Причинные фермионные системы - Википедия - Causal fermion systems

Теория причинные фермионные системы это подход к описанию фундаментальная физика. Обеспечивает унификацию слабый, то сильный и электромагнитные силы с сила тяжести на уровне классическая теория поля.^[1]^[2] Более того, это дает квантовая механика как предельный случай и обнаружил тесные связи с квантовая теория поля.^[3]^[4] Таким образом, он является кандидатом в единую физическую теорию. Вместо того, чтобы вводить физические объекты в уже существующие пространство-время многообразие общая концепция состоит в том, чтобы вывести пространство-время, а также все объекты в нем как вторичные объекты из структур лежащей в основе системы причинных фермионов. Эта концепция также позволяет обобщить понятия дифференциальная геометрия к негладкой настройке.^[5]^[6] В частности, можно описать ситуации, когда пространство-время больше не имеет структуры многообразия в микроскопическом масштабе (как решетка пространства-времени или другие дискретные или непрерывные структуры на Планковский масштаб ). В результате теория причинных фермионных систем предлагает квантовая геометрия и подход к квантовая гравитация.

Причинные фермионные системы были введены Феликс Финстер и сотрудники.

Мотивация и физическая концепция

Физической отправной точкой является тот факт, что Уравнение Дирака в Пространство Минковского имеет решения с отрицательной энергией, которые обычно связаны с Море Дирака. Серьезно относясь к концепции, согласно которой состояния моря Дирака являются неотъемлемой частью физической системы, можно обнаружить, что многие структуры (например, причинный и метрика структур, а также бозонных полей) могут быть восстановлены из волновых функций состояний моря. Это приводит к идее, что волновые функции всех занятых состояний (включая состояния моря) следует рассматривать как основные физические объекты, и что все структуры в пространстве-времени возникают в результате коллективного взаимодействия состояний моря друг с другом и с дополнительными частицами и "дыры" в море. Математическая реализация этой картины приводит к структуре причинных фермионных систем.

Точнее, соответствие между вышеуказанной физической ситуацией и математической структурой получается следующим образом. Все оккупированные государства охватывают Гильбертово пространство волновых функций в пространстве Минковского ${ displaystyle { hat {M}}}$ . Наблюдаемая информация о распределении волновых функций в пространстве-времени закодирована в локальные корреляционные операторы ${ displaystyle F (x), x in { hat {M}},}$ который в ортонормированный базис ${ Displaystyle ( psi _ {я})}$ имеют матричное представление

{ displaystyle { big (} F (x) { big)} _ {j} ^ {i} = - { overline { psi _ {i} (x)}} psi _ {j} (x )}

(куда ${ displaystyle { overline { psi}}}$ это сопряженный спинор Для превращения волновых функций в основные физические объекты рассматривается множество ${ Displaystyle {F (x) , | , x in { hat {M}} }}$ как набор линейные операторы на Абстрактные Гильбертово пространство. Все структуры пространства Минковского не учитываются, за исключением меры объема ${ displaystyle d ^ {4} x}$ , которая преобразуется в соответствующий мера на линейных операторах ( «универсальная мера»). Получающиеся структуры, а именно гильбертово пространство вместе с мерой на линейных операторах на нем, являются основными ингредиентами системы причинных фермионов.

Вышеупомянутая конструкция также может быть выполнена в более общие пространства-времени. Более того, принимая абстрактное определение за отправную точку, причинные фермионные системы позволяют описывать обобщенные «квантовые пространства-времени». Физическая картина состоит в том, что одна причинная фермионная система описывает пространство-время вместе со всеми структурами и объектами в нем (такими как причинные и метрические структуры, волновые функции и квантовые поля). Чтобы выделить физически допустимые причинные фермионные системы, необходимо сформулировать физические уравнения. По аналогии с Лагранжиан формулировка классическая теория поля, физические уравнения для причинных фермионных систем формулируются с помощью вариационного принципа, так называемого принцип причинного действия. Поскольку человек работает с разными базовыми объектами, принцип причинного действия имеет новую математическую структуру, в которой минимизируется положительное действие при вариациях универсальной меры. Связь с обычными физическими уравнениями получается в некотором предельном случае ( континуальный предел), в котором взаимодействие эффективно описывается формулой калибровочные поля связаны с частицами и античастицы, тогда как море Дирака больше не видно.

