Параметризация Фейнмана это метод оценки петлевые интегралы которые возникают из Диаграммы Фейнмана с одной или несколькими петлями. Однако иногда это полезно при интеграции в областях чистая математика также.
Формулы
Ричард Фейнман заметил, что:
![{ frac {1} {AB}} = int _ {0} ^ {1} { frac {du} { left [uA + (1-u) B right] ^ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba6124fb1e6f1989accc58fa8f8fdefeb8f767bf)
который действителен для любых комплексных чисел А и B пока 0 не содержится в отрезке линии, соединяющей А и Б. Формула помогает вычислять такие интегралы, как:
![int { frac {dp} {A (p) B (p)}} = int dp int _ {0} ^ {1} { frac {du} { left [uA (p) + (1 -u) B (p) right] ^ {2}}} = int _ {0} ^ {1} du int { frac {dp} { left [uA (p) + (1-u) B (p) right] ^ {2}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd7ec9daf0ae058280778e79ab74831a23848444)
Если А (п) и B (p) являются линейными функциями п, то последний интеграл можно вычислить с помощью подстановки.
В более общем смысле, используя Дельта-функция Дирака
:[1]
![{ displaystyle { begin {align} { frac {1} {A_ {1} cdots A_ {n}}} & = (n-1)! int _ {0} ^ {1} du_ {1} cdots int _ {0} ^ {1} du_ {n} { frac { delta (1- sum _ {k = 1} ^ {n} u_ {k}) ;} { left ( sum _ {k = 1} ^ {n} u_ {k} A_ {k} right) ^ {n}}} & = (n-1)! int _ {0} ^ {1} du_ { 1} int _ {0} ^ {u_ {1}} du_ {2} cdots int _ {0} ^ {u_ {n-2}} du_ {n-1} { frac {1} { left [A_ {1} + u_ {1} (A_ {2} -A_ {1}) + dots + u_ {n-1} (A_ {n} -A_ {n-1}) right] ^ { n}}}. end {выравнивается}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a049f04b1de5dae0e89f3be60db0369592b58769)
Эта формула действительна для любых комплексных чисел А1,...,Ап до тех пор, пока 0 не содержится в их выпуклый корпус.
Даже в более общем плане при условии, что
для всех
:
![{ displaystyle { frac {1} {A_ {1} ^ { alpha _ {1}} cdots A_ {n} ^ { alpha _ {n}}}} = { frac { Gamma ( alpha _ {1} + dots + alpha _ {n})} { Gamma ( alpha _ {1}) cdots Gamma ( alpha _ {n})}} int _ {0} ^ {1 } du_ {1} cdots int _ {0} ^ {1} du_ {n} { frac { delta (1- sum _ {k = 1} ^ {n} u_ {k}) ; u_ {1} ^ { alpha _ {1} -1} cdots u_ {n} ^ { alpha _ {n} -1}} { left ( sum _ {k = 1} ^ {n} u_ { k} A_ {k} right) ^ { sum _ {k = 1} ^ {n} alpha _ {k}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f73bbf734bd1234c270cf0e5486f568e8543c1e)
где Гамма-функция
использовался.[2]
Вывод
![{ frac {1} {AB}} = { frac {1} {AB}} left ({ frac {1} {B}} - { frac {1} {A}} right) = { frac {1} {AB}} int _ {B} ^ {A} { frac {dz} {z ^ {2}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4743252ca77e44d06fc812c80cf26fd6af6d357e)
Теперь просто преобразуйте интеграл линейно, используя замену
что приводит к
так ![z = uA + (1-u) B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceb2c60830cf00b2de1f286b5086889325081c73)
и получаем желаемый результат:
![{ frac {1} {AB}} = int _ {0} ^ {1} { frac {du} { left [uA + (1-u) B right] ^ {2}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c889abc83102e38acad92e417ca8271f2b7dbf2)
В более общих случаях вывод можно очень эффективно выполнять с помощью Параметризация Швингера. Например, чтобы вывести параметризованную форму Фейнмана
, мы сначала повторно выражаем все множители в знаменателе в их параметризованной форме Швингера:
![{ displaystyle { frac {1} {A_ {i}}} = int _ {0} ^ { infty} ds_ {i} , e ^ {- s_ {i} A_ {i}} { text {for}} i = 1, ldots, n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1edfa49cc66e4dffd2239ac37e2e0146637a723)
и переписать,
![{ displaystyle { frac {1} {A_ {1} cdots A_ {n}}} = int _ {0} ^ { infty} ds_ {1} cdots int _ {0} ^ { infty } ds_ {n} exp left (- left (s_ {1} A_ {1} + cdots + s_ {n} A_ {n} right) right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/783107414dd7997127c95d749be0d782b7d13155)
Затем производим следующую замену переменных интегрирования:
![альфа = s_1 + ... + s_n,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/524d8dd63ee1f9d69791e56ebdfabc757ef4e9a6)
![{ displaystyle alpha _ {i} = { frac {s_ {i}} {s_ {1} + cdots + s_ {n}}}; i = 1, ldots, n-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77d09b4a08126830ea3dbae7566882c316227a3)
чтобы получить,
![{ displaystyle { frac {1} {A_ {1} cdots A_ {n}}} = int _ {0} ^ {1} d alpha _ {1} cdots d alpha _ {n-1 } int _ {0} ^ { infty} d alpha alpha ^ {n-1} exp left (- alpha left { alpha _ {1} A_ {1} + cdots + alpha _ {n-1} A_ {n-1} + left (1- alpha _ {1} - cdots - alpha _ {n-1} right) A_ {n} right } верно).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a4e468d97de7bcb2cb2b10e1d286b4085761cf8)
куда
обозначает интеграцию по области
с
.
