Уравнение Вейля - Википедия - Weyl equation

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Фон Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Сильная сила Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия переноса пространства Симметрия перевода времени Симметрия вращения Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга – Миллса Нётер заряд Топологический заряд
Инструменты Аномалия Переход Эффективная теория поля Ценность ожидания Призрачные поля Призраки Фаддеева – Попова Диаграмма Фейнмана Решеточная калибровочная теория Формула восстановления LSZ Функция разделения Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Вайтмана Параметризация Фейнмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна – Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера – ДеВитта Уравнения Баргмана – Вигнера Уравнение Джооса – Вайнберга Уравнение Вейля
Стандартная модель Квантовое вакуумное состояние Квантовая динамика Квантовая термодинамика Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса Виртуальная частица
Неполные теории Причинная динамическая триангуляция Причинные фермионные системы Причинные множества Конформная теория поля Море Дирака Теория возмущений Двумерная конформная теория поля Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени Теория теплового квантового поля Топологическая квантовая теория поля Квантовая геометрия Полуклассическая гравитация Отжим пена Теория струн Теория суперструн М-Теория Суперсимметрия Супергравитация Разноцветный Теория всего Каноническая квантовая гравитация Квантовая гравитация Петлевая квантовая гравитация Петлевая квантовая космология Теория скрытых переменных Теория объективного коллапса
Ученые Адлер Андерсон Быть Боголюбов Коулман Каллан ДеВитт Дирак Дайсон Ферми Фейнман Фирц Фок Fröhlich Гелл-Манн Голдстоун Валовой Гейзенберг 'т Хофт Джеки Иордания Ландо Ли Lehmann Мандельштам Майорана Намбу Паризи Поляков Салам Швингер Skyrme Штюкельберг Симанзик Томонага Вельтман Вайнберг Weisskopf Weyl Вильчек Уилсон Виттен Ян Юкава Циммерманн Зинн-Джастин

В физика, особенно квантовая теория поля, то Уравнение Вейля это релятивистское волновое уравнение для описания безмассовых спин-1/2 частицы называются Фермионы Вейля. Уравнение названо в честь Герман Вейль. Фермионы Вейля - один из трех возможных типов элементарных фермионов, два других - это Дирак и Майорана фермионы.

Ни один из элементарные частицы в Стандартная модель являются фермионами Вейля. До подтверждения осцилляции нейтрино считалось, что нейтрино может быть фермионом Вейля (теперь он считается либо дираковским, либо майорановским фермионом). В физика конденсированного состояния, некоторые материалы, которые могут отображать квазичастицы которые ведут себя как фермионы Вейля, что приводит к понятию Полуметаллы Вейля.

История

В Уравнение Дирака, был опубликован в 1928 г. Поль Дирак, сначала описывая спин-½ частицы в рамках релятивистская квантовая механика.^[1] Немецкий математик и математический физик Герман Вейль опубликовал свое уравнение в 1929 году как упрощенную версию уравнения Дирака.^[1][2] Вольфганг Паули написал в 1933 году против уравнения Вейля, потому что оно нарушает паритет.^[3] Однако за три года до этого Паули предсказал существование нового элементарного фермион, то нейтрино, чтобы объяснить бета-распад, который в конечном итоге будет описываться тем же уравнением.

В 1937 г. Коньерс Херринг предложил идею квазичастиц фермионов Вейля в конденсированных средах.^[4]

Окончательно нейтрино были подтверждены в 1956 году как частицы с исчезающей массой.^[3] В том же году У эксперимент, показало, что паритет был нарушен слабое взаимодействие. Затем последовало экспериментальное открытие нейтрино. спиральность в 1958 г.^[3] Вдобавок, поскольку эксперименты не показали признаков массы нейтрино, интерес к уравнению Вейля вернулся на поверхность. В Стандартная модель, таким образом, был построен в предположении, что нейтрино были фермионами Вейля.^[3]

Пока итальянский физик Бруно Понтекорво предложил в 1957 г. возможность масс нейтрино и осцилляции нейтрино,^[3] только в 1998 году Супер-Камиоканде в итоге подтвердил свое существование.^[3] Это открытие подтвердило, что уравнение Вейля не может полностью описать распространение нейтрино.^[1]

