Перенормировка - Renormalization

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Фон Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Сильная сила Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия переноса пространства Симметрия перевода времени Симметрия вращения Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга – Миллса Нётер заряд Топологический заряд
Инструменты Аномалия Переход Эффективная теория поля Ценность ожидания Призрачные поля Призраки Фаддеева – Попова Диаграмма Фейнмана Решеточная калибровочная теория Формула восстановления LSZ Функция разделения Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Вайтмана Параметризация Фейнмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна – Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера – ДеВитта Уравнения Баргмана – Вигнера Уравнение Джооса – Вайнберга Уравнение Вейля
Стандартная модель Квантовое вакуумное состояние Квантовая динамика Квантовая термодинамика Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса Виртуальная частица
Неполные теории Причинная динамическая триангуляция Причинные фермионные системы Причинные множества Конформная теория поля Море Дирака Теория возмущений Двумерная конформная теория поля Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени Теория теплового квантового поля Топологическая квантовая теория поля Квантовая геометрия Полуклассическая гравитация Отжим пена Теория струн Теория суперструн М-Теория Суперсимметрия Супергравитация Разноцветный Теория всего Каноническая квантовая гравитация Квантовая гравитация Петлевая квантовая гравитация Петлевая квантовая космология Теория скрытых переменных Теория объективного коллапса
Ученые Адлер Андерсон Быть Боголюбов Коулман Каллан ДеВитт Дирак Дайсон Ферми Фейнман Фирц Фок Fröhlich Гелл-Манн Голдстоун Валовой Гейзенберг 'т Хофт Джеки Иордания Ландо Ли Lehmann Мандельштам Майорана Намбу Паризи Поляков Салам Швингер Skyrme Штюкельберг Симанзик Томонага Вельтман Вайнберг Weisskopf Weyl Вильчек Уилсон Виттен Ян Юкава Циммерманн Зинн-Джастин

Перенормировка это собрание техник в квантовая теория поля, то статистическая механика полей и теория самоподобный геометрические конструкции, которые используются для обработки бесконечности возникающие в расчетных величинах за счет изменения значений этих величин, чтобы компенсировать влияние их самовзаимодействие. Но даже если бы в контурные диаграммы в квантовой теории поля можно было бы показать, что необходимо перенормировать массу и поля, фигурирующие в исходном Лагранжиан.^[1]

Например, электрон теория может начаться с постулирования электрона с начальной массой и зарядом. В квантовая теория поля облако виртуальные частицы, Такие как фотоны, позитроны, а другие окружают и взаимодействуют с исходным электроном. Учет взаимодействий окружающих частиц (например, столкновений при разных энергиях) показывает, что электронная система ведет себя так, как если бы она имела массу и заряд, отличные от предполагаемых изначально. Перенормировка в этом примере математически заменяет первоначально постулируемые массу и заряд электрона экспериментально наблюдаемыми массой и зарядом. Математика и эксперименты доказывают, что позитроны и более массивные частицы, такие как протоны, обладают точно таким же наблюдаемым зарядом, что и электрон - даже в присутствии гораздо более сильных взаимодействий и более интенсивных облаков виртуальных частиц.

Ренормализация определяет отношения между параметрами в теории, когда параметры, описывающие большие масштабы расстояний, отличаются от параметров, описывающих небольшие масштабы расстояний. В ускорителях частиц высоких энергий, таких как Большой адронный коллайдер ЦЕРН концепция названа скопление происходит, когда нежелательные протон-протонные столкновения взаимодействуют со сбором данных для одновременных ближайших желаемых измерений. Физически скопление вкладов от бесконечности масштабов, вовлеченных в проблему, может затем привести к дальнейшим бесконечностям. При описании пространства-времени как континуум, некоторые статистические и квантово-механические конструкции не являются четко определенный. Чтобы определить их или сделать их однозначными, континуальный предел должен тщательно удалить «строительные леса» из решеток в различных масштабах. Процедуры перенормировки основаны на требовании, чтобы определенные физические величины (такие как масса и заряд электрона) равнялись наблюдаемым (экспериментальным) значениям. То есть экспериментальное значение физической величины дает практические применения, но из-за своей эмпирической природы наблюдаемые измерения представляют собой области квантовой теории поля, которые требуют более глубокого вывода из теоретических основ.

Ренормализация была впервые разработана в квантовая электродинамика (QED), чтобы понять бесконечный интегралы в теория возмущений. Первоначально рассматриваемая как подозрительная временная процедура даже некоторыми из ее создателей, перенормировка в конечном итоге была воспринята как важная и самосогласованный реальный механизм масштабной физики в нескольких областях физика и математика.

Сегодня точка зрения изменилась: на основе прорыва ренормгруппа понимание Николай Боголюбов и Кеннет Уилсон, основное внимание уделяется изменению физических величин в смежных шкалах, в то время как отдаленные шкалы связаны друг с другом посредством "эффективных" описаний. Все шкалы связаны в широком смысле систематическим образом, и фактическая физика, относящаяся к каждой, извлекается с помощью подходящих конкретных вычислительных методов, подходящих для каждой. Уилсон пояснил, какие переменные системы являются решающими, а какие избыточными.

Перенормировка отличается от регуляризация, еще один метод управления бесконечностями, предполагающий существование новой неизвестной физики в новых масштабах.

Самовзаимодействия в классической физике

Рис. 1. Перенормировка в квантовой электродинамике. Простое взаимодействие электрона с фотоном, определяющее заряд электрона в одной точке перенормировки, состоит из более сложных взаимодействий в другой.

Проблема бесконечностей впервые возникла в классическая электродинамика из точечные частицы в 19 ​​и начале 20 века.