Следующим шагом является выполнение
интеграция.
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} d alpha alpha ^ {n-1} exp (- alpha x) = { frac { partial ^ {n-1}} { partial (-x) ^ {n-1}}} left ( int _ {0} ^ { infty} d alpha exp (- alpha x) right) = { frac { left (n -1 right)!} {X ^ {n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/415c7c775445e9e28dd6949f4dac1a83caa307a2)
где мы определили ![{ displaystyle x = alpha _ {1} A_ {1} + cdots + alpha _ {n-1} A_ {n-1} + left (1- alpha _ {1} - cdots - альфа _ {n-1} right) A_ {n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21c7cf5c04a1fd6fe7721c48d604e1d6effd3610)
Подставляя этот результат, мы получаем предпоследнюю форму,
![{ displaystyle { frac {1} {A_ {1} cdots A_ {n}}} = left (n-1 right)! int _ {0} ^ {1} d alpha _ {1} cdots d alpha _ {n-1} { frac {1} {[ alpha _ {1} A_ {1} + cdots + alpha _ {n-1} A_ {n-1} + left (1- alpha _ {1} - cdots - alpha _ {n-1} right) A_ {n}] ^ {n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f292fd8ef3883120a5bf7f93df4cabf998a83cc)
и, введя дополнительный интеграл, мы приходим к окончательной форме параметризации Фейнмана, а именно,
![{ displaystyle { frac {1} {A_ {1} cdots A_ {n}}} = left (n-1 right)! int _ {0} ^ {1} d alpha _ {1} cdots int _ {0} ^ {1} d alpha _ {n} { frac { delta left (1- alpha _ {1} - cdots - alpha _ {n} right)} {[ alpha _ {1} A_ {1} + cdots + alpha _ {n} A_ {n}] ^ {n}}}.}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11d20312b5ef0eb58f51c9cb4b61c2cc8b95f71)
Аналогичным образом, чтобы вывести форму параметризации Фейнмана для наиболее общего случая:
можно было бы начать с подходящей другой формы параметризации факторов Швингера в знаменателе, а именно,
![frac {1} {A_1 ^ { alpha_1}} = frac {1} { left ( alpha_1-1 right)!} int ^ infty_0 ds_1 , s_1 ^ { alpha_1-1} e ^ {-s_1 A_1} = frac {1} { Gamma ( alpha_1)} frac { partial ^ { alpha_1-1}} { partial (-A_1) ^ { alpha_1-1}} left ( int_ {0} ^ { infty} ds_1 e ^ {- s_1 A_1} right)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa325ae2b9d6f17b2c7a24fde357527e32d480bc)
а затем действуйте точно так же, как в предыдущем случае.
Альтернативная форма
Альтернативная форма параметризации, которая иногда бывает полезной, - это
![frac {1} {AB} = int_ {0} ^ { infty} frac {d lambda} { left [ lambda A + B right] ^ 2}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96b103991b478aa4c7f21ffc0d51b9c8e7711846)
Эта форма может быть получена с помощью замены переменных
.Мы можем использовать правило продукта показать это
, тогда
![begin {align}
frac {1} {AB} & = int ^ 1_0 frac {du} { left [uA + (1-u) B right] ^ 2}
& = int ^ 1_0 frac {du} {(1-u) ^ {2}} frac {1} { left [ frac {u} {1-u} A + B right] ^ 2}
& = int_ {0} ^ { infty} frac {d lambda} { left [ lambda A + B right] ^ 2}
end {align}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d4182ef7a1d46a52f9f40f0c9cea3988f7c028)
В более общем плане у нас есть
![frac {1} {A ^ {m} B ^ {n}} = frac { Gamma (m + n)} { Gamma (m) Gamma (n)} int_ {0} ^ { infty } frac { lambda ^ {m-1} d lambda} { left [ lambda A + B right] ^ {n + m}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b986497e8262710b61788c4b56e6b6753d55a3e)
куда
это гамма-функция.
Эта форма может быть полезна при объединении линейного знаменателя
с квадратичным знаменателем
, например, в эффективная теория тяжелых кварков (HQET).
Симметричная форма
Иногда используется симметричная форма параметризации, когда интеграл вместо этого выполняется на интервале
, ведущие к:
![{ frac {1} {AB}} = 2 int _ {{- 1}} ^ {1} { frac {du} { left [(1 + u) A + (1-u) B right] ^ {2}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/869668a62d68d9029027a8be5272a4ec432944ef)
Рекомендации
|
---|
Карьера | |
---|
Работает | |
---|
Семья | |
---|
Связанный | |
---|