Дирак сопряженный - Dirac adjoint

В квантовая теория поля, то Дирак сопряженный определяет двойной работа Спинор Дирака. Сопряженный Дирака мотивирован необходимостью формировать из спиноров Дирака измеримые величины с хорошим поведением, заменяя обычную роль Эрмитово сопряженный.

Возможно, чтобы избежать путаницы с обычным Эрмитово сопряженный, в некоторых учебниках не дается название сопряженного по Дираку, а просто называется "ψ-бар".

Определение

Позволять ${ displaystyle psi}$ быть Спинор Дирака. Тогда его дираковский сопряженный определяется как

{ displaystyle { bar { psi}} Equiv psi ^ { dagger} gamma ^ {0}}

где ${ displaystyle psi ^ { dagger}}$ обозначает Эрмитово сопряженный спинора ${ displaystyle psi}$ , и ${ displaystyle gamma ^ {0}}$ похоже на время гамма-матрица.

Спиноры при преобразованиях Лоренца.

В Группа Лоренца из специальная теория относительности не является компактный, следовательно спинор представления из Преобразования Лоренца обычно не унитарный. То есть, если ${ displaystyle lambda}$ это проективное представление некоторого преобразования Лоренца,

{ Displaystyle psi mapsto lambda psi}

,

тогда вообще

{ displaystyle lambda ^ { dagger} neq lambda ^ {- 1}}

.

Эрмитово сопряжение спинора преобразуется согласно

{ displaystyle psi ^ { dagger} mapsto psi ^ { dagger} lambda ^ { dagger}}

.

Следовательно, ${ displaystyle psi ^ { dagger} psi}$ это не Скаляр Лоренца и ${ Displaystyle psi ^ { dagger} gamma ^ { mu} psi}$ даже не Эрмитский.

Дирак, напротив, сопоставляет преобразование по

{ displaystyle { bar { psi}} mapsto left ( lambda psi right) ^ { dagger} gamma ^ {0}}

.

Используя личность ${ displaystyle gamma ^ {0} lambda ^ { dagger} gamma ^ {0} = lambda ^ {- 1}}$ , преобразование сводится к

{ displaystyle { bar { psi}} mapsto { bar { psi}} lambda ^ {- 1}}

,

Таким образом, ${ displaystyle { bar { psi}} psi}$ преобразуется как скаляр Лоренца и ${ displaystyle { bar { psi}} gamma ^ { mu} psi}$ как четырехвекторный.

Применение

Используя присоединение Дирака, вероятность четырехтокового J для поля частиц со спином 1/2 можно записать как

{ Displaystyle J ^ { mu} = c { bar { psi}} gamma ^ { mu} psi}

где c скорость света и составляющие J представляют собой плотность вероятности ρ и вероятность 3-ток j:

{ displaystyle { boldsymbol {J}} = (c rho, { boldsymbol {j}})}

.

Принимая μ = 0 и используя соотношение для гамма-матрицы

{ Displaystyle влево ( гамма ^ {0} вправо) ^ {2} = I}

,

плотность вероятности становится

{ displaystyle rho = psi ^ { dagger} psi}

.

Смотрите также

использованная литература

Б. Брансден и К. Иоахейн (2000). Квантовая механика, 2д, Пирсон. ISBN 0-582-35691-1.
М. Пескин и Д. Шредер (1995). Введение в квантовую теорию поля, Westview Press. ISBN 0-201-50397-2.
А. Зи (2003). Квантовая теория поля в двух словах, Princeton University Press. ISBN 0-691-01019-6.