Чистая математика - Pure mathematics

Чистая математика изучает свойства и структуру абстрактных объектов, таких как Группа Е8, в теория групп. Это можно сделать, не сосредотачиваясь на конкретных приложениях концепций в физическом мире.

Чистая математика это изучение математических понятий независимо от приложения вне математика. Эти концепции могут возникать из реальных проблем, и полученные результаты могут позже оказаться полезными для практических приложений, но чистые математики в первую очередь не мотивированы такими приложениями. Напротив, привлекательность объясняется интеллектуальным трудом и эстетической красотой разработки логических следствий основных принципов.

Хотя чистая математика существует как вид деятельности по крайней мере с Древняя Греция, концепция была разработана примерно в 1900 году,[1] после введения теорий с противоречащими интуиции свойствами (например, неевклидовы геометрии и Кантора теория бесконечных множеств), и открытие очевидных парадоксов (таких как непрерывные функции это нигде дифференцируемый, и Парадокс Рассела ). Это привело к необходимости обновления концепции математическая строгость и соответственно переписать всю математику, систематически используя аксиоматические методы. Это побудило многих математиков сосредоточиться на математике как таковой, то есть чистой математике.

Тем не менее, почти все математические теории оставались мотивированными проблемами, исходящими из реального мира или из менее абстрактных математических теорий. Кроме того, многие математические теории, которые казались полностью чистой математикой, в конечном итоге стали использоваться в прикладных областях, в основном физика и Информатика. Известный ранний пример: Исаак Ньютон демонстрация того, что его закон всемирного тяготения подразумевается, что планеты двигаться по орбитам, которые конические секции, геометрические кривые, которые в древности изучали Аполлоний. Другой пример - проблема факторинг большой целые числа, что лежит в основе Криптосистема RSA, широко используется для защиты Интернет коммуникации.[2]

Отсюда следует, что в настоящее время различие между чистым и Прикладная математика это скорее философская точка зрения или предпочтение математика, чем жесткое разделение математики. В частности, нередко некоторые сотрудники отдела прикладной математики называют себя чистыми математиками.

История

Древняя Греция

Древнегреческие математики были одними из первых, кто различал чистую и прикладную математику. Платон помогли создать разрыв между "арифметикой", которая теперь называется теория чисел, и "логистический", теперь называемый арифметика. Платон считал логистику (арифметику) подходящей для бизнесменов и военнослужащих, которые «должны изучить искусство чисел, иначе [они] не будут знать, как выстраивать [свои] войска», а арифметику (теория чисел) - подходящей для философов », потому что они должны] подняться из моря перемен и овладеть истинным существом ».[3] Евклид Александрийский Когда один из его учеников спросил, какая польза от изучения геометрии, он попросил своего раба дать студенту три пенса, «поскольку он должен извлечь выгоду из того, что он узнает».[4] Греческий математик Аполлоний Пергский спросили о полезности некоторых из его теорем в Книге IV Коники на что он гордо утверждал,[5]

Они достойны принятия ради самих демонстраций, точно так же, как мы принимаем многие другие вещи в математике по этой, а не по какой-либо другой причине.

А поскольку многие из его результатов не были применимы к науке или технике его времени, Аполлоний далее утверждал в предисловии к пятой книге Коники что этот предмет является одним из тех, которые «... кажутся достойными изучения ради самих себя».[5]

19 век

Сам термин закреплен в полном названии Садлерианский стул, Садлейрианский профессор чистой математики, основанная (как профессура) в середине XIX века. Идея отдельной дисциплины чистый математика, возможно, появилась в то время. Поколение Гаусс не проводил такого разительного различия между чистый и применяемый. В последующие годы специализация и профессионализация (особенно в Weierstrass подход к математический анализ ) начал делать раскол более очевидным.

