Априорная вероятность - Википедия - A priori probability

An априори вероятность вероятность, которая выводится исключительно с помощью дедуктивное мышление.^[1] Один из способов получения априори вероятности принцип безразличия, который имеет характер сказать, что если есть N взаимоисключающий и вместе исчерпывающей событий, и если они равновероятны, то вероятность данного мероприятие происходит 1 /N. Точно так же вероятность одного из данного набора K события K / N.

Одним из недостатков определения вероятностей указанным выше способом является то, что он применим только к конечным совокупностям событий.

В Байесовский вывод, "малоинформативный априор "или" объективные априорные значения "являются частным выбором априори вероятности.^[2]Обратите внимание, что "априорная вероятность "- более широкое понятие.

Подобно различию в философии между априори и апостериори, в байесовском выводе априори обозначает общие знания о распределении данных до того, как сделать вывод, а апостериорный обозначает знание, которое включает в себя результаты вывода.^[3]

Априорная вероятность в статистической механике

Априорная вероятность имеет важное применение в статистическая механика. Классический вариант определяется как соотношение количества элементарные события (например, количество раз, когда бросали кубик) к общему количеству событий - и они рассматриваются чисто дедуктивно, то есть без каких-либо экспериментов. В случае с кубиком, если мы смотрим на него на столе, не бросая его, каждое элементарное событие, как дедуктивно, имеет одинаковую вероятность - таким образом, вероятность каждого исхода воображаемого броска (идеального) кубика или просто путем подсчета количество граней 1/6. Каждая грань кубика появляется с равной вероятностью - вероятность является мерой, определенной для каждого элементарного события. Результат будет другим, если мы бросим кубик двадцать раз и спросим, ​​сколько раз (из 20) цифра 6 появляется на верхней грани. В этом случае играет роль время, и у нас есть разные типы вероятностей в зависимости от времени или количества бросков кубика. С другой стороны, априорная вероятность не зависит от времени - вы можете смотреть на кубик на столе сколько угодно, не касаясь его, и вы делаете вывод, что вероятность появления числа 6 на верхней грани равна 1/6. .

В статистической механике, например газ, содержащийся в конечном объеме ${ displaystyle V}$, обе пространственные координаты ${ displaystyle q_ {i}}$ и координаты импульса ${ displaystyle p_ {i}}$ отдельных газовых элементов (атомов или молекул) конечны в фазовом пространстве, охватываемом этими координатами. По аналогии с кристаллом априорная вероятность здесь (в случае континуума) пропорциональна элементу объема фазового пространства ${ displaystyle Delta q Delta p}$ деленное на ${ displaystyle h}$, а - количество стоячих волн (т.е. состояний) в нем, где ${ displaystyle Delta q}$ это диапазон переменной ${ displaystyle q}$ и ${ displaystyle Delta p}$ это диапазон переменной ${ displaystyle p}$ (здесь для простоты рассматривается в одном измерении). В одном измерении (длина ${ displaystyle L}$) это число или статистический вес, или априорное взвешивание ${ displaystyle L Delta p / h}$. В обычных трех измерениях (объем ${ displaystyle V}$) соответствующее число можно рассчитать как ${ Displaystyle V4 pi p ^ {2} Delta p / h ^ {3}}$.^[4] Чтобы понять, что эта величина задает ряд состояний в квантовой (то есть волновой) механике, вспомним, что в квантовой механике каждая частица связана с волной материи, которая является решением уравнения Шредингера. В случае свободных частиц (энергии ${ displaystyle epsilon = { bf {p}} ^ {2} / 2m}$) как у газа в ящике объема ${ Displaystyle V = L ^ {3}}$ такая волна материи явно

${ Displaystyle psi propto грех (л пи х / L) грех (м пи у / L) грех (п пи г / L)}$,

куда ${ displaystyle l, m, n}$ целые числа. Количество разных ${ Displaystyle (л, м, п)}$ значения и, следовательно, состояния в области между ${ displaystyle p, p + dp, p ^ {2} = { bf {p}} ^ {2},}$ тогда оказывается, что это выражение выше ${ displaystyle V4 pi p ^ {2} dp / h ^ {3}}$ рассматривая площадь, охватываемую этими точками. Более того, с учетом отношение неопределенности, который в одном пространственном измерении равен

