Регуляризация Адамара - Hadamard regularization

В математике Регуляризация Адамара (также называемый Конечная часть Адамара или же Вечеринка Адамара) - метод регуляризации расходящихся интегралов путем отбрасывания расходящихся членов и сохранения конечной части, введенной Адамар (1923, книга III, глава I, 1932 ). Рис (1938, 1949 ) показал, что это можно интерпретировать как взятие мероморфное продолжение сходящегося интеграла.

Если Главное значение Коши интеграл

{ displaystyle { mathcal {C}} int _ {a} ^ {b} { frac {f (t)} {tx}} , dt quad ({ hbox {for}} a

существует, то его можно дифференцировать по $Икс$ для получения интеграла Адамара с конечной частью следующим образом:

{ displaystyle { frac {d} {dx}} left ({ mathcal {C}} int _ {a} ^ {b} { frac {f (t)} {tx}} , dt справа) = { mathcal {H}} int _ {a} ^ {b} { frac {f (t)} {(tx) ^ {2}}} , dt quad ({ hbox {для }} a

Обратите внимание, что символы ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ и ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ используются здесь для обозначения главного значения Коши и конечных интегралов Адамара соответственно.

Вышеупомянутый интеграл конечной части Адамара (для $а < Икс < б$ ) также могут быть даны следующими эквивалентными определениями:

{ Displaystyle { mathcal {H}} int _ {a} ^ {b} { frac {f (t)} {(tx) ^ {2}}} , dt = lim _ { varepsilon в 0 ^ {+}} left { int _ {a} ^ {x- varepsilon} { frac {f (t)} {(tx) ^ {2}}} , dt + int _ { x + varepsilon} ^ {b} { frac {f (t)} {(tx) ^ {2}}} , dt - { frac {f (x + varepsilon) + f (x- varepsilon)} { varepsilon}} right },}

{ displaystyle { mathcal {H}} int _ {a} ^ {b} { frac {f (t)} {(tx) ^ {2}}} , dt = lim _ { varepsilon на 0 ^ {+}} left { int _ {a} ^ {b} { frac {(tx) ^ {2} f (t)} {((tx) ^ {2} + varepsilon ^ {2}) ^ {2}}} , dt - { frac { pi f (x)} {2 varepsilon}} - { frac {f (x)} {2}} left ({ frac {1} {bx}} - { frac {1} {ax}} right) right }.}

Приведенные выше определения могут быть получены, если предположить, что функция $ж (т)$ дифференцируема бесконечно много раз в $т = Икс за а < Икс < б$ , т.е. предполагая, что $ж (т)$ может быть представлена его серией Тейлора о $т = Икс$ . Подробнее см. Ang (2013 ). (Обратите внимание, что термин $- ж (Икс) / 2 (1 / б - Икс - 1 / а - Икс)$ во втором эквивалентном определении выше отсутствует в Ang (2013 ), но это исправлено в списке исправлений в книге.)

Интегральные уравнения, содержащие конечные интегралы Адамара (с $ж (т)$ неизвестно) называются гиперсингулярными интегральными уравнениями. Гиперсингулярные интегральные уравнения возникают при постановке многих задач механики, например, при анализе разрушения.

Регуляризация Адамара - Hadamard regularization

Рекомендации