Связка Клиффорда - Clifford bundle

В математика, а Связка Клиффорда является расслоение алгебры волокна которого имеют структуру Алгебра Клиффорда и чей локальные тривиализации уважать структуру алгебры. Существует естественное расслоение Клиффорда, связанное с любым (псевдо ) Риманово многообразие M которое называется расслоением Клиффорда M.

Общая конструкция

Позволять V быть (настоящий или же сложный ) векторное пространство вместе с симметричная билинейная форма <·, ·>. В Алгебра Клиффорда Cℓ(V) является естественным (единый ассоциативный ) алгебра создано V при условии только отношения

${ Displaystyle v ^ {2} = - langle v, v rangle}$

для всех v в V.^[1] Можно построить Cℓ(V) как частное от тензорная алгебра из V посредством идеальный порожденный указанным выше соотношением.

Как и другие тензорные операции, это построение может быть выполнено послойно на гладком векторный набор. Позволять E - гладкое векторное расслоение над гладкое многообразие M, и разреши грамм - гладкая симметричная билинейная форма на E. В Связка Клиффорда из E это пучок волокон чьи слои являются алгебрами Клиффорда, порожденными слоями E:

${ Displaystyle C ell (E) = coprod _ {x in M} C ell (E_ {x}, g_ {x})}$

В топология из Cℓ(E) определяется E через связанный пакет строительство.

Чаще всего интересует случай, когда грамм является положительно определенный или по крайней мере невырожденный; то есть когда (E, грамм) - риманово или псевдориманово векторное расслоение. Для конкретности предположим, что (E, грамм) является римановым векторным расслоением. Связка Клиффорда E можно построить следующим образом. Позволять Cℓ_пр - алгебра Клиффорда, порожденная р^п с Евклидова метрика. Стандартное действие ортогональная группа O (п) на р^п вызывает дифференцированный автоморфизм из Cℓ_пр. Гомоморфизм

${ displaystyle rho: mathrm {O} (n) to mathrm {Aut} (C ell _ {n} mathbb {R})}$

определяется

${ Displaystyle rho (A) (v_ {1} v_ {2} cdots v_ {k}) = (Av_ {1}) (Av_ {2}) cdots (Av_ {k})}$

куда v_я все векторы в р^п. Связка Клиффорда E тогда дается

${ Displaystyle C ell (E) = F (E) times _ { rho} C ell _ {n} mathbb {R}}$

куда F(E) это пучок ортонормированных кадров из E. Из этой конструкции видно, что структурная группа из Cℓ(E) равно O (п). Поскольку O (п) действует градуированными автоморфизмами на Cℓ_пр следует, что Cℓ(E) представляет собой пучок Z₂-градуированные алгебры над M. Связка Клиффорда Cℓ(E) затем можно разложить на четные и нечетные подгруппы:

${ Displaystyle C ell (E) = C ell ^ {0} (E) oplus C ell ^ {1} (E).}$

Если векторное расслоение E является ориентируемый то можно сократить структурную группу Cℓ(E) из O (п) в SO (п) естественным образом.

Расслоение Клиффорда риманова многообразия

Если M это Риманово многообразие с метрика грамм, то расслоение Клиффорда M расслоение Клиффорда, порожденное касательный пучок TM. Можно также собрать связку Клиффорда из котангенсный пучок Т*M. Метрика индуцирует естественный изоморфизм TM = Т*M и, следовательно, изоморфизм Cℓ(TM) = Cℓ(Т*M).

Есть естественный изоморфизм векторных расслоений между связкой Клиффорда M и внешний комплект из M:

${ Displaystyle C ell (T ^ {*} M) cong Lambda (T ^ {*} M).}$

Это изоморфизм векторных расслоений нет связки алгебры. Изоморфизм индуцируется соответствующим изоморфизмом на каждом слое. Таким образом, можно думать о секциях связки Клиффорда как дифференциальные формы на M оснащен умножением Клиффорда, а не клин (который не зависит от метрики).

Приведенный выше изоморфизм учитывает градуировку в том смысле, что

${ displaystyle { begin {align} C ell ^ {0} (T ^ {*} M) & = Lambda ^ { mathrm {even}} (T ^ {*} M) C ell ^ {1} (T ^ {*} M) & = Lambda ^ { mathrm {odd}} (T ^ {*} M). End {выравнивается}}}$

Смотрите также

• Пакет ортонормированных кадров
• Спинор
• Спиновый коллектор
• Спинорное представление
• Геометрия вращения
• Структура спина
• Комплект модуля Clifford

Примечания

Рекомендации

• Берлин, Николь; Гетцлер, Эзра; Вернь, Мишель (2004). Ядра нагрева и операторы Дирака. Grundlehren Text Editions (издание в мягкой обложке). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-20062-2. Zbl  1037.58015.
• Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия. Принстонский математический ряд. 38. Princeton University Press. ISBN  978-0-691-08542-5. Zbl  0688.57001.