В 2015 году первый Полуметалл Вейля экспериментально продемонстрировано в кристаллическом арсениде тантала (${ displaystyle { ce {TaAs}}}$) при сотрудничестве М.З. Хасан s (Университет Принстона ) и Х. Дина (Китайская Академия Наук ) команд.^[4] Самостоятельно, в том же году, М. Солячич команда (Массачусетский Институт Технологий ) также наблюдается вейлевское возбуждение фотонные кристаллы.^[4]

Уравнение

Уравнение Вейля можно записать как^[5][6][7]

${ Displaystyle sigma ^ { mu} partial _ { mu} psi = 0}$

Расширяя вышеуказанное, и вставляя ${ displaystyle c}$ для скорость света:

${ displaystyle I_ {2} { frac {1} {c}} { frac { partial psi} { partial t}} + sigma _ {x} { frac { partial psi} { partial x}} + sigma _ {y} { frac { partial psi} { partial y}} + sigma _ {z} { frac { partial psi} { partial z}} = 0 }$

куда

${ Displaystyle sigma ^ { mu} = ( sigma ^ {0}, sigma ^ {1}, sigma ^ {2}, sigma ^ {3}) = (I_ {2}, sigma _ {x}, sigma _ {y}, sigma _ {z})}$

это вектор компонентами которого являются 2 × 2 единичная матрица ${ displaystyle I_ {2}}$ за μ = 0 и Матрицы Паули за μ = 1,2,3 и ψ это волновая функция - один из вейлов спиноры. Двойственная форма уравнения обычно записывается как:

${ displaystyle { bar { sigma}} ^ { mu} partial _ { mu} psi = 0}$

куда ${ displaystyle { bar { sigma}} ^ { mu} = (I_ {2}, - sigma _ {x}, - sigma _ {y}, - sigma _ {z})}$. Эти две разные формы уравнения Вейля; их решения также различны. Можно показать, что решения имеют левую и правую стороны. спиральность, и поэтому хиральность. Эти два элемента удобно обозначить явно; маркировка ${ Displaystyle sigma ^ { mu} partial _ { mu} psi _ { rm {R}} = 0}$ и ${ displaystyle { bar { sigma}} ^ { mu} partial _ { mu} psi _ { rm {L}} = 0 ~.}$

Решения плоских волн

В плоская волна решения уравнения Вейля называются левыми и правыми спинорами Вейля, каждый из которых имеет две компоненты. Оба имеют форму

${ displaystyle psi ( mathbf {r}, t) = { begin {pmatrix} psi _ {1} psi _ {2} end {pmatrix}} = chi e ^ {- я ( mathbf {k} cdot mathbf {r} - omega t)} = chi e ^ {- i ( mathbf {p} cdot mathbf {r} -Et) / hbar}}$,

куда

${ displaystyle chi = { begin {pmatrix} chi _ {1} chi _ {2} end {pmatrix}}}$

- зависящий от импульса двухкомпонентный спинор, удовлетворяющий

${ displaystyle sigma ^ { mu} p _ { mu} chi = (I_ {2} E - { vec { sigma}} cdot { vec {p}}) chi = 0}$

или же

${ displaystyle { bar { sigma}} ^ { mu} p _ { mu} chi = (I_ {2} E + { vec { sigma}} cdot { vec {p}}) chi = 0}$.

Прямым манипулированием получаем, что

${ displaystyle ({ bar { sigma}} ^ { nu} p _ { nu}) ( sigma ^ { mu} p _ { mu}) chi = ( sigma ^ { nu} p_ { nu}) ({ bar { sigma}} ^ { mu} p _ { mu}) chi = p _ { mu} p ^ { mu} chi = (E ^ {2} - { vec {p}} cdot { vec {p}}) chi = 0}$,

и заключает, что уравнения соответствуют частице, которая безмассовый. В результате величина импульс п относится непосредственно к волновой вектор k посредством Отношения де Бройля в качестве:

${ displaystyle | mathbf {p} | = hbar | mathbf {k} | = hbar omega / c , rightarrow , | mathbf {k} | = omega / c}$

Уравнение можно записать в терминах левых и правых спиноров как:

${ displaystyle { begin {align} & sigma ^ { mu} partial _ { mu} psi _ { rm {R}} = 0 & { bar { sigma}} ^ { mu} partial _ { mu} psi _ { rm {L}} = 0 end {align}}}$

Спиральность

Левая и правая компоненты соответствуют спиральности λ частиц, проекция оператор углового момента J на линейный импульс п:

${ displaystyle mathbf {p} cdot mathbf {J} left | mathbf {p}, lambda right rangle = lambda | mathbf {p} | left | mathbf {p}, лямбда право rangle}$

Здесь ${ displaystyle lambda = pm 1/2}$.

