Теорема Лиувиля (гамильтониан) - Википедия - Liouvilles theorem (Hamiltonian)

В физика, Теорема Лиувилля, названный в честь французского математика Джозеф Лиувиль, является ключевой теоремой классической статистический и Гамильтонова механика. Он утверждает, что то фазовое пространство функция распределения постоянна вдоль траектории системы- то есть плотность точек системы в окрестности данной точки системы, путешествующей в фазовом пространстве, постоянна во времени. Эта не зависящая от времени плотность в статистической механике известна как классическая априорная вероятность.^[1]

Есть соответствующие математические результаты в симплектическая топология и эргодическая теория; системы, подчиняющиеся теореме Лиувилля, являются примерами несжимаемые динамические системы.

Существуют расширения теоремы Лиувилля на стохастические системы.^[2]

Уравнения Лиувилля

Эволюция ансамбля классический системы в фазовое пространство (верх). Каждая система состоит из одной массивной частицы в одномерном потенциальная яма (красная кривая, нижний рисунок). В то время как движение отдельного члена ансамбля задается Уравнения Гамильтона, Уравнения Лиувилля описывают течение всего распределения. Движение аналогично красителю в несжимаемой жидкости.

Уравнение Лиувилля описывает временную эволюцию фазовое пространство функция распределения. Хотя это уравнение обычно называют «уравнением Лиувилля», Джозайя Уиллард Гиббс был первым, кто осознал важность этого уравнения как основного уравнения статистической механики.^[3]^[4] Оно называется уравнением Лиувилля, потому что его вывод для неканонических систем использует тождество, впервые полученное Лиувиллем в 1838 году.^[5]Рассмотрим Гамильтонова динамическая система с канонические координаты ${ displaystyle q_ {i}}$ и сопряженные импульсы ${ displaystyle p_ {i}}$ , куда ${ Displaystyle я = 1, точки, п}$ . Тогда распределение фазового пространства ${ displaystyle rho (p, q)}$ определяет вероятность ${ Displaystyle rho (p, q) , d ^ {n} q , d ^ {n} p}$ что система будет находиться в бесконечно малом объеме фазового пространства ${ displaystyle d ^ {n} q , d ^ {n} p}$ . В Уравнение Лиувилля управляет эволюцией ${ Displaystyle rho (п, д; т)}$ во время ${ displaystyle t}$ :

{ displaystyle { frac {d rho} {dt}} = { frac { partial rho} { partial t}} + sum _ {i = 1} ^ {n} left ({ frac { partial rho} { partial q_ {i}}} { dot {q}} _ {i} + { frac { partial rho} { partial p_ {i}}} { dot {p }} _ {i} right) = 0.}

Производные по времени обозначены точками и оцениваются в соответствии с Уравнения Гамильтона для системы. Это уравнение демонстрирует сохранение плотности в фазовом пространстве (которое было Гиббс название теоремы). Теорема Лиувилля утверждает, что

Функция распределения постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве.

А доказательство теоремы Лиувилля использует п-мерная дивергенция теорема. Это доказательство основано на том факте, что эволюция ${ displaystyle rho}$ подчиняется п-размерный вариант уравнение неразрывности:

{ displaystyle { frac { partial rho} { partial t}} + sum _ {i = 1} ^ {n} left ({ frac { partial ( rho { dot {q}}) _ {i})} { partial q_ {i}}} + { frac { partial ( rho { dot {p}} _ {i})} { partial p_ {i}}} right) = 0.}

То есть 3-кортеж ${ displaystyle ( rho, rho { dot {q}} _ {i}, rho { dot {p}} _ {i})}$ это сохраненный ток. Обратите внимание, что разница между этим уравнением и уравнением Лиувилля заключается в терминах

{ displaystyle rho sum _ {i = 1} ^ {n} left ({ frac { partial { dot {q}} _ {i}} { partial q_ {i}}} + { frac { partial { dot {p}} _ {i}} { partial p_ {i}}} right) = rho sum _ {i = 1} ^ {n} left ({ frac { partial ^ {2} H} { partial q_ {i} , partial p_ {i}}} - { frac { partial ^ {2} H} { partial p_ {i} partial q_ {i }}} right) = 0,}

