Регуляризация (физика) - Regularization (physics)

В физика, особенно квантовая теория поля, регуляризация это метод модификации наблюдаемые который имеет особенности чтобы сделать их конечными путем введения подходящего параметра, называемого регулятор. Регулятор, также известный как «отсечка», моделирует отсутствие у нас знаний о физике в ненаблюдаемых масштабах (например, в масштабах небольшого размера или больших уровней энергии). Это компенсирует (и требует) возможность того, что «новая физика» может быть открыта в тех масштабах, которые настоящая теория не может смоделировать, в то же время позволяя текущей теории давать точные предсказания в качестве «эффективной теории» в рамках предполагаемого масштаба использования. .

Он отличается от перенормировка, еще один метод управления бесконечностями, не предполагая новой физики, путем настройки обратной связи самодействия.

Регуляризация на протяжении многих десятилетий вызывала споры даже среди ее изобретателей, поскольку она объединяет физический и эпистемологический претензий в те же уравнения. Тем не менее, теперь это хорошо изучено и доказало, что дает полезные и точные прогнозы.

Обзор

Процедуры регуляризации имеют дело с бесконечными, расходящимися и бессмысленными выражениями, вводя вспомогательное понятие регулятора (например, минимальное расстояние ${ displaystyle epsilon}$ в космосе, что полезно, если расхождения возникают из-за физических эффектов на малых расстояниях). Правильный физический результат получается в том пределе, в котором регулятор уходит (в нашем примере ${ displaystyle epsilon to 0}$ ), но достоинство регулятора в том, что при его конечном значении результат конечен.

Однако результат обычно включает термины, пропорциональные выражениям вроде ${ displaystyle 1 / epsilon}$ которые не вполне определены в пределе ${ displaystyle epsilon to 0}$ . Регуляризация - это первый шаг к получению окончательного и значимого результата; в квантовая теория поля за ним обычно должен следовать связанный, но независимый метод, называемый перенормировка. Перенормировка основана на требовании, чтобы некоторые физические величины выражались внешне расходящимися выражениями, такими как ${ displaystyle 1 / epsilon}$ - равны наблюдаемым значениям. Такое ограничение позволяет вычислить конечное значение для многих других величин, которые выглядели расходящимися.

Существование предела при стремлении ε к нулю и независимость конечного результата от регулятора - нетривиальные факты. Основная причина их заключается в универсальность как показано Кеннет Уилсон и Лев Каданов и наличие фазовый переход второго рода. Иногда перейти к пределу при стремлении ε к нулю невозможно. Это тот случай, когда у нас есть Полюс Ландау и для неперенормируемых связей типа Ферми взаимодействие. Однако даже для этих двух примеров, если регулятор дает разумные результаты только для ${ displaystyle epsilon gg 1 / Lambda}$ ^{[необходимо определение ]} и работаем с весами порядка ${ Displaystyle 1 / Lambda '}$ , регуляторы с ${ Displaystyle 1 / Lambda ll epsilon ll 1 / Lambda '}$ все еще дают довольно точные приближения. Физическая причина, по которой мы не можем считать предел ε равным нулю, заключается в существовании новой физики ниже Λ.

Не всегда можно определить регуляризацию так, чтобы предел ε, стремящийся к нулю, не зависел от регуляризации. В этом случае говорят, что теория содержит аномалия. Аномальные теории изучены очень подробно и часто основываются на знаменитых Теорема Атьи – Зингера об индексе или их варианты (см., например, хиральная аномалия ).

Пример классической физики

Проблема бесконечностей впервые возникла в классическая электродинамика из точечные частицы в 19 и начале 20 века.

