$ это угловая частота периодической движущей силы.

Уравнение Дуффинга можно рассматривать как описывающее колебания массы, прикрепленной к нелинейному весна и линейный демпфер. Возвратная сила, создаваемая нелинейной пружиной, тогда равна ${ Displaystyle альфа х + бета х ^ {3}.}$

Когда ${ displaystyle alpha> 0}$ и ${ displaystyle beta> 0}$ весна называется пружина закалки. Наоборот, для ${ Displaystyle бета <0}$ это смягчающая весна (все еще с ${ displaystyle alpha> 0}$ ). Следовательно, прилагательные закалка и смягчение используются по отношению к уравнению Дуффинга в целом, в зависимости от значений ${ displaystyle beta}$ (и ${ displaystyle alpha}$ ).^[1]

Число параметров в уравнении Дуффинга можно уменьшить на два путем масштабирования, например экскурсия ${ displaystyle x}$ и время ${ displaystyle t}$ можно масштабировать как:^[2] ${ Displaystyle тау = т { sqrt { alpha}}}$ и ${ Displaystyle у = х альфа / гамма,}$ предполагая ${ displaystyle alpha}$ положительна (возможны другие масштабирования для разных диапазонов параметров или для другого акцента в исследуемой задаче). Потом:^[3]

{ displaystyle { ddot {y}} + 2 eta , { dot {y}} + y + varepsilon , y ^ {3} = cos ( sigma tau),}

куда

{ displaystyle eta = { frac { delta} {2 { sqrt { alpha}}}},}

{ displaystyle varepsilon = { frac { beta gamma ^ {2}} { alpha ^ {3}}}.}

и

{ displaystyle sigma = { frac { omega} { sqrt { alpha}}}.}

Точками обозначено дифференцирование ${ Displaystyle у ( тау)}$ относительно ${ displaystyle tau.}$ Это показывает, что решения вынужденного и демпфированного уравнения Дуффинга можно описать с помощью трех параметров ( ${ displaystyle varepsilon,}$ ${ displaystyle eta}$ и ${ displaystyle sigma}$ ) и два первоначальные условия (т.е. для ${ Displaystyle у (т_ {0})}$ и ${ Displaystyle { точка {y}} (т_ {0})}$ ).

Методы решения

В общем случае уравнение Дуффинга не допускает точного символьного решения. Однако хорошо работают многие приблизительные методы:

Расширение в Ряд Фурье может предоставить уравнение движения с произвольной точностью.
В ${ displaystyle x ^ {3}}$ термин, также называемый Срок действия, можно аппроксимировать как малую, а систему рассматривать как возмущенный простой гармонический осциллятор.
В Метод Фробениуса дает сложное, но работоспособное решение.
Любой из разнообразных числовые методы Такие как Метод Эйлера и Рунге-Кутта может быть использован.
В метод гомотопического анализа (HAM) также сообщалось для получения приближенных решений уравнения Дуффинга, также для сильной нелинейности.^[4]^[5]

В частном случае незатухающий ( ${ displaystyle delta = 0}$ ) и без привода ( ${ displaystyle gamma = 0}$ ) Уравнения Дуффинга точное решение можно получить, используя Эллиптические функции Якоби.^[6]

Ограниченность решения для свободного осциллятора.

Незатухающий осциллятор

Умножение незатухающего и невынужденного уравнения Дуффинга, ${ displaystyle gamma = delta = 0,}$ с ${ displaystyle { dot {x}}}$ дает:^[7]

{ displaystyle { begin {align} & { dot {x}} left ({ ddot {x}} + alpha x + beta x ^ {3} right) = 0 & Rightarrow { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} left [{ tfrac {1} {2}} left ({ dot {x}} right) ^ {2} + { tfrac {1} {2}} alpha x ^ {2} + { tfrac {1} {4}} beta x ^ {4} right] = 0 & Rightarrow { tfrac {1} { 2}} left ({ dot {x}} right) ^ {2} + { tfrac {1} {2}} alpha x ^ {2} + { tfrac {1} {4}} бета x ^ {4} = H, end {align}}}

с ЧАС константа. Значение ЧАС определяется начальными условиями ${ Displaystyle х (0)}$ и ${ displaystyle { dot {x}} (0).}$

Замена ${ displaystyle y = { dot {x}}}$ в ЧАС показывает, что система Гамильтониан:

{ displaystyle { dot {x}} = + { frac { partial H} { partial y}},}

{ displaystyle { dot {y}} = - { frac { partial H} { partial x}}}

с

{ displaystyle quad H = { tfrac {1} {2}} y ^ {2} + { tfrac {1} {2}} alpha x ^ {2} + { tfrac {1} {4} } beta x ^ {4}.}

Когда оба ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ положительны, решение ограничено:^[7]

{ Displaystyle | х | leq { sqrt {2H / alpha}}}

и

{ displaystyle | { dot {x}} | leq { sqrt {2H}},}

с гамильтонианом ЧАС быть положительным.