Общая математическая постановка

В этом разделе вводится математический аппарат причинных фермионных систем.

Определение причинной фермионной системы

А причинная фермионная система размерности вращения ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$ это тройка ${ displaystyle ({ mathcal {H}}, { mathcal {F}}, rho)}$ куда

${ displaystyle ({ mathcal {H}}, langle. |. rangle _ { mathcal {H}})}$ это сложный Гильбертово пространство.
${ displaystyle { mathcal {F}}}$ это набор всех самосопряженный линейные операторы конечный ранг на ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ который (считая множественность ) иметь не более ${ displaystyle n}$ положительный и самое большее ${ displaystyle n}$ отрицательные собственные значения.
${ displaystyle rho}$ это измерять ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ .

Мера ${ displaystyle rho}$ называется универсальная мера.

Как будет показано ниже, это определение достаточно богато, чтобы кодировать аналоги математических структур, необходимых для формулирования физических теорий. В частности, причинная фермионная система порождает пространство-время вместе с дополнительными структурами, которые обобщают такие объекты, как спиноры, то метрика и кривизна. Кроме того, он включает квантовые объекты, такие как волновые функции и фермионный Состояние Фока.^[7]

Принцип причинного действия

Вдохновленная лангранжианской формулировкой классической теории поля, динамика причинной фермионной системы описывается вариационным принципом, определяемым следующим образом.

Учитывая гильбертово пространство ${ displaystyle ({ mathcal {H}}, langle. |. rangle _ { mathcal {H}})}$ и размер вращения ${ displaystyle n}$ , набор ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ определяется, как указано выше. Тогда для любого ${ displaystyle x, y in { mathcal {F}}}$ , продукт ${ displaystyle xy}$ является оператором ранга не выше ${ displaystyle 2n}$ . Это не обязательно самосопряженное, потому что в целом ${ Displaystyle (ху) ^ {*} = ух neq ху}$ . Обозначим нетривиальные собственные значения оператора ${ displaystyle xy}$ (считая алгебраические кратности ) к

{ displaystyle lambda _ {1} ^ {xy}, ldots, lambda _ {2n} ^ {xy} in { mathbb {C}}.}

Более того, спектральный вес ${ displaystyle |. |}$ определяется

{ displaystyle | xy | = sum _ {i = 1} ^ {2n} | lambda _ {i} ^ {xy} | quad { text {and}} quad { big |} (xy) ^ {2} { big |} = sum _ {i = 1} ^ {2n} | lambda _ {i} ^ {xy} | ^ {2} {,}.}

В Лагранжиан вводится

{ displaystyle { mathcal {L}} (x, y) = { big |} (xy) ^ {2} { big |} - { frac {1} {2n}} {,} | ху | ^ {2} = { frac {1} {4n}} sum _ {i, j = 1} ^ {2n} { big (} | lambda _ {i} ^ {xy} | - | лямбда _ {j} ^ {xy} | { big)} ^ {2} geq 0 {,}.}

В причинное действие определяется

{ displaystyle { mathcal {S}} = iint _ {{ mathcal {F}} times { mathcal {F}}} { mathcal {L}} (x, y) {,} d rho (x) {,} d rho (y) {,}.}

В принцип причинного действия сводить к минимуму ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ при вариациях ${ displaystyle rho}$ в классе (положительных) Борелевские меры при следующих ограничениях:

Ограничение ограниченности: ${ displaystyle iint _ {{ mathcal {F}} times { mathcal {F}}} | xy | ^ {2} {,} d rho (x) {,} d rho (y ) leq C}$ для некоторой положительной постоянной ${ displaystyle C}$ .
Ограничение трассировки: ${ Displaystyle ; ; ; int _ { mathcal {F}} { text {tr}} (x) {,} d rho (x)}$ остается фиксированным.
Общий объем ${ Displaystyle rho ({ mathcal {F}})}$ сохраняется.

Здесь на ${ Displaystyle { mathcal {F}} subset { mathrm {L}} ({ mathcal {H}})}$ один считает индуцированная топология посредством ${ displaystyle sup}$ -норма на ограниченных линейных операторах на ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ .

Ограничения предотвращают использование тривиальных минимизаторов и гарантируют существование при условии, что ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ конечномерна.^[8]Этот вариационный принцип имеет смысл и в том случае, если общий объем ${ Displaystyle rho ({ mathcal {F}})}$ бесконечно, если рассматривать вариации ${ displaystyle delta rho}$ из ограниченная вариация с ${ Displaystyle ( дельта ро) ({ mathcal {F}}) = 0}$ .

Собственные структуры

В современных физических теориях слово пространство-время относится к Лоренцево многообразие ${ displaystyle (M, g)}$ . Это означает, что пространство-время набор точек, обогащенных топологическими и геометрическими структурами. В контексте причинных фермионных систем пространство-время не обязательно должно иметь многообразную структуру. Вместо этого пространство-время ${ displaystyle M}$ - это набор операторов в гильбертовом пространстве (подмножество ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ ). Это подразумевает дополнительные внутренние структуры, которые соответствуют и обобщают обычные объекты на пространственно-временном многообразии.

Для причинно-фермионной системы ${ displaystyle ({ mathcal {H}}, { mathcal {F}}, rho)}$ , мы определяем пространство-время ${ displaystyle M}$ как поддерживать универсальной меры,

{ displaystyle M: ​​= { text {supp}} , rho subset { mathcal {F}}.}

С индуцированная топология к ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ ,пространство-время ${ displaystyle M}$ это топологическое пространство.

Причинная структура

За ${ displaystyle x, y in M}$ обозначим нетривиальные собственные значения оператора ${ displaystyle xy}$ (считая алгебраические кратности ) к ${ displaystyle lambda _ {1} ^ {xy}, ldots, lambda _ {2n} ^ {xy} in { mathbb {C}}}$ .Точки ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ определены как космический разделены, если все ${ displaystyle lambda _ {j} ^ {xy}}$ имеют одинаковое абсолютное значение. Они есть подобный времени разделены, если ${ displaystyle lambda _ {j} ^ {xy}}$ не все имеют одинаковую абсолютную ценность и реальны. Во всех остальных случаях баллы ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ находятся легкий разделены.

Это понятие причинности согласуется с "причинностью" вышеупомянутого причинного действия в том смысле, что если две точки пространства-времени ${ displaystyle x, y in M}$ пространственно разделены, то лагранжиан ${ Displaystyle { mathcal {L}} (х, у)}$ исчезает. Это соответствует физическому представлению о причинность что пространственно разделенные точки пространства-времени не взаимодействуют. Эта каузальная структура является причиной понятия «каузальный» в каузальной фермионной системе и каузальном действии.

Позволять ${ displaystyle pi _ {x}}$ обозначим ортогональную проекцию на подпространство ${ Displaystyle S_ {х}: = х ({ mathcal {H}}) subset { mathcal {H}}}$ . Тогда знак функционала

{ displaystyle i { text {Tr}} { big (} x , y , pi _ {x} , pi _ {y} -y , x , pi _ {y} , pi _ {x})}

отличает будущее от прошлый. В отличие от структуры частично заказанный набор, отношение «лежит в будущем» вообще не транзитивно. Но в типичных примерах он транзитивен в макроскопическом масштабе.^[5]^[6]

Спиноры и волновые функции

Для каждого ${ displaystyle x in M}$ то пространство вращения определяется ${ Displaystyle S_ {х} = х ({ mathcal {H}})}$ ; это подпространство ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ размер не более ${ displaystyle 2n}$ . В спиновое скалярное произведение ${ Displaystyle { Prec} cdot | cdot { succ} _ {x}}$ определяется

{ displaystyle { Prec} u | v { succ} _ {x} = - { langle} u | xv { rangle} _ { mathcal {H}} qquad { text {для всех}} u , v in S_ {x}}

неопределенный внутренний продукт на ${ displaystyle S_ {x}}$ из подпись ${ displaystyle (p, q)}$ с ${ displaystyle p, q leq n}$ .

