Каноническое квантование - Canonical quantization

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Фон Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Сильная сила Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия переноса пространства Симметрия перевода времени Симметрия вращения Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга – Миллса Нётер заряд Топологический заряд
Инструменты Аномалия Переход Эффективная теория поля Ценность ожидания Призрачные поля Призраки Фаддеева – Попова Диаграмма Фейнмана Решеточная калибровочная теория Формула восстановления LSZ Функция разделения Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Вайтмана Параметризация Фейнмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна – Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера – ДеВитта Уравнения Баргмана – Вигнера Уравнение Джооса – Вайнберга Уравнение Вейля
Стандартная модель Квантовое вакуумное состояние Квантовая динамика Квантовая термодинамика Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса Виртуальная частица
Неполные теории Причинная динамическая триангуляция Причинные фермионные системы Причинные множества Конформная теория поля Море Дирака Теория возмущений Двумерная конформная теория поля Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени Теория теплового квантового поля Топологическая квантовая теория поля Квантовая геометрия Полуклассическая гравитация Отжим пена Теория струн Теория суперструн М-Теория Суперсимметрия Супергравитация Разноцветный Теория всего Каноническая квантовая гравитация Квантовая гравитация Петлевая квантовая гравитация Петлевая квантовая космология Теория скрытых переменных Теория объективного коллапса
Ученые Адлер Андерсон Быть Боголюбов Коулман Каллан ДеВитт Дирак Дайсон Ферми Фейнман Фирц Фок Fröhlich Гелл-Манн Голдстоун Валовой Гейзенберг 'т Хофт Джеки Иордания Ландо Ли Lehmann Мандельштам Майорана Намбу Паризи Поляков Салам Швингер Skyrme Штюкельберг Симанзик Томонага Вельтман Вайнберг Weisskopf Weyl Вильчек Уилсон Виттен Ян Юкава Циммерманн Зинн-Джастин

В физика, каноническое квантование это процедура для квантование а классическая теория, пытаясь сохранить формальную структуру, такую ​​как симметрии классической теории в максимально возможной степени.

Исторически это было не совсем так. Вернер Гейзенберг путь к получению квантовая механика, но Поль Дирак представил его в своей докторской диссертации 1926 года, "метод классической аналогии" для квантования,^[1] и подробно описал это в своем классическом тексте.^[2] Слово канонический возникает из Гамильтониан подход к классической механике, в котором динамика системы генерируется через канонические Скобки Пуассона, структура, которая сохранилось лишь частично в каноническом квантовании.

Этот метод в дальнейшем использовался в контексте квантовая теория поля к Поль Дирак, в его построении квантовая электродинамика. В контексте теории поля его также называют второе квантование, в отличие от полуклассических первое квантование для одиночных частиц.

История

Когда он был впервые разработан, квантовая физика имел дело только с квантование из движение частиц, оставляя электромагнитное поле классический, отсюда и название квантовая механика.^[3]

Позже электромагнитное поле также было квантовано, и даже сами частицы стали представлены через квантованные поля, что привело к развитию квантовая электродинамика (QED) и квантовая теория поля в целом.^[4] Таким образом, по соглашению, исходная форма квантовой механики частиц обозначается первое квантование, а квантовая теория поля формулируется на языке второе квантование.

Первое квантование

Системы одиночных частиц

Следующая экспозиция основана на Дирака трактат по квантовой механике.^[2]в классическая механика частицы существуют динамические переменные, которые называются координатами (Икс) и импульсы (п). Они определяют государственный классической системы. В каноническая структура (также известный как симплектический структура) классическая механика состоит из Скобки Пуассона включающие эти переменные, такие как {Икс,п} = 1. Все преобразования переменных, сохраняющие эти скобки, разрешены как канонические преобразования в классической механике. Само движение является такой канонической трансформацией.

Напротив, в квантовая механика, все существенные свойства частицы содержатся в государственный ${ displaystyle | psi rangle}$, называется квантовое состояние. Наблюдаемые представлены операторы действуя на Гильбертово пространство таких квантовые состояния.