Лоренц-инвариантность

Оба уравнения Инвариант Лоренца под Преобразование Лоренца ${ Displaystyle х mapsto x ^ { prime} = Lambda x}$ куда ${ displaystyle Lambda in mathrm {SO} (1,3).}$ Точнее, уравнения преобразуются как

${ Displaystyle sigma ^ { mu} { frac { partial} { partial x ^ { mu}}} psi _ { rm {R}} (x) mapsto sigma ^ { mu} { frac { partial} { partial x ^ { prime mu}}} psi _ { rm {R}} (x ^ { prime}) = (S ^ {- 1}) ^ { кинжал} sigma ^ { mu} { frac { partial} { partial x ^ { mu}}} psi _ { rm {R}} (x)}$

куда ${ Displaystyle S ^ { dagger}}$ это Эрмитово транспонирование, при условии, что правое поле преобразуется как

${ Displaystyle psi _ { rm {R}} (x) mapsto psi _ { rm {R}} ^ { prime} (x ^ { prime}) = S psi _ { rm { R}} (x)}$

Матрица ${ Displaystyle S in SL (2, mathbb {C})}$ связана с преобразованием Лоренца с помощью двойное покрытие из Группа Лоренца посредством специальная линейная группа ${ Displaystyle mathrm {SL} (2, mathbb {C})}$ данный

${ displaystyle sigma _ { mu} { Lambda ^ { mu}} _ { nu} = (S ^ {- 1}) ^ { dagger} sigma _ { nu} S ^ {- 1 }}$

Таким образом, если непреобразованный дифференциал обращается в нуль в одной лоренцевой системе отсчета, то он обращается в нуль и в другой. по аналогии

${ displaystyle { overline { sigma}} ^ { mu} { frac { partial} { partial x ^ { mu}}} psi _ { rm {L}} (x) mapsto { overline { sigma}} ^ { mu} { frac { partial} { partial x ^ { prime mu}}} psi _ { rm {L}} (x ^ { prime}) = S { overline { sigma}} ^ { mu} { frac { partial} { partial x ^ { mu}}} psi _ { rm {L}} (x)}$

при условии, что левое поле преобразуется как

${ Displaystyle psi _ { rm {L}} (x) mapsto psi _ { rm {L}} ^ { prime} (x ^ { prime}) = (S ^ { dagger}) ^ {- 1} psi _ { rm {L}} (x) ~.}$

Отношение к Майоране

Уравнение Вейля принято интерпретировать как описывающее безмассовую частицу. Однако с небольшими изменениями можно получить двухкомпонентную версию Уравнение майорана.^[8] Это возникает потому, что специальная линейная группа ${ Displaystyle mathrm {SL} (2, mathbb {C})}$ является изоморфный к симплектическая группа ${ displaystyle mathrm {Sp} (2, mathbb {C}).}$ Симплектические группы определяются как совокупность всех комплексных матриц 2x2, удовлетворяющих

${ Displaystyle omega ^ {- 1} S ^ {T} omega = S ^ {- 1}}$

куда

${ displaystyle omega = я sigma _ {2} = { begin {bmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {bmatrix}}}$

Определяющее отношение можно переписать как ${ displaystyle omega S ^ {*} = (S ^ { dagger}) ^ {- 1} omega}$ куда ${ Displaystyle S ^ {*}}$ это комплексно сопряженный. Правое поле, как отмечалось ранее, преобразуется как

${ Displaystyle psi _ { rm {R}} (x) mapsto psi _ { rm {R}} ^ { prime} (x ^ { prime}) = S psi _ { rm { R}} (x)}$

и поэтому комплексно сопряженное поле преобразуется как

${ Displaystyle psi _ { rm {R}} ^ {*} (x) mapsto psi _ { rm {R}} ^ { prime *} (x ^ { prime}) = S ^ { *} psi _ { rm {R}} ^ {*} (x)}$