${ displaystyle Delta q Delta p geq h}$,

эти состояния неразличимы (т.е. эти состояния не имеют ярлыков). Важным следствием является результат, известный как Теорема Лиувилля, т.е. независимость от времени этого элемента объема фазового пространства и, следовательно, от априорной вероятности. Временная зависимость этой величины подразумевала бы известную информацию о динамике системы и, следовательно, не была бы априорной вероятностью.^[5] Таким образом, регион

${ displaystyle Omega: = { frac { Delta q Delta p} { int Delta q Delta p}}, ; ; ; int Delta q Delta p = const.,}$

при дифференцировании по времени ${ displaystyle t}$ дает ноль (с помощью уравнений Гамильтона): объем во время ${ displaystyle t}$ такое же, как и в нулевой момент времени. Один описывает это также как сохранение информации.

В полной квантовой теории действует аналогичный закон сохранения. В этом случае область фазового пространства заменяется подпространством пространства состояний, выраженным через оператор проекции ${ displaystyle P}$, а вместо вероятности в фазовом пространстве - плотность вероятности

${ Displaystyle Sigma: = { frac {P} {TrP}}, ; ; ; N = TrP = const.,}$

куда ${ displaystyle N}$ - размерность подпространства. Закон сохранения в этом случае выражается унитарностью S-матрица. В любом случае мы рассматриваем замкнутую изолированную систему. Эта замкнутая изолированная система представляет собой систему с (1) фиксированной энергией ${ displaystyle E}$ и (2) фиксированное количество частиц ${ displaystyle N}$ в (c) состояние равновесия. Если рассматривать огромное количество копий этой системы, то получается так называемый «микроканонический ансамбль». Именно для этой системы в квантовой статистике постулируется «фундаментальный постулат равных априорных вероятностей изолированной системы». Это говорит о том, что изолированная система в состоянии равновесия занимает каждое из своих доступных состояний с одинаковой вероятностью. Таким образом, этот фундаментальный постулат позволяет нам приравнять априорную вероятность к вырождению системы, то есть к количеству различных состояний с одинаковой энергией.

Пример

Следующий пример иллюстрирует априорную вероятность (или априорное взвешивание) в (а) классическом и (б) квантовом контексте.

(а) Классическая априорная вероятность

Рассмотрим энергию вращения E двухатомной молекулы с моментом инерции I в сферических полярных координатах ${ displaystyle theta, phi}$ (это означает ${ displaystyle q}$ выше здесь ${ displaystyle theta, phi}$), т.е.

${ displaystyle E = { frac {1} {2I}} left (p _ { theta} ^ {2} + { frac {p _ { phi} ^ {2}} { sin ^ {2} theta}} right).}$

В ${ displaystyle (p _ { theta}, p _ { phi})}$-кривая для постоянной E и ${ displaystyle theta}$ это эллипс площади

${ displaystyle oint dp _ { theta} dp _ { phi} = pi { sqrt {2IE}} { sqrt {2IE}} sin theta = 2 pi IE sin theta}$.

Интегрируя более ${ displaystyle theta}$ и ${ displaystyle phi}$ общий объем фазового пространства, охватываемого при постоянной энергии E, равен

${ Displaystyle int _ {0} ^ { phi = 2 pi} int _ {0} ^ { theta = pi} 2I pi E sin theta d theta d phi = 8 pi ^ {2} IE = oint dp _ { theta} dp _ { phi} d theta d phi}$,

отсюда и классическое априорное взвешивание в области энергий ${ displaystyle dE}$ является

${ displaystyle Omega propto}$ (объем фазового пространства при ${ displaystyle E + dE}$) минус (объем фазового пространства при ${ displaystyle E}$) дан кем-то ${ displaystyle 8 { pi} ^ {2} IdE.}$

(б) Квантовая априорная вероятность

Предполагая, что количество квантовых состояний в диапазоне ${ displaystyle Delta q Delta p}$ для каждого направления движения задается для каждого элемента коэффициент ${ displaystyle Delta q Delta p / h}$, количество состояний в диапазоне энергий dE, как показано на рисунке (а) ${ displaystyle 8 pi ^ {2} IdE / h ^ {2}}$ для вращающейся двухатомной молекулы. Из волновой механики известно, что уровни энергии вращающейся двухатомной молекулы задаются выражением

${ displaystyle E_ {n} = { frac {n (n + 1) h ^ {2}} {8 pi ^ {2} I}},}$

каждый такой уровень (2n + 1) -кратно вырожден. Оценивая ${ Displaystyle dn / dE_ {n} = 1 / (dE_ {n} / dn)}$можно получить

${ displaystyle { frac {dn} {dE_ {n}}} = { frac {8 pi ^ {2} I} {(2n + 1) h ^ {2}}}, ; ; ; (2n + 1) dn = { frac {8 pi ^ {2} I} {h ^ {2}}} dE_ {n}.}$

Таким образом, по сравнению с ${ displaystyle Omega}$ выше, можно найти, что приблизительное число состояний в диапазоне dE определяется вырождением, т. е.