куда ${ displaystyle H}$ - гамильтониан, и уравнения Гамильтона, а также сохранение гамильтониана вдоль потока. То есть, рассматривая движение через фазовое пространство как «поток жидкости» из точек системы, теорема о том, что конвективная производная плотности, ${ displaystyle d rho / dt}$ , равно нулю, следует из уравнения неразрывности с учетом того, что `` поле скорости '' ${ displaystyle ({ dot {p}}, { dot {q}})}$ в фазовом пространстве имеет нулевую дивергенцию (что следует из соотношений Гамильтона).^[6]

Другой иллюстрацией является рассмотрение траектории облака точек через фазовое пространство. Несложно показать, что когда облако тянется по одной координате: ${ displaystyle p_ {i}}$ говорят - сжимается в соответствующем ${ Displaystyle д ^ {я}}$ направление так, чтобы продукт ${ displaystyle Delta p_ {i} , Delta q ^ {i}}$ остается постоянным.

Эквивалентно существование сохраняющегося тока означает, что через Теорема Нётер, существование симметрия. Симметрия инвариантна относительно сдвигов времени, и генератор (или же Нётер заряд ) симметрии является гамильтонианом.

Другие составы

Скобка Пуассона

Теорема часто переформулируется в терминах Скобка Пуассона в качестве

{ displaystyle { frac { partial rho} { partial t}} = - {, rho, H , }}

или с точки зрения Оператор Лиувилля или же Лиувилльский,

{ displaystyle mathrm {i} { widehat { mathbf {L}}} = sum _ {i = 1} ^ {n} left [{ frac { partial H} { partial p_ {i} }} { frac { partial} { partial q ^ {i}}} - { frac { partial H} { partial q ^ {i}}} { frac { partial} { partial p_ { i}}} right] = { cdot, H }}

в качестве

{ displaystyle { frac { partial rho} { partial t}} + { mathrm {i} { widehat { mathbf {L}}}} rho = 0.}

Эргодическая теория

В эргодическая теория и динамические системы, мотивированный физическими соображениями, приведенными до сих пор, есть соответствующий результат, также называемый теоремой Лиувилля. В Гамильтонова механика, фазовое пространство есть гладкое многообразие который естественно снабжен гладким мера (локально это мера 6п-размерный Мера Лебега ). Теорема утверждает, что эта гладкая мера инвариантна относительно Гамильтонов поток. В более общем плане можно описать необходимое и достаточное условие, при котором гладкая мера инвариантна относительно потока^{[нужна цитата ]}. Гамильтонов случай становится следствием.

Симплектическая геометрия

Мы также можем сформулировать теорему Лиувилля в терминах симплектическая геометрия. Для данной системы мы можем рассматривать фазовое пространство ${ Displaystyle (д ^ { му}, п _ { му})}$ конкретного гамильтониана ${ displaystyle H}$ как многообразие ${ Displaystyle (М, omega)}$ наделен симплектическим 2-форма

{ displaystyle omega = dp _ { mu} wedge dq ^ { mu}.}

Форма объема нашего коллектора - верхняя внешняя сила симплектической 2-формы, и является еще одним представлением меры на фазовом пространстве, описанном выше.

На нашем фазовом пространстве симплектическое многообразие мы можем определить Гамильтоново векторное поле генерируется функцией ${ displaystyle f (q, p)}$ в качестве

{ displaystyle X_ {f} = { frac { partial f} { partial p _ { mu}}} { frac { partial} { partial q ^ { mu}}} - { frac { partial f} { partial q ^ { mu}}} { frac { partial} { partial p _ { mu}}}.}

В частности, когда производящей функцией является сам гамильтониан, ${ displaystyle f (q, p) = H}$ , мы получили

{ displaystyle X_ {H} = { frac { partial H} { partial p _ { mu}}} { frac { partial} { partial q ^ { mu}}} - { frac { частичный H} { partial q ^ { mu}}} { frac { partial} { partial p _ { mu}}} = { frac {dq ^ { mu}} {dt}} { frac { partial} { partial q ^ { mu}}} + { frac {dp ^ { mu}} {dt}} { frac { partial} { partial p _ { mu}}} = { frac {d} {dt}}}