Масса заряженной частицы должна включать массу-энергию в ее электростатическом поле (электромагнитная масса ). Предположим, что частица представляет собой заряженную сферическую оболочку радиуса $р е$ . Масса – энергия в поле равна

{ displaystyle m _ { mathrm {em}} = int {1 over 2} E ^ {2} , dV = int _ {r_ {e}} ^ { infty} { frac {1} { 2}} left ({q over 4 pi r ^ {2}} right) ^ {2} 4 pi r ^ {2} , dr = {q ^ {2} over 8 pi r_ {e}},}

который становится бесконечным, когда $р е \to 0$ . Это означает, что точечная частица будет иметь бесконечное инерция, что делает невозможным его ускорение. Между прочим, ценность $р е$ что делает ${ displaystyle m _ { mathrm {em}}}$ равной массе электрона, называется классический радиус электрона, который (установка ${ displaystyle q = e}$ и восстанавливающие факторы $c$ и ${ displaystyle varepsilon _ {0}}$ ) оказывается

{ displaystyle r_ {e} = {e ^ {2} over 4 pi varepsilon _ {0} m _ { mathrm {e}} c ^ {2}} = alpha { hbar over m _ { mathrm {e}} c} приблизительно 2,8 times 10 ^ {- 15} mathrm {m}.}

куда ${ displaystyle alpha приблизительно 1/137}$ это постоянная тонкой структуры, и ${ displaystyle hbar / m _ { mathrm {e}} c}$ это Комптоновская длина волны электрона.

Регуляризация: этот процесс показывает, что первоначально используемая физическая теория не работает на малых масштабах. Это показывает, что электрон на самом деле не может быть точечной частицей, и что необходима какая-то дополнительная новая физика (в данном случае конечный радиус) для объяснения систем ниже определенного масштаба. Этот же аргумент появится в других задачах перенормировки: теория верна в какой-то области, но, как можно видеть, рушится и требует новой физики в других масштабах, чтобы избежать бесконечностей. (Другой способ избежать бесконечности, но при сохранении точечной природы частицы - это постулировать небольшое дополнительное измерение, по которому частица могла бы `` распространяться '', а не в трехмерном пространстве; это мотивация для теория струн.)

(Смотрите также перенормировка для альтернативного способа удалить бесконечности из этой классической проблемы, предполагая самовзаимодействие, а не существование неизвестной новой физики.)

Конкретные типы

Конкретные типы процедур регуляризации включают:

Реалистичная регуляризация

Концептуальная проблема

Пертурбативный предсказания квантовая теория поля о квантовом рассеянии элементарные частицы, подразумеваемый соответствующим Лагранжиан плотности, вычисляются с использованием Правила Фейнмана, метод регуляризации, чтобы обойти ультрафиолетовые расхождения чтобы получить конечные результаты для Диаграммы Фейнмана содержащие петли, а перенормировка схема. Метод регуляризации приводит к регуляризованной n-точке Функции Грина (пропагаторы ), и подходящая предельная процедура (схема перенормировки) приводит к пертурбативному S-матрица элементы. Они не зависят от конкретного используемого метода регуляризации и позволяют пертурбативно моделировать измеримые физические процессы (сечения, амплитуды вероятностей, ширину распада и время жизни возбужденных состояний). Однако до сих пор ни одна из известных регуляризованных n-точечных функций Грина не может рассматриваться как основанная на физически реалистичной теории квантового рассеяния, поскольку при выводе каждой из них игнорируются некоторые из основных принципов традиционной физики (например, не Лоренц-инвариантный, вводя либо нефизические частицы с отрицательной метрикой или неправильной статистикой, либо дискретное пространство-время, либо понижая размерность пространства-времени, либо некоторую их комбинацию). Итак, доступные методы регуляризации понимаются как формалистические технические приемы, лишенные какого-либо прямого физического смысла. Кроме того, есть сомнения по поводу перенормировка. Историю и комментарии к этой открытой концептуальной проблеме, возникшей более полувека назад, см., Например, в^[3]^[4]^[5]

Гипотеза Паули

Поскольку кажется, что вершины нерегуляризованных рядов Фейнмана адекватно описывают взаимодействия в квантовом рассеянии, считается, что их ультрафиолетовые расходимости обусловлены асимптотическим поведением пропагаторов Фейнмана при высоких энергиях. Таким образом, это разумный, консервативный подход - сохранить вершины ряда Фейнмана и изменить только пропагаторы Фейнмана для создания регуляризованного ряда Фейнмана. Это аргумент в пользу формальной ковариантной регуляризации Паули – Вилларса путем модификации пропагаторов Фейнмана с помощью вспомогательных нефизических частиц, ср.^[6] и представление физической реальности Диаграммы Фейнмана.