Собственное значение оператора, действующего на одно из его собственных состояний, представляет собой значение измерения частицы, представленной таким образом. Например, энергия считывается Гамильтониан оператор ${ displaystyle { hat {H}}}$ действуя на государство ${ displaystyle | psi _ {n} rangle}$, уступая

${ displaystyle { hat {H}} | psi _ {n} rangle = E_ {n} | psi _ {n} rangle}$,

куда E_п характерная энергия, связанная с этим ${ displaystyle | psi _ {n} rangle}$ собственное состояние.

Любое государство могло быть представлено как линейная комбинация собственных состояний энергии; Например,

${ displaystyle | psi rangle = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} | psi _ {n} rangle}$,

куда а_п - постоянные коэффициенты.

Как и в классической механике, все динамические операторы могут быть представлены функциями положения и импульса, ${ displaystyle { hat {X}}}$ и ${ displaystyle { hat {P}}}$, соответственно. Связь этого представления с более обычным волновая функция представление задается собственным состоянием оператора позиции ${ displaystyle { hat {X}}}$ представляющий частицу в позиции ${ displaystyle x}$, который обозначается элементом ${ Displaystyle | х rangle}$ в гильбертовом пространстве и удовлетворяет ${ displaystyle { hat {X}} | x rangle = x | x rangle}$. Потом, ${ Displaystyle psi (x) = langle x | psi rangle}$.

Аналогичным образом собственные состояния ${ displaystyle | p rangle}$ оператора импульса ${ displaystyle { hat {P}}}$ указать импульсное представление: ${ Displaystyle psi (p) = langle p | psi rangle}$.

Центральная связь между этими операторами является квантовым аналогом приведенного выше Скобка Пуассона классической механики, каноническое коммутационное соотношение,

${ displaystyle [{ hat {X}}, { hat {P}}] = { hat {X}} { hat {P}} - { hat {P}} { hat {X}} = я hbar}$.

Это отношение кодирует (и формально приводит к) принцип неопределенности, в виде ΔИкс Δп ≥ час/2. Таким образом, эту алгебраическую структуру можно рассматривать как квантовый аналог каноническая структура классической механики.

Системы многих частиц

При переходе к N-частичным системам, т.е. системам, содержащим N идентичные частицы (частицы с одинаковым квантовые числа Такие как масса, обвинять и вращение ), необходимо продолжить одночастичную функцию состояния ${ displaystyle psi ( mathbf {r})}$ к N-частичной функции состояния ${ displaystyle psi ( mathbf {r} _ {1}, mathbf {r} _ {2}, ..., mathbf {r} _ {N})}$. Фундаментальное различие между классической и квантовой механикой касается концепции неразличимость одинаковых частиц. Таким образом, в квантовой физике возможны только два вида частиц, так называемые бозоны и фермионы которые подчиняются правилам:

${ displaystyle psi ( mathbf {r} _ {1}, ..., mathbf {r} _ {j}, ..., mathbf {r} _ {k}, ..., mathbf {r_ {N}}) = + psi ( mathbf {r} _ {1}, ..., mathbf {r} _ {k}, ..., mathbf {r} _ {j}, ..., mathbf {r} _ {N})}$ (бозоны),

${ displaystyle psi ( mathbf {r} _ {1}, ..., mathbf {r} _ {j}, ..., mathbf {r} _ {k}, ..., mathbf {r_ {N}}) = - psi ( mathbf {r} _ {1}, ..., mathbf {r} _ {k}, ..., mathbf {r} _ {j}, ..., mathbf {r} _ {N})}$ (фермионы).

Где мы поменяли местами две координаты ${ Displaystyle ( mathbf {r} _ {j}, mathbf {r} _ {k})}$ государственной функции. Обычная волновая функция получается с помощью Определитель Слейтера и идентичные частицы теория. На этой основе можно решать различные многочастичные задачи.

Проблемы и ограничения

Классические и квантовые скобки

Книга Дирака^[2] подробно описывает его популярное правило вытеснения Скобки Пуассона к коммутаторы:

Можно было бы интерпретировать это предложение как указание на то, что мы должны искать «карту квантования». ${ displaystyle Q}$ отображение функции ${ displaystyle f}$ на классическом фазовом пространстве к оператору ${ displaystyle Q_ {f}}$ на квантовом гильбертовом пространстве такое, что

${ displaystyle Q _ { {f, g }} = { frac {1} {i hbar}} [Q_ {f}, Q_ {g}]}$

Теперь известно, что не существует разумного такого отображения квантования, удовлетворяющего указанному выше тождеству точно для всех функций ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$.