где мы использовали уравнения движения Гамильтона и определение цепного правила.^[7]

В этом формализме теорема Лиувилля утверждает, что Производная Ли формы объема равна нулю вдоль потока, создаваемого ${ displaystyle X_ {H}}$ . То есть для ${ Displaystyle (М, omega)}$ 2n-мерное симплектическое многообразие,

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X_ {H}} ( omega ^ {n}) = 0.}

Фактически, симплектическая структура ${ displaystyle omega}$ сохраняется сама по себе, а не только его высшая внешняя сила. То есть теорема Лиувилля также дает ^[8]

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X_ {H}} ( omega) = 0.}

Квантовое уравнение Лиувилля

Аналог уравнения Лиувилля в квантовая механика описывает эволюцию во времени смешанное состояние. Каноническое квантование дает квантово-механическую версию этой теоремы, Уравнение фон Неймана. Эта процедура, часто используемая для создания квантовых аналогов классических систем, включает описание классической системы с использованием гамильтоновой механики. Затем классические переменные интерпретируются как квантовые операторы, а скобки Пуассона заменяются на коммутаторы. В этом случае результирующее уравнение имеет вид^[9]^[10]

{ displaystyle { frac { partial rho} { partial t}} = { frac {1} {i hbar}} [H, rho]}

где ρ - матрица плотности.

Применительно к ожидаемое значение из наблюдаемый, соответствующее уравнение имеет вид Теорема Эренфеста, и принимает вид

{ displaystyle { frac {d} {dt}} langle A rangle = { frac {1} {я hbar}} langle [A, H] rangle}

куда ${ displaystyle A}$ является наблюдаемым. Обратите внимание на различие знаков, которое следует из предположения, что оператор стационарный, а состояние зависит от времени.

в Формулировка фазового пространства квантовой механики, вытеснив Брекеты Мойял за Скобки Пуассона в фазовом аналоге уравнения фон Неймана приводит к сжимаемость вероятностной жидкости, а значит, и нарушение теоремы Лиувилля о несжимаемости. Это приводит к сопутствующим трудностям в определении значимых квантовых траекторий.

Примеры

Объем фазового пространства SHO

Временная эволюция фазового пространства для простого гармонического осциллятора (SHO). Здесь мы взяли

{ displaystyle m = omega = 1}

и рассматриваем регион

{ displaystyle p, q in [-1,1]}

.

Рассмотрим ${ displaystyle N}$ системы частиц в трех измерениях, и сосредоточиться только на эволюции ${ Displaystyle mathrm {d} { mathcal {N}}}$ частицы. В фазовом пространстве эти ${ Displaystyle mathrm {d} { mathcal {N}}}$ частицы занимают бесконечно малый объем, определяемый

{ displaystyle mathrm {d} Gamma = displaystyle prod _ {i = 1} ^ {N} d ^ {3} p_ {i} d ^ {3} q_ {i}.}

Мы хотим ${ displaystyle { frac { mathrm {d} { mathcal {N}}} { mathrm {d} Gamma}}}$ оставаться неизменным во времени, чтобы ${ Displaystyle rho ( Gamma, т)}$ постоянна вдоль траекторий системы. Если мы позволим нашим частицам эволюционировать с бесконечно малым шагом по времени ${ displaystyle delta t}$ , мы видим, что положение каждой частицы в фазовом пространстве изменяется как

{ displaystyle { begin {case} q_ {i} '= q_ {i} + { dot {q_ {i}}} delta t p_ {i}' = p_ {i} + { dot { p_ {i}}} delta t, end {case}}}

куда ${ displaystyle { dot {q_ {i}}}}$ и ${ displaystyle { dot {p_ {i}}}}$ обозначать ${ displaystyle { frac {dq_ {i}} {dt}}}$ и ${ displaystyle { frac {dp_ {i}} {dt}}}$ соответственно, и мы сохранили только члены, линейные по ${ displaystyle delta t}$ . Распространяя это на наш бесконечно малый гиперкуб ${ Displaystyle mathrm {d} Gamma}$ , длины сторон изменяются как