В 1949 г. Паули предположили, что существует реалистичная регуляризация, которая подразумевается теорией, которая уважает все установленные принципы современной физики.^[6]^[7] Таким образом, его пропагаторы (i) не нуждаются в регуляризации, и (ii) можно рассматривать как такую регуляризацию пропагаторов, используемых в квантовых теориях поля, которые могут отражать основную физику. Дополнительные параметры такой теории не нужно удалять (т.е. теория не нуждается в перенормировке) и могут предоставить некоторую новую информацию о физике квантового рассеяния, хотя экспериментально может оказаться незначительным. Напротив, любой существующий метод регуляризации вводит формальные коэффициенты, от которых в конечном итоге нужно избавиться путем перенормировки.

Мнения

Поль Дирак настойчиво, крайне критически относился к процедурам перенормировки. В 1963 году он писал: «… в теории перенормировки у нас есть теория, которая бросила вызов всем попыткам математиков сделать ее звуковой. Я склонен подозревать, что теория перенормировки - это то, что не выживет в будущем… "^[8] Далее он заметил, что «для физика-теоретика можно различить две основные процедуры. Одна из них - это работа на экспериментальной основе ... Другая процедура - работа на математической основе. Одна исследует и критикует существующую теорию. пытается точно указать в нем недостатки, а затем пытается их устранить. Сложность состоит в том, чтобы устранить недостатки, не разрушая очень великих успехов существующей теории ».^[9]

Абдус Салам отметил в 1972 году: «Теоретико-полевые бесконечности, впервые обнаруженные в вычислении электрона Лоренцем, сохраняются в классической электродинамике семьдесят лет, а в квантовой электродинамике - примерно тридцать пять лет. Эти долгие годы разочарований оставили в этом предмете любопытную привязанность к бесконечностям. и страстная вера в то, что они являются неотъемлемой частью природы; настолько сильна, что даже предположение о надежде на то, что их все-таки можно обойти - и конечные значения вычисленных констант перенормировки - считается иррациональным ».^[10]^[11]

Однако в Жерар т Хофт по мнению "История говорит нам, что если мы натолкнемся на какое-то препятствие, даже если оно выглядит чистой формальностью или просто техническим усложнением, оно должно быть тщательно изучено. Природа может что-то нам сказать, и мы должны выяснить, что это является."^[12]

Трудность с реалистичной регуляризацией заключается в том, что пока ее нет, хотя ее подход снизу вверх ничто не может разрушить; и для этого нет экспериментальной базы.

Минимальная реалистичная регуляризация

Рассматривая различные теоретические проблемы, Дирак в 1963 году предположил: «Я считаю, что для решения этих отдельных проблем потребуются отдельные идеи, и что они будут решаться по очереди через последовательные этапы будущего развития физики. На этом этапе я нахожусь в разногласия с большинством физиков. Они склонны думать, что будет открыта одна основная идея, которая решит все эти проблемы вместе. Я думаю, что это слишком многого, чтобы надеяться, что кто-то сможет решить все эти проблемы вместе. от другого, насколько это возможно, и постарайтесь решать их по отдельности. И я верю, что будущее развитие физики будет заключаться в их решении по одному, и что после того, как любая из них будет решена, все еще останется большая загадка о том, как атаковать других ".^[8]