Теорема Гроенвольда

Одной из конкретных версий вышеупомянутого утверждения о невозможности является теорема Греневольда (по словам голландского физика-теоретика Хильбранд Дж. Гроенвольд ), который мы для простоты описываем для системы с одной степенью свободы. Примем следующие «основные правила» для карты ${ displaystyle Q}$. Первый, ${ displaystyle Q}$ должен отправить постоянную функцию 1 оператору идентичности. Второй, ${ displaystyle Q}$ должен взять ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle p}$ к обычным операторам положения и импульса ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle P}$. В третьих, ${ displaystyle Q}$ должен принимать многочлен от ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle p}$ к «многочлену» от ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle P}$, то есть конечная линейная комбинация произведений ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle P}$, которые можно брать в любом желаемом порядке. В своей простейшей форме теорема Гроенвольда утверждает, что не существует отображения, удовлетворяющего вышеуказанным основным правилам, а также условию скобок

${ displaystyle Q _ { {f, g }} = { frac {1} {i hbar}} [Q_ {f}, Q_ {g}]}$

для всех многочленов ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$.

На самом деле отсутствие такого отображения происходит уже к тому моменту, когда мы достигаем полиномов четвертой степени. Обратите внимание, что скобка Пуассона двух многочленов четвертой степени имеет шестую степень, поэтому не имеет смысла требовать отображения многочленов четвертой степени для соблюдения условия скобки. Мы может, однако потребовать выполнения скобочного условия при ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$ иметь третью степень. Теорема Гроенвольда^[5] можно сформулировать следующим образом:

Теорема: Нет карты квантования ${ displaystyle Q}$ (следуя указанным выше основным правилам) на многочленах степени меньше или равной четырем, удовлетворяющим

${ displaystyle quad Q _ { {f, g }} = { frac {1} {i hbar}} [Q_ {f}, Q_ {g}]}$

в любое время ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$ иметь степень меньше или равную трем. (Обратите внимание, что в этом случае ${ Displaystyle {е, г }}$ имеет степень меньше или равную четырем.)

Доказательство можно изложить следующим образом.^[6][7] Предположим, мы сначала пытаемся найти отображение квантования на полиномах степени меньше или равной трем, удовлетворяющее условию скобок всякий раз, когда ${ displaystyle f}$ имеет степень меньше или равную двум и ${ displaystyle g}$ имеет степень меньше или равную двум. Тогда существует ровно одна такая карта, и это Квантование Вейля. Результат о невозможности теперь получается путем записи того же полинома четвертой степени в виде скобки Пуассона полиномов третьей степени. двумя разными способами. В частности, у нас есть

${ displaystyle x ^ {2} p ^ {2} = { frac {1} {9}} {x ^ {3}, p ^ {3} } = { frac {1} {3}} {х ^ {2} р, хр ^ {2} }}$

С другой стороны, мы уже видели, что если будет отображаться отображение квантования на полиномах третьей степени, то это должно быть квантование Вейля; то есть мы уже определили единственно возможное квантование всех кубических многочленов выше.

Аргумент завершается вычислением грубой силы, что

${ displaystyle { frac {1} {9}} [Q (x ^ {3}), Q (p ^ {3})]}$

не совпадает с

${ displaystyle { frac {1} {3}} [Q (x ^ {2} p), Q (xp ^ {2})]}$.

Таким образом, мы имеем два несовместимых требования к величине ${ Displaystyle Q (х ^ {2} p ^ {2})}$.

Аксиомы для квантования

Если Q представляет собой карту квантования, которая действует на функции ж в классическом фазовом пространстве желательными обычно считаются следующие свойства:^[8]

1. ${ Displaystyle Q_ {x} psi = x psi}$ и ${ Displaystyle Q_ {p} psi = -i hbar partial _ {x} psi ~~}$ (элементарные операторы позиции / импульса)
2. ${ displaystyle f longmapsto Q_ {f} ~~}$ линейная карта
3. ${ displaystyle [Q_ {f}, Q_ {g}] = i hbar Q _ { {f, g }} ~~}$ (Скобка Пуассона)
4. ${ Displaystyle Q_ {г circ f} = г (Q_ {f}) ~~}$ (правило фон Неймана).