Демпфированный осциллятор

Аналогично для затухающего осциллятора^[8]

{ displaystyle { begin {align} & { dot {x}} left ({ ddot {x}} + delta { dot {x}} + alpha x + beta x ^ {3} right ) = 0 & Rightarrow { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} left [{ tfrac {1} {2}} left ({ dot {x}} right) ^ {2} + { tfrac {1} {2}} alpha x ^ {2} + { tfrac {1} {4}} beta x ^ {4} right] = - delta , left ({ dot {x}} right) ^ {2} & Rightarrow { frac { mathrm {d} H} { mathrm {d} t}} = - delta , left ({ dot {x}} right) ^ {2} leq 0, end {align}}}

поскольку ${ displaystyle delta geq 0}$ для демпфирования. Без принуждения затухающий осциллятор Дуффинга окажется в (одном из) своих стабильный точка равновесия (s). Точки равновесия, стабильные и нестабильные, находятся в ${ Displaystyle альфа х + бета х ^ {3} = 0.}$ Если ${ displaystyle alpha> 0}$ устойчивое равновесие находится при ${ displaystyle x = 0.}$ Если ${ Displaystyle альфа <0}$ и ${ displaystyle beta> 0}$ устойчивые положения равновесия ${ displaystyle x = + { sqrt {- alpha / beta}}}$ и ${ displaystyle x = - { sqrt {- alpha / beta}}.}$

Частотный отклик

Частотный отклик

{ displaystyle z / gamma}

как функция

{ displaystyle omega / { sqrt { alpha}}}

для уравнения Дуффинга с

{ Displaystyle альфа = гамма = 1}

и демпфирование

{ displaystyle delta = 0,1.}

Пунктирные участки частотной характеристики нестабильны.^[3]

Вынужденный осциллятор Дуффинга с кубической нелинейностью описывается следующим обыкновенным дифференциальным уравнением:

{ displaystyle { ddot {x}} + delta { dot {x}} + alpha x + beta x ^ {3} = gamma cos ( omega t).}

В частотный отклик осциллятора описывает амплитуда ${ displaystyle z}$ отклика в установившемся состоянии уравнения (т.е. ${ Displaystyle х (т)}$ ) при данном частота возбуждения ${ displaystyle omega.}$ Для линейного осциллятора с ${ displaystyle beta = 0,}$ частотная характеристика также линейна. Однако при ненулевом кубическом коэффициенте частотная характеристика становится нелинейной. В зависимости от типа нелинейности осциллятор Дуффинга может показывать частотную характеристику упрочнения, смягчения или смешанного упрочнения-смягчения. В любом случае, используя метод гомотопического анализа или же гармонический баланс, можно вывести уравнение частотной характеристики в следующем виде:^[9]^[5]

{ displaystyle left [ left ( omega ^ {2} - alpha - { frac {3} {4}} beta z ^ {2} right) ^ {2} + left ( delta omega right) ^ {2} right] , z ^ {2} = gamma ^ {2}.}

Для параметров уравнения Дуффинга приведенное выше алгебраическое уравнение дает устойчивое состояние амплитуда колебаний ${ displaystyle z}$ при заданной частоте возбуждения.

Вывод частотной характеристики

С помощью метода гармонического баланса ищется приближенное решение уравнения Дуффинга вида:^[9]

{ Displaystyle х = а , соз ( омега т) + б , грех ( омега т) = г , соз ( омега т- фи),}

с

{ displaystyle z ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}

и

{ displaystyle tan phi = { frac {b} {a}}.}

Применение в уравнении Дуффинга приводит к:

{ displaystyle { begin {align} & left (- omega ^ {2} , a + omega , delta , b + alpha , a + { tfrac {3} {4}} , beta , a ^ {3} + { tfrac {3} {4}} , beta , a , b ^ {2} - gamma right) , cos left ( omega , t right) & + left (- omega ^ {2} , b- omega , delta , a + { tfrac {3} {4}} , beta , b ^ { 3} + alpha , b + { tfrac {3} {4}} , beta , a ^ {2} , b right) , sin left ( omega , t right) & + left ({ tfrac {1} {4}} , beta , a ^ {3} - { tfrac {3} {4}} , beta , a , b ^ {2} right) , cos left (3 , omega , t right) + left ({ tfrac {3} {4}} , beta , a ^ {2} , b - { tfrac {1} {4}} , beta , b ^ {3} right) , sin left (3 , omega , t right) = 0. end {выровнено}}}

Пренебрегая супергармоники в ${ displaystyle 3 omega,}$ два условия, предшествующие ${ Displaystyle соз ( омега т)}$ и ${ Displaystyle грех ( омега т)}$ должно быть равно нулю. Как результат,

{ displaystyle { begin {align} & - omega ^ {2} , a + omega , delta , b + alpha , a + { tfrac {3} {4}} , beta , a ^ {3} + { tfrac {3} {4}} , beta , a , b ^ {2} = gamma qquad { text {and}} & - omega ^ { 2} , b- omega , delta , a + { tfrac {3} {4}} , beta , b ^ {3} + alpha , b + { tfrac {3} {4 }} , beta , a ^ {2} , b = 0. end {align}}}

Возведение обоих уравнений в квадрат и сложение приводит к амплитудно-частотной характеристике:

{ displaystyle left [ left ( omega ^ {2} - alpha - { frac {3} {4}} beta z ^ {2} right) ^ {2} + left ( delta омега right) ^ {2} right] , z ^ {2} = gamma ^ {2},}

как указано выше.

Прыжки

Скачки в АЧХ. Параметры:

{ Displaystyle альфа = гамма = 1,}

,

{ Displaystyle бета = 0,04}

и

{ displaystyle delta = 0,1.}

^[9]

Для определенных диапазонов параметров в уравнении Дуффинга частотная характеристика больше не может быть однозначная функция частоты нагнетания ${ displaystyle omega.}$ Для твердеющего пружинного осциллятора ( ${ displaystyle alpha> 0}$ и достаточно большой позитив ${ displaystyle beta> beta _ {c +}> 0}$ ) частотная характеристика переходит в высокочастотную сторону, а в низкочастотную сторону для смягчающего пружинного генератора ( ${ displaystyle alpha> 0}$ и ${ displaystyle beta < beta _ {c -} <0}$ ). Нижняя свисающая сторона нестабильна - то есть части, обозначенные пунктирной линией на фигурах частотной характеристики - и не может быть реализована в течение длительного времени. Следовательно, проявляется феномен скачка:

когда угловая частота ${ displaystyle omega}$ медленно увеличивается (с фиксированными другими параметрами), отклик амплитуда ${ displaystyle z}$ падает в А внезапно на Б,
если частота ${ displaystyle omega}$ медленно уменьшается, затем в точке C амплитуда подскакивает до D, после чего следует верхняя ветвь частотной характеристики.

Скачки A – B и C – D не совпадают, поэтому система показывает гистерезис в зависимости от направления развертки частоты.^[9]

Примеры

Трассы времени и фазовые портреты

период-1 колебание при

{ displaystyle gamma = 0.20}

период-2 колебания при

{ displaystyle gamma = 0,28}

период-4 колебание при

{ displaystyle gamma = 0,29}

период-5 колебание на

{ displaystyle gamma = 0,37}

хаос в

{ displaystyle gamma = 0,50}

период-2 колебания при

{ displaystyle gamma = 0,65}

Некоторые типичные примеры Временные ряды и фазовые портреты уравнения Дуффинга, показывая появление субгармоники через бифуркация удвоения периода - также хаотичное поведение - показаны на рисунках ниже. Амплитуда воздействия увеличивается от ${ displaystyle gamma = 0.20}$ к ${ displaystyle gamma = 0,65.}$ Остальные параметры имеют значения: ${ Displaystyle альфа = -1,}$ ${ displaystyle beta = + 1,}$ ${ displaystyle delta = 0,3}$ и ${ displaystyle omega = 1.2.}$ Начальные условия: ${ Displaystyle х (0) = 1}$ и ${ displaystyle { dot {x}} (0) = 0.}$ Красные точки на фазовых портретах временами ${ displaystyle t}$ которые являются целое число несколько из период ${ displaystyle T = 2 pi / omega.}$ ^[10]