Масса заряженной частицы должна включать массу-энергию в ее электростатическом поле (электромагнитная масса ). Предположим, что частица представляет собой заряженную сферическую оболочку радиуса р_е. Масса – энергия в поле равна

${ displaystyle m _ { text {em}} = int { frac {1} {2}} E ^ {2} , dV = int _ {r_ {e}} ^ { infty} { frac {1} {2}} left ({ frac {q} {4 pi r ^ {2}}} right) ^ {2} 4 pi r ^ {2} , dr = { frac { q ^ {2}} {8 pi r_ {e}}},}$

который становится бесконечным, когда р_е → 0. Это означает, что точечная частица будет иметь бесконечное инерция, что делает невозможным его ускорение. Между прочим, ценность р_е что делает ${ displaystyle m _ { text {em}}}$ равной массе электрона, называется классический радиус электрона, который (установка ${ displaystyle q = e}$ и восстанавливающие факторы c и ${ displaystyle varepsilon _ {0}}$) оказывается

${ displaystyle r_ {e} = { frac {e ^ {2}} {4 pi varepsilon _ {0} m_ {e} c ^ {2}}} = alpha { frac { hbar} { m_ {e} c}} примерно 2,8 times 10 ^ {- 15} ~ { text {m}},}$

куда ${ displaystyle alpha приблизительно 1/137}$ это постоянная тонкой структуры, и ${ displaystyle hbar / (m_ {e} c)}$ это Комптоновская длина волны электрона.

Перенормировка: полная эффективная масса сферической заряженной частицы включает фактическую голую массу сферической оболочки (в дополнение к упомянутой выше массе, связанной с ее электрическим полем). Если позволить голой массе оболочки быть отрицательной, можно было бы взять постоянный точечный предел.^{[нужна цитата ]} Это называлось перенормировка, и Лоренц и Авраам таким путем пытался развить классическую теорию электрона. Эта ранняя работа послужила вдохновением для последующих попыток регуляризация и перенормировка в квантовой теории поля.

(Смотрите также регуляризация (физика) для альтернативного способа удалить бесконечности из этой классической проблемы, предполагая, что новая физика существует в малых масштабах.)

При расчете электромагнитный взаимодействие заряжен частиц, соблазнительно игнорировать обратная реакция собственного поля частицы на себя. (Аналогично противо-ЭДС анализа схем.) Но эта обратная реакция необходима для объяснения трения заряженных частиц, когда они испускают излучение. Если предположить, что электрон является точкой, величина обратной реакции расходится по той же причине, по которой расходится масса, потому что поле обратный квадрат.

В Теория Абрахама – Лоренца имел беспричинный «предускорение». Иногда электрон начинал двигаться перед сила приложена. Это признак того, что ограничение по количеству очков несовместимо.

Проблема была хуже в классической теории поля, чем в квантовой теории поля, потому что в квантовой теории поля заряженная частица испытывает Zitterbewegung из-за интерференции с виртуальными парами частица-античастица, таким образом эффективно размазывая заряд в области, сравнимой с длиной волны Комптона. В квантовой электродинамике при малой связи электромагнитная масса расходится только как логарифм радиуса частицы.

Расхождения в квантовой электродинамике

(а) Поляризация вакуума, или экранирование заряда. Эта петля имеет логарифмическое ультрафиолетовое расхождение.

(б) Диаграмма собственной энергии в КЭД

(c) Пример диаграммы «пингвин».

При разработке квантовая электродинамика в 1930-е годы Макс Борн, Вернер Гейзенберг, Паскуаль Джордан, и Поль Дирак обнаружил, что в пертурбативных поправках многие интегралы расходятся (см. Проблема бесконечностей ).

Один из способов описания теория возмущений расхождения поправок были обнаружены в 1947–49 гг. Ганс Крамерс,^[2] Ганс Бете,^[3] Джулиан Швингер,^[4][5][6][7] Ричард Фейнман,^[8][9][10] и Синитиро Томонага,^{[11][12][13][14][15][16][17]} и систематизированы Фриман Дайсон в 1949 г.^[18] Расходимости проявляются в радиационных поправках с участием Диаграммы Фейнмана с закрытым петли из виртуальные частицы в них.

Пока виртуальные частицы подчиняются сохранение энергии и импульс, они могут иметь любую энергию и импульс, даже такой, который не допускается релятивистскими соотношение энергия-импульс для наблюдаемой массы этой частицы (т. е. ${ displaystyle E ^ {2} -p ^ {2}}$ не обязательно является квадратом массы частицы в этом процессе, например для фотона он может быть ненулевым). Такая частица называется вне оболочки. Когда есть петля, импульс частиц, вовлеченных в петлю, не определяется однозначно энергиями и импульсами входящих и исходящих частиц. Изменение энергии одной частицы в петле можно уравновесить равным и противоположным изменением энергии другой частицы в петле, не затрагивая входящие и исходящие частицы. Таким образом, возможно множество вариантов. Таким образом, чтобы найти амплитуду цикла, необходимо интегрировать над все возможные комбинации энергии и импульса, которые могут перемещаться по петле.

Эти интегралы часто расходящийся, то есть они дают бесконечные ответы. Существенные расхождения - это "ультрафиолетовый (УФ). Ультрафиолетовое расхождение можно описать как расхождение, возникающее из

• область в интеграле, где все частицы в петле имеют большие энергии и импульсы,
• очень короткий длины волн и высокийчастоты колебания полей, в интеграл по путям для поля,
• очень короткое собственное время между испусканием и поглощением частиц, если представить петлю как сумму по траекториям частиц.

Итак, эти расхождения - это краткосрочные и краткосрочные явления.

На рисунках с правого поля изображено ровно три однопетлевых расходящихся петлевых диаграммы в квантовой электродинамике:^[19]

(а) Фотон создает виртуальный электрон -позитрон пара, которая затем аннигилирует. Это поляризация вакуума диаграмма.

(б) Электрон быстро испускает и повторно поглощает виртуальный фотон, называемый собственная энергия.

(c) Электрон испускает фотон, испускает второй фотон и повторно поглощает первый. Этот процесс показан в разделе ниже на рисунке 2, и он называется перенормировка вершины. Диаграмма Фейнмана для этого также называется «диаграмма пингвина »Из-за своей формы, отдаленно напоминающей пингвина.

Три расходимости соответствуют трем параметрам рассматриваемой теории:

1. Нормализация поля Z.
2. Масса электрона.
3. Заряд электрона.