20 век

В начале двадцатого века математики занялись аксиоматический метод, под сильным влиянием Дэвид Гильберт вот пример. Логическая формулировка чистая математика предложено Бертран Рассел с точки зрения квантификатор структура предложения казались все более и более правдоподобными, поскольку большая часть математики становилась аксиоматизированной и, таким образом, подчинялась простым критериям строгое доказательство.

Чистая математика, согласно точке зрения, которую можно приписать Группа Бурбаки, это то, что доказано. Чистый математик стало признанным призванием, достижимым через обучение.

Было доказано, что чистая математика полезна в инженерное образование:[6]

Существует тренировка мышления, точек зрения и интеллектуального понимания обычных инженерных задач, которые может дать только изучение высшей математики.

Общность и абстракция

Иллюстрация Парадокс Банаха – Тарского, знаменитый результат чистой математики. Хотя доказано, что можно преобразовать одну сферу в две, не используя ничего, кроме разрезов и вращений, преобразование включает объекты, которые не могут существовать в физическом мире.

Одно из центральных понятий чистой математики - это идея всеобщности; чистая математика часто демонстрирует тенденцию к большей универсальности. Использование и преимущества универсальности включают следующее:

  • Обобщение теорем или математических структур может привести к более глубокому пониманию исходных теорем или структур.
  • Общность может упростить изложение материала, что приведет к более коротким доказательствам или аргументам, которым будет легче следовать.
  • Можно использовать общность, чтобы избежать дублирования усилий, доказать общий результат вместо необходимости доказывать отдельные случаи независимо или использовать результаты из других областей математики.
  • Общность может облегчить связи между различными разделами математики. Теория категорий - это одна из областей математики, посвященная изучению этой общности структуры, которая проявляется в некоторых областях математики.

Влияние общности на интуиция зависит как от предмета, так и от личных предпочтений или стиля обучения. Часто общность рассматривается как препятствие для интуиции, хотя она, безусловно, может служить ей помощником, особенно когда дает аналогии с материалом, к которому у человека уже есть хорошая интуиция.

В качестве яркого примера общности Программа Эрланген включал расширение геометрия разместить неевклидовы геометрии а также в области топология, и другие формы геометрии, рассматривая геометрию как исследование пространства вместе с группа преобразований. Изучение числа, называется алгебра на начальном уровне бакалавриата, распространяется на абстрактная алгебра на более продвинутом уровне; и изучение функции, называется исчисление на уровне первокурсника становится математический анализ и функциональный анализ на более продвинутом уровне. Каждая из этих веток более Абстрактные Математика имеет множество под-специальностей, и на самом деле существует множество связей между чистой математикой и дисциплинами прикладной математики. Крутой подъем абстракция был замечен в середине 20 века.

Однако на практике эти разработки привели к резкому отклонению от физика, особенно с 1950 по 1983 год. Позже это подверглось критике, например, со стороны Владимир Арнольд, как слишком много Гильберта, недостаточно Пуанкаре. Вопрос, похоже, еще не решен, поскольку теория струн тянет в одну сторону, а дискретная математика отступает к доказательству как центральному.

Чистая и прикладная математика

Математики всегда расходились во мнениях относительно различия между чистой и прикладной математикой. Один из самых известных (но, возможно, неправильно понятых) современных примеров этой дискуссии можно найти в G.H. Харди с Извинения математика.

Принято считать, что Харди считал прикладную математику уродливой и скучной. Хотя верно, что Харди предпочитал чистую математику, которую он часто сравнивал с картина и поэзия Харди видел различие между чистой и прикладной математикой просто в том, что прикладная математика пытается выразить физический истина в математических рамках, тогда как чистая математика выражает истины, независимые от физического мира. Харди провел отдельное различие в математике между тем, что он называл «настоящей» математикой, «имеющей неизменную эстетическую ценность», и «скучными и элементарными частями математики», имеющими практическое применение.