{ displaystyle { begin {cases} dq_ {i} '= dq_ {i} + { frac { partial { dot {q_ {i}}}}} { partial q_ {i}}} dq_ {i} delta t dp_ {i} '= dp_ {i} + { frac { partial { dot {p_ {i}}}} { partial p_ {i}}} dp_ {i} delta t. end {case}}}

Чтобы найти новый бесконечно малый объем фазового пространства ${ Displaystyle mathrm {d} Gamma '}$ , нам нужен продукт указанных выше количеств. Для первого заказа в ${ displaystyle delta t}$ , получаем следующее.

{ displaystyle dq_ {i} 'dp_ {i}' = dq_ {i} dp_ {i} left [1+ left ({ frac { partial { dot {q_ {i}}}}} { partial q_ {i}}} + { frac { partial { dot {p_ {i}}}}} { partial p_ {i}}} right) delta t right]}

Пока что мы еще не сделали никаких спецификаций для нашей системы. Теперь займемся случаем ${ displaystyle N}$ ${ displaystyle 3}$ -мерные изотропные гармонические осцилляторы. То есть каждую частицу в нашем ансамбле можно рассматривать как простой гармонический осциллятор. Гамильтониан для этой системы определяется выражением

{ displaystyle H = displaystyle sum _ {i = 1} ^ {3N} left ({ frac {1} {2m}} p_ {i} ^ {2} + { frac {m omega ^ {) 2}} {2}} q_ {i} ^ {2} right)}

Используя уравнения Гамильтона с указанным выше гамильтонианом, мы находим, что член в скобках выше тождественно равен нулю, что дает

{ displaystyle dq_ {i} 'dp_ {i}' = dq_ {i} dp_ {i}.}

Отсюда мы можем найти бесконечно малый объем фазового пространства.

{ displaystyle mathrm {d} Gamma '= displaystyle prod _ {i = 1} ^ {N} d ^ {3} q_ {i}' d ^ {3} p_ {i} '= prod _ {i = 1} ^ {N} d ^ {3} q_ {i} d ^ {3} p_ {i} = mathrm {d} Gamma}

Таким образом, мы в конечном итоге обнаружили, что бесконечно малый объем фазового пространства не изменяется, что дает

{ displaystyle rho ( Gamma ', t + delta t) = { frac { mathrm {d} { mathcal {N}}} { mathrm {d} Gamma'}} = { frac { mathrm {d} { mathcal {N}}} { mathrm {d} Gamma}} = rho ( Gamma, t),}

доказательство теоремы Лиувилля для этой системы.^[11]

Остается вопрос, как на самом деле объем фазового пространства изменяется во времени. Выше мы показали, что общий объем сохранен, но ничего не сказали о том, как он выглядит. Для отдельной частицы мы видим, что ее траектория в фазовом пространстве задается эллипсом постоянной ${ displaystyle H}$ . В явном виде можно решить уравнения Гамильтона для системы и найти

{ displaystyle { begin {align} q_ {i} (t) & = Q_ {i} cos { omega t} + { frac {P_ {i}} {m omega}} sin { omega t} p_ {i} (t) & = P_ {i} cos { omega t} -m omega Q_ {i} sin { omega t}, end {выравнивается}}}

куда ${ displaystyle Q_ {i}}$ и ${ displaystyle P_ {i}}$ обозначают начальное положение и импульс ${ Displaystyle я ^ { mathrm {th}}}$ В системе, состоящей из нескольких частиц, каждая из них будет иметь траекторию в фазовом пространстве, которая очерчивает эллипс, соответствующий энергии частицы. Частота трассировки эллипса задается ${ displaystyle omega}$ в гамильтониане, независимо от разницы в энергии. В результате область фазового пространства будет просто вращаться вокруг точки ${ Displaystyle ( mathbf {q}, mathbf {p}) = (0,0)}$ с частотой, зависящей от ${ displaystyle omega}$ .^[12] Это можно увидеть на анимации выше.