Второй класс дивергенции называется инфракрасное расхождение, возникает из-за безмассовых частиц, таких как фотон. Каждый процесс с участием заряженных частиц испускает бесконечно много когерентных фотонов с бесконечной длиной волны, а амплитуда излучения любого конечного числа фотонов равна нулю. Для фотонов эти расходимости хорошо понятны. Например, при заказе с 1 петлей вершинная функция имеет как ультрафиолет, так и инфракрасный расхождения. В отличие от ультрафиолетовой расходимости, инфракрасная расходимость не требует перенормировки параметра в рассматриваемой теории. Инфракрасная расходимость вершинной диаграммы устраняется включением диаграммы, аналогичной вершинной диаграмме, со следующим важным отличием: фотон, соединяющий две ноги электрона, отсекается и заменяется двумя. на оболочке (т.е. настоящие) фотоны, длина волны которых стремится к бесконечности; эта диаграмма эквивалентна тормозное излучение процесс. Эта дополнительная диаграмма должна быть включена, потому что нет физического способа отличить фотон с нулевой энергией, протекающий через петлю, как на вершинной диаграмме, и фотоны с нулевой энергией, испускаемые через тормозное излучение. С математической точки зрения ИК-расходимости можно регуляризовать, допуская дробное дифференцирование относительно параметр, например:

${ displaystyle left (p ^ {2} -a ^ {2} right) ^ { frac {1} {2}}}$

хорошо определено на п = а но расходится в УФ-диапазоне; если мы возьмем³⁄₂-й дробная производная относительно −а², получаем ИК-расходимость

${ displaystyle { frac {1} {p ^ {2} -a ^ {2}}},}$

поэтому мы можем исправить ИК-расхождения, превратив их в УФ-расхождения.^{[требуется разъяснение ]}

Расхождение петли

Рис. 2. Диаграмма, вносящая вклад в электрон-электронное рассеяние в КЭД. Петля имеет ультрафиолетовое расхождение.

Схема на рис. 2 показывает один из нескольких однопетлевых вкладов в электрон-электронное рассеяние в КЭД. Электрон в левой части диаграммы, представленный сплошной линией, начинается с 4-импульсом п^μ и в итоге получается 4-импульс р^μ. Он испускает виртуальный фотон, несущий р^μ − п^μ передать энергию и импульс другому электрону. Но на этой диаграмме, прежде чем это произойдет, он испускает еще один виртуальный фотон с 4-импульсом. q^μ, и он повторно поглощает этот фотон после испускания другого виртуального фотона. Сохранение энергии и импульса не определяет 4-импульс q^μ уникально, поэтому все возможности вносят равный вклад, и мы должны интегрироваться.

Амплитуда этой диаграммы заканчивается, среди прочего, множителем из цикла

${ displaystyle -ie ^ {3} int { frac {d ^ {4} q} {(2 pi) ^ {4}}} gamma ^ { mu} { frac {i ( gamma ^ { alpha} (rq) _ { alpha} + m)} {(rq) ^ {2} -m ^ {2} + i epsilon}} gamma ^ { rho} { frac {i ( гамма ^ { бета} (pq) _ { beta} + m)} {(pq) ^ {2} -m ^ {2} + i epsilon}} gamma ^ { nu} { frac {- ig _ { mu nu}} {q ^ {2} + i epsilon}}.}$

Различные γ^μ факторы в этом выражении гамма-матрицы как в ковариантной формулировке Уравнение Дирака; они связаны со спином электрона. Факторы е - константа электрической связи, а ${ displaystyle i epsilon}$ дать эвристическое определение контура интегрирования вокруг полюсов в пространстве импульсов. Важной частью для наших целей является зависимость от q^μ из трех больших множителей в подынтегральном выражении, которые являются пропагаторы двух электронных линий и фотонной линии в петле.

Это кусок с двумя степенями q^μ сверху, что доминирует при больших значениях q^μ (Покорский, 1987, с. 122):

${ Displaystyle е ^ {3} gamma ^ { mu} gamma ^ { alpha} gamma ^ { rho} gamma ^ { beta} gamma _ { mu} int { frac {d ^ {4} q} {(2 pi) ^ {4}}} { frac {q _ { alpha} q _ { beta}} {(rq) ^ {2} (pq) ^ {2} q ^ {2}}}.}$

Этот интеграл расходится и бесконечен, если мы каким-то образом не отключим его при конечной энергии и импульсе.

Подобные петлевые расходимости встречаются и в других квантовых теориях поля.

Перенормированные и голые величины

Решение заключалось в том, чтобы понять, что величины, первоначально фигурирующие в формулах теории (например, формула для Лагранжиан ), представляя такие вещи, как электронная электрический заряд и масса, а также нормировки самих квантовых полей сделали нет фактически соответствуют физическим константам, измеренным в лаборатории. Как написано, они были голый величин, которые не учитывали вклад петлевых эффектов виртуальных частиц в сами физические константы. Среди прочего, эти эффекты будут включать квантовый аналог обратной электромагнитной реакции, которая так раздражала классических теоретиков электромагнетизма. В общем, эти эффекты будут столь же расходящимися, как и изначально рассматриваемые амплитуды; поэтому конечные измеряемые величины, как правило, подразумевают расходящиеся голые величины.

Таким образом, чтобы войти в контакт с реальностью, формулы пришлось бы переписать в терминах измеримых, перенормированный количества. Заряд электрона, скажем, можно было бы определить в терминах величины, измеренной при определенной кинематический точка перенормировки или же точка вычитания (который обычно имеет характерную энергию, называемую шкала перенормировки или просто шкала энергии ). Оставшиеся части лагранжиана, включая оставшиеся части затравочных величин, могут быть затем интерпретированы как контртермы, участвующих в расходящихся диаграммах ровно отмена неприятные расхождения для других диаграмм.

Перенормировка в КЭД

Рис. 3. Вершина, соответствующая Z₁ counterterm отменяет расхождение на рисунке 2.