А волновая функция ${ displaystyle psi}$ это отображение

{ Displaystyle psi {,}: {,} M rightarrow { mathcal {H}} qquad { text {with}} qquad psi (x) in S_ {x} quad { текст {для всех}} x in M ​​{,}.}

О волновых функциях, для которых норма ${ Displaystyle {| ! | ! |} cdot {| ! | ! |}}$ определяется

{ Displaystyle {| ! | ! |} psi {| ! | ! |} ^ {2} = int _ {M} left langle psi (x) { bigg |} , | x | , psi (x) right rangle _ { mathcal {H}} {,} d rho (x)}

конечно (где ${ Displaystyle | х | = { sqrt {х ^ {2}}}}$ - модуль симметричного оператора ${ displaystyle x}$ ), можно определить внутренний продукт

{ Displaystyle { mathopen {<}} psi | phi { mathclose {>}} = int _ {M} { Prec} psi (x) | phi (x) { succ} _ { x} {,} d rho (x) {,}.}

Вместе с топологией, индуцированной нормой ${ Displaystyle {| ! | ! |} cdot {| ! | ! |}}$ , получаем Пространство Крейна ${ Displaystyle ({ mathcal {K}}, { mathopen {<}} cdot | cdot { mathclose {>}})}$ .

К любому вектору ${ displaystyle u in { mathcal {H}}}$ мы можем связать волновую функцию

{ displaystyle psi ^ {u} (x): = pi _ {x} u}

(куда ${ displaystyle pi _ {x}: { mathcal {H}} rightarrow S_ {x}}$ снова ортогональная проекция на пространство спинов), что дает начало выделенному семейству волновых функций, называемых волновыми функциями оккупированные государства.

Фермионный проектор

В ядро фермионного проектора ${ Displaystyle Р (х, у)}$ определяется

{ Displaystyle P (x, y) = pi _ {x} , y | _ {S_ {y}} {,}: {,} S_ {y} rightarrow S_ {x}}

(куда ${ displaystyle pi _ {x}: { mathcal {H}} rightarrow S_ {x}}$ снова ортогональная проекция на пространство спинов, и ${ displaystyle | _ {S_ {y}}}$ обозначает ограничение на ${ displaystyle S_ {y}}$ ). В фермионный проектор ${ displaystyle P}$ оператор

{ Displaystyle P {,}: {,} { mathcal {K}} rightarrow { mathcal {K}} {,}, qquad (P psi) (x) = int _ {M } P (x, y) , psi (y) , d rho (y) {,},}

который имеет плотную область определения, заданную всеми векторами ${ displaystyle psi in { mathcal {K}}}$ удовлетворяющие условиям

{ displaystyle phi: = int _ {M} x , psi (x) , d rho (x) {,} in {,} { mathcal {H}} quad { текст {и}} quad {| ! | ! |} phi {| ! | ! |} < infty {,}.}

Как следствие принципа причинного действия ядро фермионного проектора обладает дополнительными нормализующими свойствами^[9] которые оправдывают название проектор.

Соединение и кривизна

Будучи оператором перехода от одного спинового пространства к другому, ядро фермионного проектора задает отношения между разными точками пространства-времени. Этот факт можно использовать для введения спин-соединение

{ displaystyle D_ {x, y} ,: , S_ {y} rightarrow S_ {x} quad { text {unitary}} ,.}

Основная идея - взять полярное разложение из ${ Displaystyle Р (х, у)}$ . Конструкция усложняется тем фактом, что спиновая связь должна индуцировать соответствующий метрическое соединение

{ displaystyle nabla _ {x, y} ,: , T_ {y} rightarrow T_ {x} quad { text {isometric}} ,,}

где касательное пространство ${ displaystyle T_ {x}}$ является конкретным подпространством линейных операторов на ${ displaystyle S_ {x}}$ наделен лоренцевой метрикой. кривизна спина определяется как голономия спинового соединения,

{ Displaystyle { mathfrak {R}} (х, y, z) = D_ {x, y} , D_ {y, z} , D_ {z, x} ,: , S_ {x} стрелка вправо S_ {x} ,.}

Точно так же метрическая связь порождает метрическая кривизна. Эти геометрические структуры приводят к предложению квантовая геометрия.^[5]

Уравнения Эйлера-Лагранжа и линеаризованные уравнения поля

Минимайзер ${ displaystyle rho}$ причинного действия удовлетворяет соответствующему Уравнения Эйлера-Лагранжа.^[10] Они заявляют, что функция ${ displaystyle ell _ { kappa}}$ определяется

{ displaystyle ell _ { kappa} (x): = int _ {M} { big (} { mathcal {L}} _ { kappa} (x, y) + kappa , | ху | ^ {2} { big)} , d rho (y) , - , { mathfrak {s}}}