По словам Дирака, "Квантовая электродинамика это область физики, о которой мы знаем больше всего, и, по-видимому, ее нужно будет привести в порядок, прежде чем мы сможем надеяться на какой-либо фундаментальный прогресс с другими теориями поля, хотя они будут продолжать развиваться на экспериментальной основе ».^[9]

Два предыдущих замечания Дирака предполагают, что мы должны начать поиск реалистичной регуляризации в случае квантовой электродинамики (КЭД) в четырехмерном пространстве. Пространство-время Минковского, начиная с оригинального QED Лагранжиан плотность.^[8]^[9]

В формулировка интеграла по путям обеспечивает наиболее прямой путь от плотности лагранжиана к соответствующему ряду Фейнмана в его лоренц-инвариантной форме.^[5] Свободнополевая часть плотности лагранжиана определяет пропагаторы Фейнмана, тогда как остальная часть определяет вершины. Поскольку считается, что вершины КЭД адекватно описывают взаимодействия в КЭД-рассеянии, имеет смысл модифицировать только свободную часть плотности лагранжиана, чтобы получить такой регуляризованный ряд Фейнмана, что Леманн – Симанзик – Циммерманн Формула редукции дает пертурбативную S-матрицу, которая: (i) является лоренц-инвариантной и унитарной; (ii) включает только частицы QED; (iii) зависит исключительно от параметров КЭД и параметров, вводимых модификацией пропагаторов Фейнмана - для конкретных значений этих параметров он равен пертурбативной S-матрице КЭД; и (iv) обладает той же симметрией, что и пертурбативная S-матрица КЭД. Назовем такую регуляризацию минимальная реалистичная регуляризация, и начать поиск соответствующих модифицированных частей свободного поля плотности лагранжиана КЭД.

Теоретико-транспортный подход

По словам Бьоркена и Дрелла, было бы физически разумно обойти ультрафиолетовые расхождения с использованием более подробного описания, чем может быть предоставлено уравнениями дифференциального поля. И Фейнман отметил об использовании дифференциальных уравнений: «... для диффузии нейтронов это только приближение, которое хорошо, когда расстояние, на которое мы смотрим, велико по сравнению со средней длиной свободного пробега. Если мы присмотримся более внимательно, мы увидим отдельные бегают нейтроны ". А потом он подумал: «Может ли реальный мир состоит из маленьких крестиков, которые можно увидеть только на очень крошечных расстояниях? И что в наших измерениях мы всегда наблюдаем в таком большом масштабе, что мы не можем их увидеть. маленькие иксоны, и именно поэтому мы получаем дифференциальные уравнения? ... Правильны ли они [поэтому] только как сглаженная имитация действительно гораздо более сложного микроскопического мира? "^[13]

Уже в 1938 г. Гейзенберг^[14] предположил, что квантовая теория поля может обеспечить только идеализированное крупномасштабное описание квантовой динамики, справедливое для расстояний, превышающих некоторые основная длина, ожидается также Бьоркен и Дрелл в 1965 году. Предыдущее замечание Фейнмана дает возможную физическую причину его существования; либо это, либо это просто другой способ сказать то же самое (есть фундаментальная единица расстояния), но без новой информации.

Теория струн

Необходимость регуляризации сроков в любых квантовая теория поля из квантовая гравитация это основная мотивация для физика за пределами стандартной модели. Бесконечностью негравитационных сил в КТП можно управлять с помощью перенормировка только дополнительная регуляризация - а значит, и новая физика - требуется исключительно для гравитации. Регуляризаторы моделируют и работают вокруг разрушения QFT в малых масштабах и, таким образом, ясно показывают необходимость того, чтобы какая-то другая теория вступила в игру помимо QFT в этих масштабах. А. Зи (Quantum Field Theory in a Nutshell, 2003) считает это преимуществом структуры регуляризации - теории могут хорошо работать в предполагаемых областях, но также содержат информацию о собственных ограничениях и ясно указывают, где необходима новая физика.