Например, в Лагранжиан КЭД

${ displaystyle { mathcal {L}} = { bar { psi}} _ {B} left [i gamma _ { mu} left ( partial ^ { mu} + ie_ {B} A_ {B} ^ { mu} right) -m_ {B} right] psi _ {B} - { frac {1} {4}} F_ {B mu nu} F_ {B} ^ { mu nu}}$

поля и константа связи действительно голый величин, поэтому индекс B над. Обычно затравочные величины записываются так, что соответствующие лагранжевые члены кратны перенормированным:

${ displaystyle left ({ bar { psi}} m psi right) _ {B} = Z_ {0} { bar { psi}} m psi}$

${ displaystyle left ({ bar { psi}} left ( partial ^ { mu} + ieA ^ { mu} right) psi right) _ {B} = Z_ {1} { бар { psi}} left ( partial ^ { mu} + ieA ^ { mu} right) psi}$

${ displaystyle left (F _ { mu nu} F ^ { mu nu} right) _ {B} = Z_ {3} , F _ { mu nu} F ^ { mu nu} .}$

Калибровочная инвариантность, через Идентичность Уорда – Такахаши, оказывается, означает, что мы можем перенормировать два члена ковариантная производная кусок

${ displaystyle { bar { psi}} ( partial + ieA) psi}$

вместе (Pokorski 1987, p. 115), что и произошло с Z₂; это то же самое, что и Z₁.

Член в этом лагранжиане, например, электрон-фотонное взаимодействие, изображенное на рисунке 1, может быть записан как

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {I} = - е { bar { psi}} gamma _ { mu} A ^ { mu} psi - (Z_ {1} -1) e { bar { psi}} gamma _ { mu} A ^ { mu} psi}$

Физическая постоянная еТогда заряд электрона может быть определен в терминах некоторого конкретного эксперимента: мы устанавливаем масштаб перенормировки, равный энергетической характеристике этого эксперимента, и первый член дает взаимодействие, которое мы наблюдаем в лаборатории (с точностью до малых, конечных поправок от петлевые диаграммы, дающие такую ​​экзотику, как поправки высокого порядка к магнитный момент ). Остальное - контртерм. Если теория перенормируемый (подробнее об этом см. ниже), как и в QED, расходящийся части петлевых диаграмм могут быть разложены на части с тремя или меньшим количеством ветвей, с алгебраической формой, которая может быть сокращена вторым членом (или аналогичными контрчленами, которые происходят из Z₀ и Z₃).

Диаграмма с Z₁ вершина взаимодействия counterterm, размещенная, как на рисунке 3, компенсирует расхождение от цикла на рисунке 2.

Исторически разделение «голых терминов» на исходные термины и контртермы происходило до того, как ренормгруппа понимание из-за Кеннет Уилсон.^[20] Согласно такому ренормгруппа понимание, подробно описанное в следующем разделе, это расщепление неестественно и фактически нефизично, поскольку все масштабы проблемы возникают непрерывно и систематически.

Муфты ходовые

Чтобы минимизировать вклад петлевых диаграмм в данное вычисление (и, следовательно, облегчить извлечение результатов), выбирается точка перенормировки, близкая к энергиям и импульсам, которыми обмениваются при взаимодействии. Однако точка перенормировки сама по себе не является физической величиной: физические предсказания теории, рассчитанные для всех порядков, в принципе должны быть независимый выбора точки перенормировки, если она находится в области применения теории. Изменения в масштабе перенормировки просто повлияют на то, какая часть результата будет получена из диаграмм Фейнмана без циклов, а какая - из оставшихся конечных частей диаграмм цикла. Этот факт можно использовать для расчета эффективного изменения физические константы с изменением масштаба. Этот вариант кодируется бета-функции, а общая теория такой зависимости от масштаба известна как ренормгруппа.

В просторечии физики, работающие с частицами, часто говорят об определенных физических «константах», которые изменяются вместе с энергией взаимодействия, хотя на самом деле независимой величиной является масштаб перенормировки. Этот Бег тем не менее, обеспечивает удобное средство описания изменений в поведении теории поля при изменении энергий, участвующих во взаимодействии. Например, поскольку муфта в квантовая хромодинамика становится малым на больших масштабах энергии, теория ведет себя больше как свободная теория, когда энергия, обмениваемая во взаимодействии, становится большой - явление, известное как асимптотическая свобода. Выбор возрастающей шкалы энергии и использование ренормализационной группы проясняет это из простых диаграмм Фейнмана; если бы это не было сделано, прогноз был бы таким же, но возник бы из-за сложных отмен высокого порядка.

Например,

${ displaystyle I = int _ {0} ^ {a} { frac {1} {z}} , dz- int _ {0} ^ {b} { frac {1} {z}} , dz = ln a- ln b- ln 0+ ln 0}$

неточно определено.

Чтобы устранить расхождение, просто измените нижний предел интеграла на ε_а и ε_б:

${ Displaystyle I = ln a- ln b- ln { varepsilon _ {a}} + ln { varepsilon _ {b}} = ln { tfrac {a} {b}} - ln { tfrac { varepsilon _ {a}} { varepsilon _ {b}}}}$

Убедиться ε_б/ε_а → 1, тогда я = ln а/б.

Регуляризация

Поскольку количество ∞ − ∞ нечетко определено, чтобы сделать это понятие сокращения расходимостей точным, расхождения сначала должны быть устранены математически с помощью теория пределов, в процессе, известном как регуляризация (Вайнберг, 1995).

По существу произвольная модификация подынтегральной функции цикла, или регулятор, может заставить их спадать быстрее при высоких энергиях и импульсах, так что интегралы сходятся. Регулятор имеет характерную шкалу энергии, известную как отрезать; доведение этого обрезания до бесконечности (или, что то же самое, до нуля соответствующей шкалы длины / времени) восстанавливает исходные интегралы.

При наличии регулятора и конечного значения обрезания расходящиеся члены в интегралах затем превращаются в конечные, но зависящие от обрезания члены. После исключения этих членов с помощью вкладов контрчленов, зависящих от отсечки, отсечение приводится к бесконечности и восстанавливаются конечные физические результаты. Если физика в масштабах, которые мы можем измерить, не зависит от того, что происходит на очень коротком расстоянии и в масштабах времени, тогда должна быть возможность получить независимые от обрезания результаты для расчетов.