Однако не только эти четыре свойства несовместимы, любые три из них тоже непоследовательны!^[9] Оказывается, единственными парами этих свойств, которые приводят к самосогласованным нетривиальным решениям, являются 2 и 3 и, возможно, 1 и 3 или 1 и 4. Принятие свойств 1 и 2 вместе с более слабым условием, что 3 будет истинным. только асимптотически в пределе час→0 (видеть Кронштейн Мойял ), приводит к квантование деформации, и некоторая посторонняя информация должна быть предоставлена, как в стандартных теориях, используемых в большей части физики. Принятие свойств 1, 2 и 3, но ограничение пространства квантованных наблюдаемых для исключения таких терминов, как кубические в приведенном выше примере, составляет геометрическое квантование.

Второе квантование: теория поля

Квантовая механика был успешным в описании нерелятивистских систем с фиксированным числом частиц, но была необходима новая структура для описания систем, в которых частицы могут быть созданы или разрушены, например, электромагнитное поле, рассматриваемое как совокупность фотонов. В конце концов выяснилось, что специальная теория относительности несовместимо с одночастичной квантовой механикой, так что теперь все частицы описываются релятивистски квантовые поля.

Когда процедура канонического квантования применяется к полю, такому как электромагнитное поле, классический поле переменные становятся квантовые операторы. Таким образом, нормальные моды, составляющие амплитуду поля, квантуются, а кванты отождествляются с отдельными частицами или возбуждениями. Например, кванты электромагнитного поля отождествляются с фотонами. В отличие от первого квантования, обычное второе квантование полностью однозначно, в сущности функтор.

Исторически сложилось так, что квантование классической теории отдельной частицы привело к возникновению волновой функции. Классические уравнения движения поля обычно идентичны по форме (квантовым) уравнениям для волновой функции один из его квантов. Например, Уравнение Клейна – Гордона является классическим уравнением движения для свободного скалярного поля, а также квантовым уравнением для волновой функции скалярной частицы. Это означало, что квантование поля появившийся быть похожим на квантование теории, которая уже была квантована, что привело к фантастическому термину второе квантование в ранней литературе, которая до сих пор используется для описания квантования поля, хотя современная интерпретация отличается.

Одним из недостатков канонического квантования для релятивистского поля является то, что, полагаясь на гамильтониан для определения зависимости от времени, релятивистская инвариантность больше не проявляется. Таким образом, необходимо проверить, что релятивистская инвариантность не потеряно. В качестве альтернативы Интегральный подход Фейнмана доступен для квантования релятивистских полей и явно инвариантен. Для нерелятивистских теорий поля, таких как те, которые используются в физика конденсированного состояния, Лоренц-инвариантность не является проблемой.

Полевые операторы

Квантово-механически переменные поля (такие как амплитуда поля в данной точке) представлены операторами на Гильбертово пространство. В общем, все наблюдаемые строятся как операторы в гильбертовом пространстве, а эволюция операторов во времени определяется Гамильтониан, который должен быть положительным оператором. Штат ${ displaystyle | 0 rangle}$ аннигилированный гамильтонианом, следует отождествить с состояние вакуума, на котором строятся все остальные государства. В теории невзаимодействующего (свободного) поля вакуум обычно определяется как состояние, содержащее нулевые частицы. В теории взаимодействующих частиц идентификация вакуума более тонкая из-за поляризация вакуума, что означает, что физический вакуум в квантовой теории поля никогда не бывает пустым. Для получения дополнительной информации см. Статьи на квантово-механический вакуум и вакуум квантовой хромодинамики. Детали канонического квантования зависят от квантованного поля, а также от того, является ли оно свободным или взаимодействующим.

Действительное скалярное поле

А скалярная теория поля представляет собой хороший пример процедуры канонического квантования.^[10] Классически скалярное поле представляет собой набор бесконечного числа осциллятор нормальные режимы. Достаточно рассмотреть 1 + 1-мерное пространство-время ℝ ×S₁, в котором пространственное направление уплотненный до окружности 2π, делая импульсы дискретными.