(с двумя параметрами Лагранжа ${ displaystyle kappa}$ и ${ Displaystyle { mathfrak {s}}}$ ) обращается в нуль и минимально на носителе ${ displaystyle rho}$ ,

{ Displaystyle ell _ { kappa} | _ {M} Equiv Inf _ {x in { mathcal {F}}} ell _ { kappa} (x) = 0 ,.}

Для анализа удобно ввести струи ${ Displaystyle { mathfrak {u}}: = (а, и)}$ состоящий из действительной функции ${ displaystyle a}$ на ${ displaystyle M}$ и векторное поле ${ displaystyle u}$ на ${ Displaystyle Т { mathcal {F}}}$ вдоль ${ displaystyle M}$ , а для обозначения комбинации умножения и производной по направлению через ${ displaystyle nabla _ { mathfrak {u}} g (x): = a (x) , g (x) + { big (} D_ {u} g { big)} (x)}$ . Тогда из уравнений Эйлера-Лагранжа следует, что слабые уравнения Эйлера-Лагранжа

{ displaystyle nabla _ { mathfrak {u}} ell | _ {M} = 0}

держать для любого испытательного самолета ${ displaystyle { mathfrak {u}}}$ .

Семейства решений уравнений Эйлера-Лагранжа бесконечно малы порождаются струей ${ Displaystyle { mathfrak {v}}}$ который удовлетворяет линеаризованные уравнения поля

{ Displaystyle langle { mathfrak {u}}, Delta { mathfrak {v}} rangle | _ {M} = 0 ,,}

быть довольным для всех тестовых струй ${ displaystyle { mathfrak {u}}}$ , где лапласиан $ Delta $ определяется равенством

{ Displaystyle langle { mathfrak {u}}, Delta { mathfrak {v}} rangle (x): = nabla _ { mathfrak {u}} { bigg (} int _ {M} { big (} nabla _ {1, { mathfrak {v}}} + nabla _ {2, { mathfrak {v}}} { big)} { mathcal {L}} (x, y ) , d rho (y) - nabla _ { mathfrak {v}} { mathfrak {s}} { bigg)} ,.}

Уравнения Эйлера-Лагранжа описывают динамику системы причинных фермионов, тогда как малые возмущения системы описываются линеаризованными уравнениями поля.

Сохраняющиеся интегралы поверхностного слоя

В случае причинных фермионных систем пространственные интегралы выражаются так называемыми интегралы поверхностного слоя.^[9]^[10]^[11] В общих чертах интеграл поверхностного слоя представляет собой двойной интеграл вида

{ displaystyle int _ { Omega} { bigg (} int _ {M setminus Omega} cdots { mathcal {L}} (x, y) , d rho (y) { bigg )} , d rho (x) ,,}

где одна переменная интегрирована по подмножеству ${ displaystyle Omega subset M}$ , а другая переменная интегрируется по дополнению ${ displaystyle Omega}$ . Можно выразить обычные законы сохранения заряда, энергии ... через интегралы поверхностного слоя. Соответствующие законы сохранения являются следствием уравнений Эйлера-Лагранжа принципа причинного действия и линеаризованных уравнений поля. Для приложений наиболее важными интегралами поверхностного слоя являются текущий интеграл ${ displaystyle gamma _ { rho} ^ { Omega} ({ mathfrak {v}})}$ , то симплектическая форма ${ displaystyle sigma _ { rho} ^ { Omega} ({ mathfrak {u}}, { mathfrak {v}})}$ , то поверхностный слой внутренний продукт ${ displaystyle langle { mathfrak {u}}, { mathfrak {v}} rangle _ { rho} ^ { Omega}}$ и нелинейный интеграл поверхностного слоя ${ Displaystyle gamma ^ { Omega} ({ тильда { rho}}, rho)}$ .

Бозонная космическая динамика Фока

Основываясь на законах сохранения для указанных выше интегралов поверхностного слоя, динамика системы причинных фермионов, описываемая уравнениями Эйлера-Лагранжа, соответствующими принципу причинного действия, может быть переписана как линейная, сохраняющая норму динамика на бозонном пространстве Фока, построенном набор решений линеаризованных уравнений поля.^[4] В так называемом голоморфное приближение, временная эволюция учитывает сложную структуру, приводя к унитарной временной эволюции в бозонном фоковском пространстве.