В расчетах квантовой теории поля используется множество различных типов регуляторов, каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки. Одним из самых популярных в современном использовании является размерная регуляризация, изобретенный Герардус т Хофт и Мартинус Дж. Г. Велтман,^[21] который укрощает интегралы, перенося их в пространство с фиктивным дробным числом измерений. Другой Регуляризация Паули – Вилларса, который добавляет в теорию фиктивные частицы с очень большими массами, так что петлевое интегрирование, включающее массивные частицы, компенсирует существующие петли при больших импульсах.

Еще одна схема регуляризации - это решеточная регуляризация, представлен Кеннет Уилсон, который делает вид, что гиперкубическая решетка конструирует наше пространство-время с фиксированным размером сетки. Этот размер является естественным ограничением максимального импульса, которым может обладать частица при движении по решетке. И после выполнения расчета на нескольких решетках с разным размером сетки физический результат: экстраполированный до размера сетки 0 или нашей естественной вселенной. Это предполагает наличие предел масштабирования.

Строгий математический подход к теории перенормировки - это так называемый теория причинных возмущений, где ультрафиолетовые расходимости избегают с самого начала в расчетах, выполняя четко определенные математические операции только в рамках распределение теория. В этом подходе расхождения заменяются двусмысленностью: расходящейся диаграмме соответствует член, который теперь имеет конечный, но неопределенный коэффициент. Затем следует использовать другие принципы, такие как калибровочная симметрия, чтобы уменьшить или устранить неоднозначность.

Регуляризация дзета-функции

Джулиан Швингер обнаружил отношения^{[нужна цитата ]} между регуляризация дзета-функции и перенормировка, используя асимптотическое соотношение:

${ Displaystyle I (п, Lambda) = int _ {0} ^ { Lambda} dp , p ^ {n} sim 1 + 2 ^ {n} + 3 ^ {n} + cdots + Лямбда ^ {n} to zeta (-n)}$

как регулятор Λ → ∞. Исходя из этого, он рассмотрел возможность использования значений ζ(−п) чтобы получить конечные результаты. Хотя он достиг противоречивых результатов, улучшенная формула, изученная Хартл, Дж. Гарсиа и по произведениям Э. Элизальде включает технику дзета регуляризация алгоритм

${ Displaystyle I (n, Lambda) = { frac {n} {2}} I (n-1, Lambda) + zeta (-n) - sum _ {r = 1} ^ { infty } { frac {B_ {2r}} {(2r)!}} a_ {n, r} (n-2r + 1) I (n-2r, Lambda),}$

где B 's являются Числа Бернулли и

${ Displaystyle a_ {n, r} = { frac { Gamma (n + 1)} { Gamma (n-2r + 2)}}.}$

Так что каждый я(м, Λ) можно записать как линейную комбинацию ζ(−1), ζ(−3), ζ(−5), ..., ζ(−м).

Или просто используя Формула Абеля – Планы мы имеем для каждого расходящегося интеграла:

${ displaystyle zeta (-m, beta) - { frac { beta ^ {m}} {2}} - i int _ {0} ^ { infty} dt { frac {(it + beta ) ^ {m} - (- it + beta) ^ {m}} {e ^ {2 pi t} -1}} = int _ {0} ^ { infty} dp , (p + beta) ^ {м}}$

действительно, когда м > 0, Здесь дзета-функция Дзета-функция Гурвица а бета - положительное действительное число.

"Геометрическая" аналогия дается выражением (если мы используем метод прямоугольника ) для вычисления интеграла так:

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} dx , ( beta + x) ^ {m} приблизительно sum _ {n = 0} ^ { infty} h ^ {m + 1} zeta left ( beta h ^ {- 1}, - m right)}$

Используя дзета-регуляризацию Гурвица плюс метод прямоугольника с шагом h (не путать с Постоянная Планка ).

Логарифмический расходящийся интеграл имеет регуляризацию

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n + a}} = - psi (a) + log (a)}$

поскольку для серии Harmonic ${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {an + 1}}}$ в пределе ${ displaystyle a to 0}$ мы должны восстановить серию ${ Displaystyle сумма _ {п = 0} ^ { infty} 1 = 1/2}$

За многопетлевые интегралы это будет зависеть от нескольких переменных ${ displaystyle k_ {1}, cdots, k_ {n}}$ мы можем сделать замену переменных на полярные координаты, а затем заменить интеграл по углам ${ displaystyle int d Omega}$ на сумму, так что у нас есть только расходящийся интеграл, который будет зависеть от модуля ${ Displaystyle г ^ {2} = k_ {1} ^ {2} + cdots + k_ {n} ^ {2}}$ а затем мы можем применить алгоритм дзета-регуляризации, основная идея для многопетлевых интегралов состоит в замене множителя ${ Displaystyle F (q_ {1}, cdots, q_ {n})}$ после перехода на гиперсферические координаты F(р, Ω) поэтому перекрывающиеся расхождения UV кодируются в переменной р. Для регуляризации этих интегралов необходим регулятор, в случае многопетлевых интегралов этот регулятор можно принять как

${ displaystyle left (1 + { sqrt {q}} _ {i} q ^ {i} right) ^ {- s}}$

поэтому многопетлевой интеграл будет сходиться для достаточно больших s используя дзетовскую регуляризацию, мы можем аналитически продолжить переменную s до физического предела, где s = 0 а затем регуляризовать любой УФ-интеграл, заменив расходящийся интеграл линейной комбинацией расходящихся рядов, которые могут быть регуляризованы в терминах отрицательных значений дзета-функции Римана ζ(−м).

Отношение и интерпретация

Ранние разработчики КЭД и других квантовых теорий поля, как правило, были недовольны таким положением дел. Казалось незаконным делать что-то, равносильное вычитанию бесконечности из бесконечности для получения конечных ответов.