Затухающий гармонический осциллятор

Эволюция объема фазового пространства для затухающего гармонического осциллятора. Используются те же значения параметров, что и в случае SHO, с

{ Displaystyle гамма = 0,5 ; ( альфа = 0,25)}

.

Одно из основных предположений теоремы Лиувилля состоит в том, что система подчиняется закону сохранения энергии. В контексте фазового пространства это означает, что ${ displaystyle rho}$ постоянна на поверхностях фазового пространства постоянной энергии ${ displaystyle E}$ . Если мы нарушим это требование, рассматривая систему, в которой энергия не сохраняется, мы обнаружим, что ${ displaystyle rho}$ также не может быть постоянным.

В качестве примера снова рассмотрим систему ${ displaystyle N}$ частицы каждая в ${ displaystyle 3}$ -мерный изотропный гармонический потенциал, гамильтониан для которого приведен в предыдущем примере. На этот раз мы добавляем условие, что каждая частица испытывает силу трения. Поскольку это неконсервативная сила, нам нужно расширить уравнения Гамильтона как

{ displaystyle { begin {align} { dot {q_ {i}}} & = { frac { partial H} { partial p_ {i}}} { dot {p_ {i}}} & = - { frac { partial H} { partial q_ {i}}} - gamma p_ {i}, end {align}}}

куда ${ displaystyle gamma}$ положительная константа, определяющая величину трения. Следуя процедуре, очень похожей на случай незатухающего гармонического осциллятора, мы снова приходим к

{ displaystyle dq_ {i} 'dp_ {i}' = dq_ {i} dp_ {i} left [1+ left ({ frac { partial { dot {q_ {i}}}}} { partial q_ {i}}} + { frac { partial { dot {p_ {i}}}}} { partial p_ {i}}} right) delta t right].}

Подставляя наши модифицированные уравнения Гамильтона, мы находим

{ displaystyle { begin {align} dq_ {i} 'dp_ {i}' & = dq_ {i} dp_ {i} left [1+ left ({ frac { partial ^ {2} H} { partial q_ {i} partial p_ {i}}} - { frac { partial ^ {2} H} { partial p_ {i} partial q_ {i}}} - gamma right) delta t right] & = dq_ {i} dp_ {i} left [1- gamma delta t right]. end {выравнивается}}}

Расчет нашего нового бесконечно малого объема фазового пространства и сохранение только первого порядка в ${ displaystyle delta t}$ мы находим следующий результат.

{ displaystyle mathrm {d} Gamma '= displaystyle prod _ {i = 1} ^ {N} d ^ {3} q_ {i}' d ^ {3} p_ {i} '= left [ 1- gamma delta t right] ^ {3N} prod _ {i = 1} ^ {N} d ^ {3} q_ {i} d ^ {3} p_ {i} = mathrm {d} Gamma left [1-3N gamma delta t right]}

Мы обнаружили, что бесконечно малый объем фазового пространства больше не является постоянным, и, следовательно, плотность фазового пространства не сохраняется. Как видно из уравнения, с увеличением времени мы ожидаем, что объем нашего фазового пространства уменьшится до нуля, поскольку трение влияет на систему.

Что касается того, как объем фазового пространства изменяется во времени, мы все равно будем иметь постоянное вращение, как и в незатухающем случае. Однако демпфирование приведет к неуклонному уменьшению радиусов каждого эллипса. Снова мы можем найти траектории явно, используя уравнения Гамильтона, позаботившись об использовании модифицированных выше. Сдача ${ Displaystyle альфа эквив { гидроразрыва { гамма} {2}}}$ для удобства находим

{ displaystyle { begin {align} q_ {i} (t) & = e ^ {- alpha t} left [Q_ {i} cos { omega _ {1} t} + B_ {i} sin { omega _ {1} t} right] && omega _ {1} Equiv { sqrt { omega ^ {2} - alpha ^ {2}}} p_ {i} (t) & = e ^ {- alpha t} left [P_ {i} cos { omega _ {1} t} -m ( omega _ {1} Q_ {i} +2 alpha B_ {i}) sin { omega _ {1} t} right] && B_ {i} Equiv { frac {1} { omega _ {1}}} left ({ frac {P_ {i}} {m} } +2 alpha Q_ {i} right), end {align}}}

где значения ${ displaystyle Q_ {i}}$ и ${ displaystyle P_ {i}}$ обозначают начальное положение и импульс ${ Displaystyle я ^ { mathrm {th}}}$ По мере развития системы общий объем фазового пространства будет увеличиваться по спирали к началу координат. Это видно на рисунке выше.