Фермионное состояние Фока

Если ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ имеет конечную размерность ${ displaystyle f}$ , выбирая ортонормированный базис ${ displaystyle u_ {1}, ldots, u_ {f}}$ из ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ и взяв произведение клина соответствующих волновых функций

{ displaystyle { big (} psi ^ {u_ {1}} wedge cdots wedge psi ^ {u_ {f}} { big)} (x_ {1}, ldots, x_ {f} )}

дает состояние ${ displaystyle f}$ -частица фермионная Пространство фока. Из-за полной антисимметризации это состояние зависит от выбора основы ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ только по фазовому коэффициенту.^[12] Это соответствие объясняет, почему векторы в пространстве частиц следует интерпретировать как фермионы. Это также мотивирует название причинной фермион система.

Основные физические принципы

Причинные фермионные системы особым образом включают в себя несколько физических принципов:

А принцип локальной калибровки: Чтобы представить волновые функции в компонентах, выбираются базы спиновых пространств. Обозначая подпись скалярного произведения спина при ${ displaystyle x}$ к ${ displaystyle ({ mathfrak {p}} _ {x}, { mathfrak {q}} _ {x})}$ , псевдоортонормированный базис ${ displaystyle ({ mathfrak {e}} _ { alpha} (x)) _ { alpha = 1, ldots, { mathfrak {p}} _ {x} + { mathfrak {q}} _ {Икс}}}$ из ${ displaystyle S_ {x}}$ дан кем-то

{ Displaystyle { Prec} { mathfrak {e}} _ { alpha} | { mathfrak {e}} _ { beta} { succ} = s _ { alpha} {,} delta _ { alpha beta} quad { text {with}} quad s_ {1}, ldots, s _ {{ mathfrak {p}} _ {x}} = 1, ; ; s _ {{ mathfrak {p}} _ {x} +1}, ldots, s _ {{ mathfrak {p}} _ {x} + { mathfrak {q}} _ {x}} = - 1 {,}.}.

Тогда волновая функция

{ displaystyle psi}

могут быть представлены с помощью компонентных функций,

{ Displaystyle psi (x) = sum _ { alpha = 1} ^ {{ mathfrak {p}} _ {x} + { mathfrak {q}} _ {x}} psi ^ { alpha } (x) {,} { mathfrak {e}} _ { alpha} (x) {,}.}

Свобода выбора баз

{ Displaystyle ({ mathfrak {е}} _ { альфа} (х))}

независимо в каждой точке пространства-времени соответствует локальным унитарным преобразованиям волновых функций,

{ displaystyle psi ^ { alpha} (x) rightarrow sum _ { beta = 1} ^ {{ mathfrak {p}} _ {x} + { mathfrak {q}} _ {x}} U (x) _ { beta} ^ { alpha} , , psi ^ { beta} (x) quad { text {with}} quad U (x) in { text {U }} ({ mathfrak {p}} _ {x}, { mathfrak {q}} _ {x}) {,}.}.}

Эти преобразования интерпретируются как локальные калибровочные преобразования. Калибровочная группа определяется как группа изометрий спинового скалярного произведения. Причинное действие калибровочный инвариант в том смысле, что он не зависит от выбора спинорных оснований.

В принцип эквивалентности: Для явного описания пространства-времени необходимо работать с локальными координатами. Свобода выбора таких координат обобщает свободу выбора общих систем отсчета в пространственно-временном многообразии. Следовательно принцип эквивалентности из общая теория относительности уважается. Причинное действие общековариантный в том смысле, что он не зависит от выбора координат.
В Принцип исключения Паули: Фермионное фоковское состояние, связанное с причинной фермионной системой, позволяет описывать многочастичное состояние с помощью полностью антисимметричной волновой функции. Это дает согласие с Принцип исключения Паули.
Принцип причинность включается формой причинного действия в том смысле, что точки пространства-времени с пространственно-подобным разделением не взаимодействуют.

Предельные случаи

Системы причинных фермионов имеют математически обоснованные предельные случаи, которые дают связь с обычными физическими структурами.