Классический Лагранжиан плотность описывает бесконечность связанных гармонических осцилляторов, помеченный Икс который теперь является меткой, а не динамической переменной смещения, подлежащей квантованию, обозначенной классическим полем φ,

${ displaystyle { mathcal {L}} ( phi) = { frac {1} {2}} ( partial _ {t} phi) ^ {2} - { frac {1} {2}} ( partial _ {x} phi) ^ {2} - { frac {1} {2}} m ^ {2} phi ^ {2} -V ( phi),}$

куда V(φ) - потенциальный член, часто принимаемый за многочлен или одночлен степени 3 или выше. Функционал действия

${ Displaystyle S ( phi) = int { mathcal {L}} ( phi) dxdt = int L ( phi, partial _ {t} phi) dt}$.

Канонический импульс, полученный с помощью Преобразование Лежандра используя действие L является ${ displaystyle pi = partial _ {t} phi}$, а классический Гамильтониан оказывается

${ displaystyle H ( phi, pi) = int dx left [{ frac {1} {2}} pi ^ {2} + { frac {1} {2}} ( partial _ { x} phi) ^ {2} + { frac {1} {2}} m ^ {2} phi ^ {2} + V ( phi) right].}$

Каноническое квантование рассматривает переменные ${ Displaystyle фи (х)}$ и ${ Displaystyle пи (х)}$ как операторы с канонические коммутационные соотношения вовремя т = 0, задаваемый

${ Displaystyle [ фи (х), фи (у)] = 0, [ пи (х), пи (у)] = 0, [ фи (х), пи (у )] = i hbar delta (xy).}$

Операторы, построенные из ${ displaystyle phi}$ и ${ displaystyle pi}$ затем можно формально определить в другие моменты времени через временную эволюцию, порожденную гамильтонианом:

${ displaystyle { mathcal {O}} (t) = e ^ {itH} { mathcal {O}} e ^ {- itH}.}$

Однако, поскольку φ и π больше не коммутируют, это выражение неоднозначно на квантовом уровне. Проблема состоит в том, чтобы построить представление соответствующих операторов ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ на Гильбертово пространство ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ и построить положительный оператор ЧАС как квантовый оператор на этом гильбертовом пространстве таким образом, что оно дает эту эволюцию для операторов ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ как указано в предыдущем уравнении, и чтобы показать, что ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ содержит вакуумное состояние ${ displaystyle | 0 rangle}$ на котором ЧАС имеет нулевое собственное значение. На практике такая конструкция представляет собой сложную задачу для взаимодействующих теорий поля и полностью решена лишь в нескольких простых случаях методами конструктивная квантовая теория поля. Многие из этих проблем можно обойти с помощью интеграла Фейнмана, описанного для конкретного случая. V(φ) в статье о скалярная теория поля.

В случае свободного поля с V(φ) = 0, процедура квантования относительно проста. Удобно преобразование Фурье поля, так что

${ displaystyle phi _ {k} = int phi (x) e ^ {- ikx} dx, pi _ {k} = int pi (x) e ^ {- ikx} dx.}$

Реальность полей подразумевает, что

${ displaystyle phi _ {- k} = phi _ {k} ^ { dagger}, ~~~ pi _ {- k} = pi _ {k} ^ { dagger}}$.

Классический гамильтониан можно разложить по модам Фурье как

${ displaystyle H = { frac {1} {2}} sum _ {k = - infty} ^ { infty} left [ pi _ {k} pi _ {k} ^ { dagger} + omega _ {k} ^ {2} phi _ {k} phi _ {k} ^ { dagger} right],}$

куда ${ displaystyle omega _ {k} = { sqrt {k ^ {2} + m ^ {2}}}}$.

Таким образом, этот гамильтониан можно узнать как бесконечную сумму классических нормальный режим возбуждения генератора φ_k, каждый из которых квантуется в стандарт Таким образом, свободный квантовый гамильтониан выглядит идентично. Это φ_ks, которые стали операторами, подчиняющимися стандартным коммутационным соотношениям, [φ_k, π_k^†] = [φ_k^†, π_k] = я, а все остальные исчезают. Коллективное гильбертово пространство всех этих осцилляторов, таким образом, строится с использованием операторов рождения и уничтожения, построенных из этих мод,

${ displaystyle a_ {k} = { frac {1} { sqrt {2 hbar omega _ {k}}}} left ( omega _ {k} phi _ {k} + i pi _ {k} right), a_ {k} ^ { dagger} = { frac {1} { sqrt {2 hbar omega _ {k}}}} left ( omega _ {k} phi _ {k} ^ { dagger} -i pi _ {k} ^ { dagger} right),}$

для которого [а_k, а_k^†] = 1 для всех kс исчезновением всех остальных коммутаторов.