Харди считал некоторых физиков, таких как Эйнштейн и Дирак, чтобы быть среди «настоящих» математиков, но в то время, когда он писал Извинения он считал общая теория относительности и квантовая механика быть «бесполезным», что позволило ему придерживаться мнения, что полезна только «тупая» математика. Более того, Харди вкратце признал, что - точно так же, как применение матричная теория и теория групп к физике пришла неожиданно - может наступить время, когда некоторые виды красивой, «настоящей» математики также могут оказаться полезными.

Еще один проницательный взгляд предлагает Магид:

Я всегда думал, что хорошую модель здесь можно почерпнуть из теории колец. В этом предмете есть подобласти коммутативная теория колец и некоммутативная теория колец. Несведущий наблюдатель может подумать, что они представляют собой дихотомию, но на самом деле последнее включает первое: некоммутативное кольцо не обязательно является коммутативным кольцом. Если мы используем аналогичные соглашения, то мы могли бы относиться к прикладной математике и неприкладной математике, где под последней мы иметь в виду не обязательно прикладную математику... [курсив мой][7]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Пьяджо, Х. Т. Х., "Садлейрианские профессора", в О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (ред.), Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
  2. ^ Робинсон, Сара (июнь 2003 г.). «Все еще храня секреты после многих лет атак, RSA заслуживает похвалы для своих основателей» (PDF). Новости SIAM. 36 (5).
  3. ^ Бойер, Карл Б. (1991). «Эпоха Платона и Аристотеля». История математики (Второе изд.). John Wiley & Sons, Inc., стр.86. ISBN  0-471-54397-7. Платон важен в истории математики в основном из-за его роли вдохновителя и руководителя других, и, возможно, благодаря ему в Древней Греции проводилось резкое различие между арифметикой (в смысле теории чисел) и логистикой (техника вычислений). ). Платон считал логистику подходящей для бизнесмена и для военного человека, который «должен научиться искусству чисел, иначе он не будет знать, как выстроить свои войска». Философ, с другой стороны, должен быть арифметиком, «потому что он должен выйти из моря перемен и ухватиться за истинное бытие».
  4. ^ Бойер, Карл Б. (1991). «Евклид Александрийский». История математики (Второе изд.). John Wiley & Sons, Inc., стр.101. ISBN  0-471-54397-7. Очевидно, Евклид не акцентировал внимание на практических аспектах своего предмета, поскольку о нем рассказывают легенду, что, когда один из его учеников спросил, какая польза от изучения геометрии, Евклид попросил своего раба дать студенту три пенса, «поскольку он должен извлекать выгоду из того, что он узнает ".
  5. ^ а б Бойер, Карл Б. (1991). «Аполлоний Пергский». История математики (Второе изд.). John Wiley & Sons, Inc., стр.152. ISBN  0-471-54397-7. Именно в связи с теоремами в этой книге Аполлоний делает заявление, подразумевающее, что в его время, как и в наши, были недалекие противники чистой математики, уничижительно спрашивавшие о полезности таких результатов. Автор с гордостью заявил: «Они достойны принятия ради самих демонстраций, точно так же, как мы принимаем многие другие вещи в математике по этой, а не по какой-либо другой причине». (Heath 1961, стр. Lxxiv).
    В предисловии к Книге V, касающемся максимума и минимума прямых линий, проведенных к конусу, снова утверждается, что этот предмет является одним из тех, которые кажутся «достойными изучения ради самих себя». Хотя следует восхищаться автором за его возвышенное интеллектуальное отношение, можно уместно отметить, что в те дни прекрасная теория, не имеющая перспектив применимости к науке или технике его времени, с тех пор стала фундаментальной в таких областях, как динамика Земли и небесная механика.
  6. ^ А. С. Хэтэуэй (1901) «Чистая математика для студентов инженерных специальностей», Бюллетень Американского математического общества 7(6):266–71.
  7. ^ Энди Мэджид (Ноябрь 2005 г.) Письмо редактора, Уведомления Американского математического общества, стр. 1173

внешняя ссылка