Лоренцева спиновая геометрия глобально гиперболических пространств-времени

Начиная с любой глобально гиперболической Лоренциан вращение многообразие ${ displaystyle ({ hat {M}}, g)}$ со спинорной связкой ${ displaystyle S { hat {M}}}$ , мы попадаем в рамки причинных фермионных систем, выбирая ${ displaystyle ({ mathcal {H}}, { langle}. |. { rangle} _ { mathcal {H}})}$ как подпространство пространства решений Уравнение Дирака. Определение так называемого оператор локальной корреляции ${ Displaystyle F (p)}$ за ${ displaystyle p in { hat {M}}}$ к

{ Displaystyle { langle} psi | F (p) phi { rangle} _ { mathcal {H}} = - { Prec} psi | phi { succ} _ {p}}

(куда ${ Displaystyle { Prec} psi | phi { succ} _ {p}}$ внутренний продукт на волокне ${ displaystyle S_ {p} { hat {M}}}$ ) и вводя универсальную меру как продвижение меры объема на ${ displaystyle { hat {M}}}$ ,

{ Displaystyle rho = F _ {*} д му {,},}

получается причинная фермионная система. Чтобы локальные корреляционные операторы были четко определены, ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ должен состоять из непрерывных секций, что обычно требует введения регуляризация в микроскопическом масштабе ${ displaystyle varepsilon}$ . В пределе ${ Displaystyle varepsilon Searrow 0}$ , все внутренние структуры на причинной фермионной системе (такие как причинная структура, связь и кривизна) переходят в соответствующие структуры на лоренцевом спиновом многообразии.^[5] Таким образом, геометрия пространства-времени полностью закодирована в соответствующих причинных фермионных системах.

Квантовая механика и классические уравнения поля

Уравнения Эйлера-Лагранжа, соответствующие принципу причинного действия, имеют четко определенный предел, если пространство-время ${ Displaystyle M: = { текст {supp}} , rho}$ причинных фермионных систем переходят в Пространство Минковского. Более конкретно, рассматривается последовательность причинных фермионных систем (например, с ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ конечномерных, чтобы гарантировать существование фермиониковского фоковского состояния, а также минимизаторов причинного действия), так что соответствующие волновые функции переходят в конфигурацию взаимодействующих морей Дирака, включающих дополнительные состояния частиц или "дырки" в моря. Эта процедура, именуемая континуальный предел, дает эффективные уравнения, имеющие структуру Уравнение Дирака в сочетании с классической уравнения поля. Например, для упрощенной модели, включающей три элементарных фермионных частицы со спином два, взаимодействие через классическое аксиальное калибровочное поле ${ displaystyle A}$ ^[2] описанный вместе Дирак- и Уравнения Янга-Миллса

{ Displaystyle { begin {выровнено} (я частичное ! ! ! / + гамма ^ {5} A ! ! ! / -m) psi & = 0 C_ {0 } ( partial _ {j} ^ {k} A ^ {j} - Box A ^ {k}) - C_ {2} A ^ {k} & = 12 pi ^ {2} { bar { psi}} gamma ^ {5} gamma ^ {k} psi ,. end {выровнено}}}

Переходя к нерелятивистскому пределу уравнения Дирака, получаем Уравнение Паули или Уравнение Шредингера, давая корреспонденцию квантовая механика. Здесь ${ displaystyle C_ {0}}$ и ${ displaystyle C_ {2}}$ зависят от регуляризации и определяют константу связи, а также массу покоя.

Точно так же для системы, включающей нейтрино в размерности спина 4, эффективно получается массивная ${ displaystyle SU (2)}$ калибровочное поле, связанное с левой компонентой спиноров Дирака.^[2] Конфигурацию фермионов стандартной модели можно описать в размерности спина 16.^[1]

Уравнения поля Эйнштейна

Для только что упомянутой системы с нейтрино^[2] континуальный предел также дает Уравнения поля Эйнштейна в сочетании со спинорами Дирака,

{ displaystyle R_ {jk} - { frac {1} {2}} , R , g_ {jk} + Lambda , g_ {jk} = kappa , T_ {jk} [ Psi, A ] ,,}

с точностью до поправок более высокого порядка по тензору кривизны. Здесь космологическая постоянная ${ displaystyle Lambda}$ не определено, и ${ displaystyle T_ {jk}}$ обозначает тензор энергии-импульса спиноров и ${ displaystyle SU (2)}$ калибровочное поле. Постоянная гравитации ${ displaystyle kappa}$ зависит от длины регуляризации.