Вакуум ${ displaystyle | 0 rangle}$ считается уничтоженным всеми а_k, и ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ - гильбертово пространство, построенное путем применения любой комбинации бесконечного набора операторов рождения а_k^† к ${ displaystyle | 0 rangle}$. Это гильбертово пространство называется Пространство фока. Для каждого k, эта конструкция идентична квантовый гармонический осциллятор. Квантовое поле - это бесконечный набор квантовых осцилляторов. Квантовый гамильтониан тогда составляет

${ displaystyle H = sum _ {k = - infty} ^ { infty} hbar omega _ {k} a_ {k} ^ { dagger} a_ {k} = sum _ {k = - infty} ^ { infty} hbar omega _ {k} N_ {k}}$,

куда N_k можно интерпретировать как оператор числа давая количество частиц в состоянии с импульсом k.

Этот гамильтониан отличается от предыдущего выражения вычитанием нулевой энергии ħω_k/2 каждого гармонического осциллятора. Это удовлетворяет условию, что ЧАС должен аннигилировать вакуум, не влияя на временную эволюцию операторов с помощью указанной выше операции возведения в степень. Это вычитание нулевой энергии можно рассматривать как разрешение неоднозначности порядка квантового оператора, поскольку оно эквивалентно требованию, чтобы все операторы создания появляются слева от операторов уничтожения в разложении гамильтониана. Эта процедура известна как Заказ фитиля или же нормальный заказ.

Другие поля

Все другие поля могут быть квантованы путем обобщения этой процедуры. Векторные или тензорные поля просто имеют больше компонентов, и для каждого независимого компонента должны быть введены независимые операторы создания и уничтожения. Если в поле есть внутренняя симметрия, то операторы создания и разрушения должны быть введены и для каждого компонента поля, связанного с этой симметрией. Если есть калибровочная симметрия, то необходимо тщательно проанализировать количество независимых компонентов поля, чтобы не переоценивать эквивалентные конфигурации, и калибровка может применяться при необходимости.

Оказывается, что коммутационные соотношения полезны только для квантования бозоны, для которых количество заполняемости любого состояния не ограничено. Квантовать фермионы, которые удовлетворяют Принцип исключения Паули, нужны антикоммутаторы. Они определены {A, B} = AB + BA.

При квантовании фермионов поля расширяются в операторах создания и уничтожения, θ_k^†, θ_k, которые удовлетворяют

${ displaystyle { theta _ {k}, theta _ {l} ^ { dagger} } = delta _ {kl}, { theta _ {k}, theta _ {l} } = 0, { theta _ {k} ^ { dagger}, theta _ {l} ^ { dagger} } = 0.}$

Состояния построены на вакууме | 0>, аннигилированном θ_k, а Пространство фока построен с применением всех продуктов операторов создания θ_k^† к | 0>. Принцип исключения Паули выполняется, потому что ${ displaystyle ( theta _ {k} ^ { dagger}) ^ {2} | 0 rangle = 0}$, в силу антикоммутационных соотношений.

Конденсаты

При построении состояний скалярного поля выше предполагалось, что потенциал минимизирован при φ = 0, так что вакуум, минимизирующий гамильтониан, удовлетворяет условию 〈 φ 〉 = 0, что указывает на то, что ожидаемое значение вакуума (VEV) поля равна нулю. По делам, связанным с спонтанное нарушение симметрии, возможно иметь ненулевой VEV, потому что потенциал минимизирован для значения φ = v . Это происходит, например, если V (φ) = gφ⁴ - 2 мес.²φ² с грамм > 0 и м² > 0, для которого минимальная энергия находится при v = ±м/√грамм. Значение v в одном из этих вакуумов можно рассматривать как конденсат поля φ. Каноническое квантование тогда может быть выполнено для смещенное поле φ (x, t) −v, а состояния частицы относительно смещенного вакуума определяются путем квантования смещенного поля. Эта конструкция используется в Механизм Хиггса в стандартная модель из физика элементарных частиц.