${ Displaystyle Sigma propto (2n + 1) dn.}$

Таким образом, априорное взвешивание в классическом контексте (а) соответствует априорному взвешиванию здесь в квантовом контексте (б). В случае одномерного простого гармонического осциллятора собственной частоты ${ displaystyle nu}$ соответственно находим: (а) ${ Displaystyle Omega propto dE / nu}$, и (б) ${ Displaystyle Sigma propto dn}$ (без вырождения). Таким образом, в квантовой механике априорная вероятность фактически является мерой вырождение, т.е. число состояний с одинаковой энергией.

В случае атома водорода или кулоновского потенциала (где оценка объема фазового пространства для постоянной энергии более сложна) известно, что квантово-механическое вырождение ${ Displaystyle п ^ {2}}$ с ${ Displaystyle E propto 1 / п ^ {2}}$. Таким образом, в этом случае ${ displaystyle Sigma propto n ^ {2} dn}$.

Априорные функции вероятности и распределения

В статистической механике (см. Любую книгу) выводится так называемый функции распределения ${ displaystyle f}$ для различной статистики. В случае Статистика Ферми – Дирака и Статистика Бозе – Эйнштейна эти функции соответственно

${ displaystyle f_ {i} ^ {FD} = { frac {1} {e ^ {( epsilon _ {i} - epsilon _ {0}) / kT} +1}}, quad f_ {i } ^ {BE} = { frac {1} {e ^ {( epsilon _ {i} - epsilon _ {0}) / kT} -1}}.}$

Эти функции получены для (1) системы, находящейся в динамическом равновесии (т. Е. В установившихся однородных условиях) с (2) полным (и огромным) числом частиц ${ displaystyle N = Sigma _ {i} n_ {i}}$ (это условие определяет постоянную ${ displaystyle epsilon _ {0}}$) и (3) полная энергия ${ displaystyle E = Sigma _ {i} n_ {i} epsilon _ {i}}$, т.е. с каждым из ${ displaystyle n_ {i}}$ частицы, обладающие энергией ${ displaystyle epsilon _ {я}}$. Важным аспектом при выводе является учет неотличимости частиц и состояний в квантовой статистике, т.е. там частицы и состояния не имеют меток. В случае фермионов, как электронов, подчиняющихся Принцип Паули (только одна частица на состояние или не допускается), поэтому

${ displaystyle 0 leq f_ {i} ^ {FD} leq 1, quad, тогда как quad 0 leq f_ {i} ^ {BE} leq infty.}$

Таким образом ${ displaystyle f_ {i} ^ {FD}}$ является мерой доли состояний, фактически занятых электронами при энергии ${ displaystyle epsilon _ {я}}$ и температура ${ displaystyle T}$. С другой стороны, априорная вероятность ${ displaystyle g_ {i}}$ является мерой количества доступных волновых механических состояний. Следовательно

${ displaystyle n_ {i} = f_ {i} g_ {i}.}$

С ${ displaystyle n_ {i}}$ является постоянным при однородных условиях (столько частиц, сколько вытекает из элемента объема, также поступает постоянно, так что ситуация в элементе кажется статичной), т.е.не зависит от времени ${ displaystyle t}$, и ${ displaystyle g_ {i}}$ также не зависит от времени ${ displaystyle t}$ как было показано ранее, получаем

${ displaystyle { frac {df_ {i}} {dt}} = 0, quad f_ {i} = f_ {i} (t, { bf {v}} _ {i}, { bf {r }}_{я}).}$

Выражая это уравнение через его частные производные, получаем Уравнение переноса Больцмана. Как координаты ${ displaystyle { bf {r}}}$ и т.д. тут вдруг появляются? Выше не упоминались электрические или другие поля. Таким образом, без таких полей мы имеем распределение Ферми-Дирака, как указано выше. Но при наличии таких полей мы имеем эту дополнительную зависимость ${ displaystyle f}$.

Рекомендации