Фриман Дайсон утверждал, что эти бесконечности имеют базовую природу и не могут быть устранены никакими формальными математическими процедурами, такими как метод перенормировки.^[22][23]

Дирак Критика России была самой настойчивой.^[24] Еще в 1975 году он говорил:^[25]

Большинство физиков очень довольны ситуацией. Они говорят: «Квантовая электродинамика - хорошая теория, и нам больше не о чем беспокоиться». Я должен сказать, что я очень недоволен ситуацией, потому что эта так называемая «хорошая теория» действительно предполагает игнорирование бесконечностей, которые появляются в ее уравнениях, игнорирование их произвольным образом. Это просто неразумная математика. Разумная математика предполагает игнорирование величины, когда она мала, - не пренебрегать ею только потому, что она бесконечно велика, а вы этого не хотите!

Другой важный критик был Фейнман. Несмотря на свою решающую роль в развитии квантовой электродинамики, в 1985 году он написал следующее:^[26]

Оболочка, в которую мы играем, технически называется «перенормировкой». Но как бы умно это ни было слово, это все равно то, что я бы назвал дурацким процессом! Необходимость прибегнуть к подобным фокус-покусам помешала нам доказать, что теория квантовой электродинамики математически самосогласована. Удивительно, что теория до сих пор так или иначе не доказала самосогласованность; Я подозреваю, что перенормировка математически неверна.

Фейнман был обеспокоен тем, что все теории поля, известные в 1960-х годах, обладают тем свойством, что взаимодействия становятся бесконечно сильными на достаточно малых расстояниях. Это свойство называется Полюс Ландау, сделало вероятным, что квантовые теории поля противоречивы. В 1974 г. Валовой, Политцер и Вильчек показал, что другая квантовая теория поля, квантовая хромодинамика, не имеет полюса Ландау. Фейнман, как и большинство других, признал КХД полностью последовательной теорией.^{[нужна цитата ]}

Общее беспокойство было почти универсальным в текстах до 1970-х и 1980-х годов. Однако, начиная с 1970-х годов, вдохновленные работой над ренормгруппа и эффективная теория поля, и несмотря на то, что Дирак и многие другие - все из которых принадлежали к старшему поколению - никогда не отказывались от своей критики, отношение начало меняться, особенно среди молодых теоретиков. Кеннет Г. Уилсон и другие показали, что ренормализационная группа полезна в статистический теория поля применяется к физика конденсированного состояния, где он дает важную информацию о поведении фазовые переходы. В физике конденсированного состояния физический существует ближний регулятор: иметь значение перестает быть непрерывным в масштабе атомы. Расхождения на малых расстояниях в физике конденсированного состояния не представляют собой философской проблемы, поскольку теория поля в любом случае является лишь эффективным, сглаженным представлением поведения материи; бесконечностей нет, поскольку обрезание всегда конечно, и совершенно логично, что затравочные величины зависят от обрезания.

Если QFT держится до конца Планковская длина (где он может уступить теория струн, теория причинных множеств или что-то другое), то проблемы с расхождениями на короткие расстояния в физика элементарных частиц либо; все теории поля могут быть просто эффективными теориями поля. В некотором смысле этот подход перекликается с прежним подходом, согласно которому расхождения в КТП говорят о человеческом невежестве в отношении работы природы, но также признают, что это невежество можно измерить и что полученные в результате эффективные теории остаются полезными.

Как бы то ни, Салам замечание^[27] в 1972 году кажется все еще актуальным

Теоретико-полевые бесконечности - впервые встретившиеся при вычислении Лоренцем собственной массы электрона - сохраняются в классической электродинамике семьдесят и в квантовой электродинамике примерно тридцать пять лет. Эти долгие годы разочарований оставили в субъекте любопытную привязанность к бесконечностям и страстную веру в то, что они являются неизбежной частью природы; настолько, что даже предположение о надежде на то, что их все-таки можно будет обойти - и вычислить конечные значения констант перенормировки - считается иррациональным. Сравнивать Рассел приписка к третьему тому автобиографии Последние годы, 1944–1969 гг. (Джордж Аллен и Анвин, Лтд., Лондон, 1969 г.),^[28] п. 221:

В современном мире, если сообщества несчастны, это часто происходит потому, что у них есть невежества, привычки, убеждения и страсти, которые им дороже, чем счастье или даже жизнь. В наше опасное время я нахожу много мужчин, которые кажутся влюбленными в страдания и смерть и сердятся, когда им внушают надежды. Они думают, что надежда иррациональна и что, впадая в ленивое отчаяние, они просто смотрят в глаза фактам.

В КТП значение физической константы, как правило, зависит от масштаба, который выбирается в качестве точки перенормировки, и становится очень интересным исследовать работу перенормировочной группы физических констант при изменении шкалы энергии. Константы связи в Стандартная модель физики элементарных частиц изменяются по-разному с увеличением шкалы энергии: связь квантовая хромодинамика и слабая изоспиновая связь электрослабая сила имеют тенденцию к уменьшению, а слабая гиперзарядная связь электрослабой силы имеет тенденцию к увеличению. При колоссальной энергетической шкале 10¹⁵ ГэВ (далеко за пределами досягаемости нашего текущего ускорители частиц ), все они становятся примерно одинакового размера (Grotz and Klapdor 1990, p. 254), что является основной причиной для размышлений о теория великого единства. Вместо того, чтобы быть просто тревожной проблемой, перенормировка стала важным теоретическим инструментом для изучения поведения теорий поля в различных режимах.

Если теория с перенормировкой (например, КЭД) может быть разумно интерпретирована только как эффективная теория поля, то есть как приближение, отражающее человеческое незнание работы природы, то остается проблема открытия более точной теории, которая не имеет этих проблем перенормировки. . В качестве Льюис Райдер «В квантовой теории эти [классические] расхождения не исчезают; напротив, они, кажется, ухудшаются. И, несмотря на сравнительный успех теории перенормировки, остается ощущение, что должен быть более удовлетворительный способ делать вещи ".^[29]

Перенормируемость

Из этой философской переоценки естественно вытекает новая концепция: понятие перенормируемости. Не все теории поддаются перенормировке описанным выше способом, с конечным набором контрчленов и всеми величинами, не зависящими от обрезания в конце расчета. Если лагранжиан содержит комбинации полевых операторов достаточно высоких измерение в единицах энергии контрчлены, необходимые для устранения всех расхождений, увеличиваются до бесконечного числа, и на первый взгляд может показаться, что теория приобретает бесконечное количество свободных параметров и, следовательно, теряет всякую предсказательную силу, становясь бесполезной с научной точки зрения. Такие теории называются неперенормируемый.