Применяя определяющее отношение, можно сделать вывод, что

${ displaystyle m omega psi _ { rm {R}} ^ {*} (x) mapsto m omega psi _ { rm {R}} ^ { prime *} (x ^ { prime }) = (S ^ { dagger}) ^ {- 1} m omega psi _ { rm {R}} ^ {*} (x)}$

что точно такое же свойство ковариантности Лоренца, о котором говорилось ранее. Таким образом, линейная комбинация с использованием произвольного комплексного фазового множителя ${ Displaystyle eta = е ^ {я фи}}$

${ Displaystyle я сигма ^ { mu} partial _ { mu} psi _ { rm {R}} (x) + eta m omega psi _ { rm {R}} ^ {* }(Икс)}$

преобразуется ковариантно; установка на ноль дает сложный двухкомпонентный Уравнение майорана. Уравнение Майорана обычно записывается как четырехкомпонентное действительное уравнение, а не как двухкомпонентное комплексное уравнение; все вышесказанное может быть преобразовано в четырехкомпонентную форму (подробности см. в этой статье). Аналогично, левокиральное уравнение Майорана (включая произвольный фазовый множитель ${ displaystyle zeta}$) является

${ Displaystyle я { overline { sigma}} ^ { mu} partial _ { mu} psi _ { rm {L}} (x) + zeta m omega psi _ { rm { L}} ^ {*} (x) = 0}$

Как отмечалось ранее, левая и правая киральные версии связаны преобразованием четности. Косое комплексное сопряжение ${ Displaystyle omega psi ^ {*} = я sigma ^ {2} psi}$ можно признать зарядовое сопряжение форма ${ displaystyle psi ~.}$ Таким образом, уравнение Майорана можно рассматривать как уравнение, которое связывает спинор с его зарядово-сопряженной формой. Две отдельные фазы массового члена связаны с двумя различными собственными значениями оператора зарядового сопряжения; видеть зарядовое сопряжение и Уравнение майорана для подробностей.

Определите пару операторов, операторы Майорана,

${ Displaystyle D _ { rm {L}} = я { overline { sigma}} ^ { mu} partial _ { mu} + zeta m omega K qquad D _ { rm {R}} = i sigma ^ { mu} partial _ { mu} + eta m omega K}$

куда ${ displaystyle K}$ - краткое напоминание о необходимости принимать комплексное сопряжение. При преобразованиях Лоренца они преобразуются как

${ Displaystyle D _ { rm {L}} mapsto D _ { rm {L}} ^ { prime} = SD _ { rm {L}} S ^ { dagger} qquad D _ { rm {R} } mapsto D _ { rm {R}} ^ { prime} = (S ^ { dagger}) ^ {- 1} D _ { rm {R}} S ^ {- 1}}$

тогда как спиноры Вейля преобразуются как

${ Displaystyle psi _ { rm {L}} mapsto psi _ { rm {L}} ^ { prime} = (S ^ { dagger}) ^ {- 1} psi _ { rm {L}} qquad psi _ { rm {R}} mapsto psi _ { rm {R}} ^ { prime} = S psi _ { rm {R}}}$

как указано выше. Таким образом, их согласованные комбинации лоренцевы ковариантны, и можно взять

${ Displaystyle D _ { rm {L}} psi _ { rm {L}} = 0 qquad D _ { rm {R}} psi _ { rm {R}} = 0}$

как пару комплексных 2-спинорных уравнений Майорана.

Продукты ${ Displaystyle D _ { rm {L}} D _ { rm {R}}}$ и ${ Displaystyle D _ { rm {R}} D _ { rm {L}}}$ оба лоренцевы ковариантны. Продукт явно

${ Displaystyle D _ { rm {R}} D _ { rm {L}} = left (я sigma ^ { mu} partial _ { mu} + eta m omega K right) left (i { overline { sigma}} ^ { mu} partial _ { mu} + zeta m omega K right) = - ( partial _ {t} ^ {2} - { vec { nabla}} cdot { vec { nabla}} + eta zeta ^ {*} m ^ {2}) = - ( square + eta zeta ^ {*} m ^ {2})}$

Для проверки необходимо помнить, что ${ displaystyle omega ^ {2} = - 1}$ и это ${ displaystyle Ki = -iK ~.}$ RHS сводится к Оператор Клейна – Гордона при условии, что ${ displaystyle eta zeta ^ {*} = 1}$, то есть, ${ displaystyle eta = zeta ~.}$ Таким образом, эти два оператора Майорана являются «квадратными корнями» оператора Клейна – Гордона.