Квантовая теория поля в пространстве Минковского

Исходя из связанной системы уравнений, полученной в непрерывном пределе, и разлагая по степеням константы связи, получаем интегралы, соответствующие Диаграммы Фейнмана на уровне дерева. Фермионные петлевые диаграммы возникают из-за взаимодействия с состояниями моря, тогда как бозонные петлевые диаграммы появляются при усреднении по микроскопической (в целом негладкой) пространственно-временной структуре причинной фермионной системы (так называемой микроскопическое перемешивание).^[3] Подробный анализ и сравнение со стандартной квантовой теорией поля еще продолжаются.^[4]

дальнейшее чтение

Веб-платформа по причинно-фермионным системам

[PFP-1] а ^б Финстер, Феликс (2006). Принцип фермионного проектора. Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3974-4. OCLC 61211466.Главы 1-4 Главы 5-8 Приложения

[cfs-2] а ^б ^c ^d Финстер, Феликс (2016). Предел континуума причинных фермионных систем.. Фундаментальные теории физики. 186. Чам: Издательство Springer International. arXiv:1605.04742. Дои:10.1007/978-3-319-42067-7. ISBN 978-3-319-42066-0. ISSN 0168-1222.

[qft-3] а ^б Финстер, Феликс (2014). «Пертурбативная квантовая теория поля в рамках фермионного проектора». Журнал математической физики. 55 (4): 042301. arXiv:1310.4121. Дои:10.1063/1.4871549. ISSN 0022-2488.

[fockbosonic-4] а ^б ^c Финстер, Феликс; Камран, Ники (2018). «Сложные структуры на реактивных пространствах и бозонная космическая динамика для причинно-вариационных принципов». arXiv:1808.03177. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)

[lqg-5] а ^б ^c ^d Финстер, Феликс; Гроц, Андреас (2012). «Лоренцева квантовая геометрия». Успехи теоретической и математической физики. 16 (4): 1197–1290. arXiv:1107.2026. Дои:10.4310 / atmp.2012.v16.n4.a3. ISSN 1095-0761.

[topology-6] а ^б Финстер, Феликс; Камран, Ники (2019). «Спиноры на особых пространствах и топология причинных фермионных систем». Мемуары Американского математического общества. 259 (1251): v + 83. arXiv:1403.7885. Дои:10.1090 / memo / 1251. ISSN 0065-9266.

[rrev-7] Финстер, Феликс; Гроц, Андреас; Шифенедер, Даниэла (2012). "Причинные фермионные системы: квантовое пространство-время, возникающее из принципа действия". Квантовая теория поля и гравитация. Базель: Springer Basel. стр.157 –182. arXiv:1102.2585. Дои:10.1007/978-3-0348-0043-3_9. ISBN 978-3-0348-0042-6.

[continuum-8] Финстер, Феликс (2010). «Причинно-вариационные принципы на пространствах с мерой». Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 2010 (646): 141–194. arXiv:0811.2666. Дои:10.1515 / crelle.2010.069. ISSN 0075-4102.

[noether-9] а ^б Финстер, Феликс; Кляйнер, Йоханнес (2016). «Нётер-подобные теоремы для причинно-вариационных принципов». Вариационное исчисление и уравнения с частными производными. 55: 35. arXiv:1506.09076. Дои:10.1007 / s00526-016-0966-y. ISSN 0944-2669.

[hamilton-10] а ^б Финстер, Феликс; Кляйнер, Йоханнес (2017). «Гамильтонова формулировка причинных вариационных принципов». Вариационное исчисление и уравнения с частными производными. 56: 73. arXiv:1612.07192. Дои:10.1007 / s00526-017-1153-5. ISSN 0944-2669.

[osi-11] Финстер, Феликс; Кляйнер, Йоханнес (2019). «Класс сохраняющихся интегралов поверхностного слоя для причинных вариационных принципов». Вариационное исчисление и уравнения с частными производными. 58: 38. arXiv:1801.08715. Дои:10.1007 / s00526-018-1469-9. ISSN 0944-2669.

[entangle-12] Финстер, Феликс (2010). «Запутанность и вторичное квантование в рамках фермионного проектора». Журнал физики A: математический и теоретический. 43 (39): 395302. arXiv:0911.0076. Дои:10.1088/1751-8113/43/39/395302. ISSN 1751-8113.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]