В Стандартная модель физики элементарных частиц содержит только перенормируемые операторы, но взаимодействия общая теория относительности становятся неперенормируемыми операторами, если попытаться построить теорию поля квантовая гравитация самым простым способом (обрабатывая метрику в Лагранжиан Эйнштейна – Гильберта как возмущение по поводу Метрика Минковского ), предлагая, что теория возмущений неудовлетворительно применительно к квантовой гравитации.

Однако в эффективная теория поля, "перенормируемость", строго говоря, есть неправильное употребление. В неперенормируемой эффективной теории поля члены лагранжиана действительно умножаются до бесконечности, но имеют коэффициенты, подавляемые все более экстремальными обратными степенями ограничения энергии. Если обрезание является реальной физической величиной - то есть, если теория является только эффективным описанием физики до некоторой максимальной энергии или минимального расстояния, - тогда эти дополнительные члены могут представлять реальные физические взаимодействия. Предполагая, что безразмерные константы в теории не становятся слишком большими, можно группировать вычисления по обратным степеням обрезания и извлекать приближенные предсказания в конечном порядке в обрезании, которые все еще имеют конечное число свободных параметров. Может быть даже полезно перенормировать эти «неперенормируемые» взаимодействия.

Неперенормируемые взаимодействия в эффективных теориях поля быстро ослабевают, поскольку масштаб энергии становится намного меньше порогового значения. Классический пример - это Теория Ферми из слабая ядерная сила, неперенормируемая эффективная теория, обрезание которой сравнимо с массой W частица. Этот факт также может дать возможное объяснение Почему почти все взаимодействия частиц, которые мы видим, описываются перенормируемыми теориями. Возможно, что любые другие, которые могут существовать в GUT или масштаб Планка просто стал слишком слабым, чтобы его можно было обнаружить в наблюдаемой области, за одним исключением: сила тяжести, чье чрезвычайно слабое взаимодействие усиливается наличием огромных масс звезды и планеты.^{[нужна цитата ]}

Схемы перенормировки

В реальных расчетах контрчлены, введенные для устранения расхождений в расчетах диаграммы Фейнмана за пределами уровня дерева, должны быть фиксированный используя набор условия перенормировки. Общие используемые схемы перенормировки включают:

• Схема минимального вычитания (MS) и соответствующая модифицированная схема минимального вычитания (MS-bar)
• Схема на корпусе

Перенормировка в статистической физике

История

Более глубокое понимание физического смысла и обобщения процесса ренормализации, выходящее за рамки группы расширения традиционных перенормируемый теории, пришедшие из физики конденсированного состояния. Лео П. Каданов В статье 1966 г. была предложена ренормализационная группа «блочного спина».^[30] В блокирующая идея это способ определить компоненты теории на больших расстояниях как совокупность компонентов на более коротких расстояниях.

Этот подход охватил концептуальную точку и получил полную вычислительную основу.^[20] в обширном важном вкладе Кеннет Уилсон. Сила идей Вильсона была продемонстрирована конструктивным итеративным перенормировочным решением давней проблемы: Кондо проблема, в 1974 году, а также предшествующие плодотворные разработки его нового метода в теории фазовых переходов второго рода и критические явления в 1971 году. Он был удостоен Нобелевской премии за этот решающий вклад в 1982 году.

Принципы

Говоря техническим языком, предположим, что у нас есть теория, описываемая некоторой функцией ${ displaystyle Z}$ переменных состояния${ displaystyle {s_ {i} }}$ и некоторый набор констант связи${ displaystyle {J_ {k} }}$. Эта функция может быть функция распределения, действие, а Гамильтониан и т.д. Он должен содержать полное описание физики системы.

Теперь рассмотрим некое блокирующее преобразование переменных состояния ${ displaystyle {s_ {i} } to {{ tilde {s}} _ {i} }}$,количество ${ Displaystyle { тильда {s}} _ {я}}$ должно быть меньше, чем количество${ displaystyle s_ {i}}$. Теперь попробуем переписать ${ displaystyle Z}$функция Только с точки зрения ${ Displaystyle { тильда {s}} _ {я}}$. Если это достигается определенным изменением параметров, ${ displaystyle {J_ {k} } to {{ tilde {J}} _ {k} }}$, то говорят, что теорияперенормируемый.

Возможные макроскопические состояния системы в большом масштабе задаются этим набором неподвижных точек.

Неподвижные точки ренормгруппы

Самая важная информация в потоке RG - это ее фиксированные точки. Неподвижная точка определяется обращением в нуль бета-функция связанный с потоком. Тогда неподвижные точки ренормгруппы по определению масштабно инвариантны. Во многих случаях, представляющих физический интерес, масштабная инвариантность расширяется до конформной инвариантности. Тогда есть конформная теория поля в фиксированной точке.

Способность нескольких теорий течь к одной и той же фиксированной точке приводит к универсальность.

Если эти неподвижные точки соответствуют теории свободного поля, говорят, что теория демонстрирует квантовая тривиальность. Многочисленные фиксированные точки появляются при изучении решетчатые теории Хиггса, но природа связанных с ними квантовых теорий поля остается открытым вопросом.^[31]

Смотрите также

• История квантовой теории поля
• Квантовая тривиальность
• Парадоксы Зенона

Рекомендации

дальнейшее чтение

Общее введение

• ДеДео, Саймон; Введение в перенормировку (2017). Институт Санта-Фе Сложность Explorer MOOC. Перенормировка с точки зрения сложных систем, включая цепи Маркова, клеточные автоматы, модель Изинга реального пространства, теорему Крона-Родса, КЭД и теорию искажения скорости.
• Деламот, Бертран (2004). «Намек на перенормировку». Американский журнал физики. 72 (2): 170–184. arXiv:hep-th / 0212049. Bibcode:2004AmJPh..72..170D. Дои:10.1119/1.1624112. S2CID  2506712.
• Баэз, Джон; Перенормировка стала проще, (2005). Качественное введение в предмет.
• Блехман, Эндрю Э .; Ренормализация: наш совершенно непонятый друг, (2002). Краткое содержание лекции; содержит больше информации о конкретных схемах регуляризации и расхождения-вычитания.
• Цао, Тиан Ю; Швебер, Сильван С. (1993). «Концептуальные основы и философские аспекты теории перенормировки». Синтез. 97: 33–108. Дои:10.1007 / BF01255832. S2CID  46968305.
• Ширков Дмитрий; Пятьдесят лет ренормализационной группе, C.E.R.N. Курьер 41 (7) (2001). Полный текст доступен по адресу: Журналы I.O.P.
• Э. Элизальде; Методы регуляризации Zeta с приложениями.