Лагранжевые плотности

Уравнения получаются из Лагранжевые плотности

${ Displaystyle { mathcal {L}} = я psi _ { rm {R}} ^ { dagger} sigma ^ { mu} partial _ { mu} psi _ { rm {R} },}$

${ Displaystyle { mathcal {L}} = я psi _ { rm {L}} ^ { dagger} { bar { sigma}} ^ { mu} partial _ { mu} psi _ { rm {L}}.}$

Путем лечения спинора и его сопрягать (обозначается ${ displaystyle dagger}$) в качестве независимых переменных получается соответствующее уравнение Вейля.

Спиноры Вейля

Период, термин Спинор Вейля также часто используется в более общих условиях, как определенный элемент Алгебра Клиффорда. Это тесно связано с решениями, данными выше, и дает естественную геометрическую интерпретацию спиноры как геометрические объекты, живущие на многообразие. Этот общий параметр имеет несколько сильных сторон: он разъясняет их интерпретацию как фермионы в физике, и это показывает, как точно определить спин в Общая теория относительности, или, действительно, для любого Риманово многообразие или же псевдориманово многообразие. Неофициально это схематично показано следующим образом.

Уравнение Вейля имеет вид инвариантный под действием Группа Лоренца. Это означает, что, поскольку повышает и вращения применяются, форма самого уравнения не меняется. Однако форма спинор ${ displaystyle psi}$ сам по себе меняется. Игнорирование пространство-время целиком алгебра спиноров описывается (комплексифицированной) Алгебра Клиффорда. Спиноры трансформируются под действием вращательная группа. Это полностью аналогично тому, как можно говорить о векторе, и как он трансформируется под действием группа ротации, за исключением того, что теперь он адаптирован к случаю спиноров.

Учитывая произвольную псевдориманово многообразие ${ displaystyle M}$ измерения ${ displaystyle (p, q)}$можно считать, что это касательный пучок ${ displaystyle TM}$. В любой момент ${ displaystyle x in M}$, то касательное пространство ${ displaystyle T_ {x} M}$ это ${ displaystyle (p, q)}$ размерный векторное пространство. Учитывая это векторное пространство, можно построить алгебру Клиффорда ${ Displaystyle mathrm {Cl} (p, q)}$ в теме. Если ${ Displaystyle {е_ {я} }}$ площадь базис векторного пространства на ${ displaystyle T_ {x} M}$, можно построить пару спиноров Вейля как^[9]

${ displaystyle w_ {j} = { frac {1} { sqrt {2}}} left (e_ {2j} + ie_ {2j + 1} right)}$

и

${ displaystyle w_ {j} ^ {*} = { frac {1} { sqrt {2}}} left (e_ {2j} -ie_ {2j + 1} right)}$

При правильном рассмотрении в свете алгебры Клиффорда они естественно анти-коммутирующий, то есть есть что ${ displaystyle w_ {j} w_ {m} = - w_ {m} w_ {j}.}$ Это можно с радостью интерпретировать как математическую реализацию Принцип исключения Паули, что позволяет интерпретировать эти абсурдно определенные формальные структуры как фермионы. За ${ displaystyle (p, q) = (1,3)}$ размерный Пространство-время Минковского возможны только два таких спинора, условно обозначенные как «левый» и «правый», как описано выше. Более формальное, общее представление спиноров Вейля можно найти в статье о вращательная группа.

Абстрактную общерелятивистскую форму уравнения Вейля можно понять следующим образом: дано псевдориманово многообразие ${ displaystyle M}$, строится пучок волокон над ней со спиновой группой в качестве волокна. Спиновая группа ${ displaystyle mathrm {Spin} (p, q)}$ это двойная крышка из специальная ортогональная группа ${ Displaystyle mathrm {SO} (p, q)}$, так что можно послойно отождествить спиновую группу с комплект кадров над ${ displaystyle M}$. Когда это будет сделано, получившаяся структура называется спиновая структура.