Математическое квантование

Квантование деформации

Классическая теория описывается с помощью космический слоение из пространство-время при этом состояние каждого среза описывается элементом симплектическое многообразие с эволюцией во времени, заданной симплектоморфизм созданный Гамильтониан функция над симплектическим многообразием. В квантовая алгебра «операторов» - это час-деформация алгебры гладких функций над симплектическим пространством такое, что ведущий термин в разложении Тейлора по час из коммутатор [А, B] выраженный в формулировка фазового пространства является я{А, B} . (Здесь фигурные скобки обозначают Скобка Пуассона. Все вспомогательные термины закодированы в Кронштейн Мойял - подходящая квантовая деформация скобки Пуассона.) В общем, для задействованных величин (наблюдаемых) и предоставления аргументов таких скобок, час-деформации весьма неоднозначны - квантование - это «искусство», и оно определяется физическим контекстом (два разные квантовые системы могут представлять собой две разные, неэквивалентные деформации одного и того же классический предел, час → 0.)

Теперь ищут унитарные представления этой квантовой алгебры. Относительно такого унитарного представления симплектоморфизм в классической теории теперь деформируется до (метаплектического) унитарное преобразование. В частности, симплектоморфизм временной эволюции, порожденный классическим гамильтонианом, деформируется в унитарное преобразование, порожденное соответствующим квантовым гамильтонианом.

Дальнейшее обобщение - рассмотреть Пуассоново многообразие вместо симплектического пространства для классической теории и выполнить час-деформация соответствующих Алгебра Пуассона или даже Супермногообразия Пуассона.

Геометрическое квантование

В отличие от теории деформационного квантования, описанной выше, геометрическое квантование стремится построить реальное гильбертово пространство и операторы на нем. Начиная с симплектического многообразия ${ displaystyle M}$, сначала строится предквантовое гильбертово пространство, состоящее из пространства суммируемых с квадратом сечений подходящего линейного расслоения над ${ displaystyle M}$. На этом пространстве можно отобразить все классические наблюдаемые к операторам в предквантовом гильбертовом пространстве, причем коммутатор точно соответствует скобке Пуассона. Однако предквантовое гильбертово пространство явно слишком велико, чтобы описать квантование ${ displaystyle M}$.

Затем переходят к выбору поляризации, то есть (грубо говоря) к выбору ${ displaystyle n}$ переменные на ${ displaystyle 2n}$-мерное фазовое пространство. В квант Гильбертово пространство - это пространство сечений, зависящих только от ${ displaystyle n}$ выбранные переменные в том смысле, что они ковариантно постоянны в других ${ displaystyle n}$ направления. Если выбранные переменные действительны, мы получим что-то вроде традиционного гильбертова пространства Шредингера. Если выбранные переменные сложны, мы получаем что-то вроде Пространство Сегала – Баргмана..

Смотрите также

• Принцип соответствия
• Операторы создания и уничтожения
• Кронштейн Дирака
• Кронштейн Мойял
• Формулировка фазового пространства (квантовой механики)
• Геометрическое квантование

Рекомендации

Исторические ссылки

• Сильван С. Швебер: QED и люди, которые сделали это, Princeton Univ. Press, 1994, г. ISBN  0-691-03327-7

Общие технические ссылки

• Александр Альтланд, Бен Саймонс: Теория поля конденсированного состояния, Cambridge Univ. Пресса, 2009, ISBN  978-0-521-84508-3
• Джеймс Д. Бьоркен, Сидней Д. Дрелл: Релятивистская квантовая механика, Нью-Йорк, Макгроу-Хилл, 1964 г.
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Спрингер, ISBN  978-1461471158.
• Введение в квантовую теорию поляМ.Е. Пескина и Х.Д. Шредер, ISBN  0-201-50397-2
• Франц Швабль: Продвинутая квантовая механика, Берлин и другие места, Springer, 2009 г. ISBN  978-3-540-85061-8

внешняя ссылка

• Что такое «релятивистское каноническое квантование»?
• Педагогические пособия по квантовой теории поля Нажмите на ссылки для глав. 1 и 2 на этом сайте, чтобы найти обширное упрощенное введение во вторичное квантование. См. Раздел. 1.5.2 в гл. 1. См. Разд. 2.7 и краткое содержание главы в гл. 2.