В основном: квантовая теория поля

• Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков (1959): Теория квантованных полей. Нью-Йорк, Интерсайенс. Первый учебник по ренормгруппа теория.
• Ryder, Lewis H .; Квантовая теория поля (Издательство Кембриджского университета, 1985), ISBN  0-521-33859-X Легко читаемый учебник, безусловно, лучшее введение в релятивистский Q.F.T. для физики элементарных частиц.
• Зи, Энтони; Квантовая теория поля в двух словах, Princeton University Press (2003) ISBN  0-691-01019-6. Еще один отличный учебник по Q.F.T.
• Вайнберг, Стивен; Квантовая теория полей (3 тома) Издательство Кембриджского университета (1995). Монументальный трактат о Q.F.T. написано ведущим специалистом, Нобелевский лауреат 1979 г..
• Покорски, Стефан; Теории калибровочного поля, Издательство Кембриджского университета (1987) ISBN  0-521-47816-2.
• 'т Хоофт, Джерард; Славные дни физики - перенормировка калибровочных теорий, лекция, прочитанная в Эриче (август / сентябрь 1998 г.) Нобелевский лауреат 1999 г. . Полный текст доступен по адресу: hep-th / 9812203.
• Ривассо, Винсент; Введение в перенормировку, Poincaré Seminar (Париж, 12 октября 2002 г.), опубликовано в Duplantier, Bertrand; Ривассо, Винсент (ред.); Семинар Пуанкаре 2002 г., Успехи математической физики 30, Биркхойзер (2003). ISBN  3-7643-0579-7. Полный текст доступен на PostScript.
• Ривассо, Винсент; От пертурбативной к конструктивной перенормировке, Princeton University Press (1991). ISBN  0-691-08530-7. Полный текст доступен на PostScript.
• Iagolnitzer, Daniel & Magnen, J .; Анализ ренормгруппы, Энциклопедия математики, издательство Kluwer Academic Publisher (1996). Полный текст доступен в PostScript и pdf Вот.
• Шарф, Гюнтер; Конечная квантовая электродинамика: причинный подход, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York (1995) ISBN  3-540-60142-2.
• А. С. Шварц (Альберт Шварц Математические основы квантовой теории поля, (Математические аспекты квантовой теории поля), Атомиздат, М., 1975. 368 с.

В основном: статистическая физика

• А. Н. Васильев; Теоретико-полевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике (Рутледж Чепмен и Холл, 2004 г.); ISBN  978-0-415-31002-4
• Найджел Голденфельд; Лекции о фазовых переходах и ренормгруппе, Frontiers in Physics 85, Westview Press (июнь 1992 г.) ISBN  0-201-55409-7. Эта популярная книга, охватывающая элементарные аспекты физики фазовых переходов и ренормализационной группы, делает упор на понимание и ясность, а не на технические манипуляции.
• Зинн-Джастин, Жан; Квантовая теория поля и критические явления, Oxford University Press (4-е издание - 2002 г.) ISBN  0-19-850923-5. Шедевр применения методов перенормировки к вычислению критических показателей в статистической механике, следующий за идеями Вильсона (Кеннет Уилсон был Нобелевский лауреат 1982 г. ).
• Зинн-Джастин, Жан; Фазовые переходы и перенормировочная группа: от теории к числам, Poincaré Seminar (Париж, 12 октября 2002 г.), опубликовано в Duplantier, Bertrand; Ривассо, Винсент (ред.); Семинар Пуанкаре 2002 г., Успехи математической физики 30, Биркхойзер (2003). ISBN  3-7643-0579-7. Полный текст доступен на PostScript.
• Домб, Кирилл; Критическая точка: историческое введение в современную теорию критических явлений, CRC Press (март 1996 г.) ISBN  0-7484-0435-X.
• Браун, Лори М. (ред.); Ренормализация: от Лоренца к Ландау (и дальше), Springer-Verlag (Нью-Йорк-1993) ISBN  0-387-97933-6.
• Карди, Джон; Масштабирование и перенормировка в статистической физике, Издательство Кембриджского университета (1996) ISBN  0-521-49959-3.

Разное

• Ширков Дмитрий; Ренормализационная группа Боголюбова, Сообщение ОИЯИ E2-96-15 (1996). Полный текст доступен по адресу: hep-th / 9602024
• Зинн-Джастин, Жан; Ренормализация и ренормализационная группа: от открытия УФ-расходимостей до концепции эффективных теорий поля, in: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (ред.), Труды НАТО ASI по Квантовая теория поля: перспектива и перспектива, 15–26 июня 1998 г., Лез Уш, Франция, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375–388 (1999). Полный текст доступен на PostScript.
• Конн, Ален; Symétries Galoisiennes & Renormalisation, Poincaré Seminar (Париж, 12 октября 2002 г.), опубликовано в Duplantier, Bertrand; Ривассо, Винсент (ред.); Семинар Пуанкаре 2002 г., Успехи математической физики 30, Биркхойзер (2003). ISBN  3-7643-0579-7. Французский математик Ален Конн (Медалист Филдса, 1982 г.) описывают математическую основную структуру ( Алгебра Хопфа ) перенормировки и ее связь с проблемой Римана-Гильберта. Полный текст (на французском языке) доступен по адресу arXiv:математика / 0211199.