Выбор одной точки на волокне соответствует выбору местная система координат для пространства-времени; две разные точки на волокне связаны (лоренцевым) усилением / вращением, то есть локальным изменением координат. Естественными обитателями спиновой структуры являются спиноры Вейля, в том смысле, что спиновая структура полностью описывает, как спиноры ведут себя при (лоренцевых) бустах / вращениях.

Учитывая спиновый коллектор, аналог метрическое соединение это спин-соединение; По сути, это «то же самое», что и обычное соединение, только с последовательными привязками к нему спиновых индексов. В ковариантная производная может быть определено в терминах соединения совершенно обычным образом. Он естественно действует на Связка Клиффорда; расслоение Клиффорда - это пространство, в котором живут спиноры. Общее исследование таких структур и их взаимосвязей называется геометрия вращения.

Особые случаи

Есть три важных частных случая, которые можно построить из спиноров Вейля. Один из них Спинор Дирака, которые можно принять за пару спиноров Вейля, левую и правую. Они связаны вместе таким образом, что представляют собой электрически заряженное фермионное поле. Электрический заряд возникает из-за того, что поле Дирака трансформируется под действием комплексообразующего вращательная группа ${ displaystyle mathrm {Spin} ^ { mathbb {C}} (p, q).}$ Эта группа имеет структуру

${ displaystyle mathrm {Spin} ^ { mathbb {C}} (p, q) cong mathrm {Spin} (p, q) times _ { mathbb {Z} _ {2}} S ^ { 1}}$

куда ${ Displaystyle S ^ {1} cong mathrm {U} (1)}$ круг, и его можно отождествить с U (1) электромагнетизм. Продукт ${ displaystyle times _ { mathbb {Z} _ {2}}}$ просто причудливое обозначение продукта ${ displaystyle mathrm {Spin} (p, q) times S ^ {1}}$ с противоположными точками ${ Displaystyle (s, u) = (- s, -u)}$ идентифицированы (двойное покрытие).

В Майорана спинор снова пара спиноров Вейля, но на этот раз устроенная так, что левый спинор является зарядовое сопряжение правого спинора. В результате получается поле с двумя степенями свободы меньше, чем спинор Дирака. Он не может взаимодействовать с электромагнитным полем, так как трансформируется как скаляр под действием ${ Displaystyle mathrm {спин} ^ { mathbb {C}}}$ группа. То есть он трансформируется как спинор, но трансверсально, так что он инвариантен относительно ${ Displaystyle mathrm {U} (1)}$ действие спиновой группы.

Третий частный случай - это ELKO spinor, построенный так же, как спинор Майорана, за исключением дополнительного знака минус между зарядово-сопряженной парой. Это снова делает его электрически нейтральным, но вводит ряд других довольно удивительных свойств.

Примечания

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Демистификация квантовой теории поля, Д. МакМахон, Макгроу-Хилл (США), 2008 г., ISBN  978-0-07-154382-8
• Физика элементарных частиц (2-е издание), Б. Мартин, Дж. Шоу, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008 г., ISBN  978-0-470-03294-7
  • 3-е издание, 2013 г.
• Демистификация суперсимметрии, П. Лабелль, МакГроу-Хилл (США), 2010 г., ISBN  978-0-07-163641-4
• Дорога к реальности, Роджер Пенроуз, Винтажные книги, 2007, ISBN  0-679-77631-1
• Джонстон, Хэмиш (23 июля 2015 г.). "Фермионы Вейля наконец-то заметили". Мир физики. Получено 22 ноября 2018.
• Сьюдад, Давид (20 августа 2015 г.). «Безмассовый, но реальный». Материалы Природы. 14 (9): 863. Дои:10.1038 / nmat4411. ISSN  1476-1122. PMID  26288972.
• Вишванат, Ашвин (8 сентября 2015 г.). "Где твари Вейля". APS Physics. Получено 22 ноября 2018.
• Цзя, Шуанг; Сюй, Су-Ян; Хасан, М. Захид (25 октября 2016 г.). «Полуметаллы Вейля, дуги Ферми и киральная аномалия». Материалы Природы. 15: 1140.

внешняя ссылка

• http://aesop.phys.utk.edu/qft/2004-5/2-2.pdf
• http://www.nbi.dk/~kleppe/random/ll/l2.html
• http://www.tfkp.physik.uni-erlangen.de/download/research/DW-derivation.pdf
• http://www.weylmann.com/weyldirac.pdf