Замечания

Уравнение Лиувилля справедливо как для равновесных, так и для неравновесных систем. Это фундаментальное уравнение неравновесная статистическая механика.
Уравнение Лиувилля является неотъемлемой частью доказательства теорема о флуктуациях откуда второй закон термодинамики можно вывести. Это также ключевой компонент при выводе Отношения Грина – Кубо для линейных транспортные коэффициенты например, сдвиг вязкость, теплопроводность или же электрическая проводимость.
Практически любой учебник по Гамильтонова механика, передовой статистическая механика, или же симплектическая геометрия выведем теорему Лиувилля.^[13]^[14]^[15]^[16]^[17]

Смотрите также

дальнейшее чтение

Муругешан, Р. Современная физика. С. Чанд.
Миснер; Торн; Уиллер (1973). "Кинетическая теория в искривленном пространстве-времени". Гравитация. Фримен. С. 583–590. ISBN 9781400889099.

внешняя ссылка

«Функции распределения в фазовом пространстве и теорема Лиувилля».

[1] Харальд Дж. В. Мюллер-Кирстен, Основы статистической физики, 2-е изд., World Scientific (Сингапур, 2013 г.)

[2] Кубо, Рёго (1963-02-01). «Стохастические уравнения Лиувилля». Журнал математической физики. 4 (2): 174–183. Дои:10.1063/1.1703941. ISSN 0022-2488.

[3] Дж. У. Гиббс, "О фундаментальной формуле статистической механики, с приложениями к астрономии и термодинамике". Труды Американской ассоциации развития науки, 33Т. 57–58 (1884). Воспроизведено в Научные статьи Дж. Уилларда Гиббса, Том II (1906), п. 16.

[4] Гиббс, Джозия Уиллард (1902). Элементарные принципы статистической механики. Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера.

[5] J. Liouville, Journ. de Math., 3, 342 (1838), [1].

[6] Харальд Дж. В. Мюллер-Кирстен, Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям, 2-е изд., World Scientific (Сингапур, 2012).

[7] Накахара, Микио (2003). Геометрия, топология и физика (2-е изд.). Группа Тейлор и Фрэнсис. С. 201–204. ISBN 978-0-7503-0606-5.

[8] Нэш, Оливер (8 января 2015 г.). "Теорема Лиувилля для педантов" (PDF).

[9] Теория открытых квантовых систем, Брейер и Петруччоне, стр. 110.

[10] Статистическая механика, автор Schwabl, стр. 16.

[11] Кардар, Мехран (2007). Статистическая физика частиц. Кембриджский университет Press. С. 59–60. ISBN 978-0-521-87342-0.

[12] Истман, Питер (2014–2015). «Эволюция вероятностей фазового пространства».

[13] Для особенно четкого вывода см. Толмен, Р.С. (1979). Принципы статистической механики. Дувр. С. 48–51. ISBN 9780486638966.

[14] «Фазовое пространство и теорема Лиувилля». Получено 6 января, 2014. Практически идентично доказательству в этой статье в Википедии. Предполагает (без доказательства) п-мерное уравнение неразрывности.

[15] «Сохранение объема фазового пространства и теорема Лиувилля». Получено 6 января, 2014. Строгое доказательство, основанное на том, как элемент якобиана преобразуется в соответствии с гамильтоновой механикой.

[16] "Физика 127a: Заметки для занятий" (PDF). Получено 6 января, 2014. Использует п-мерная дивергенция (без доказательства).

[17] Нэш, Оливер (8 января 2015 г.). "Теорема Лиувилля для педантов" (PDF). Получено 1 октября, 2015. Доказывает теорему Лиувилля на языке современной дифференциальной геометрии.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]