Бета-функция (физика) - Beta function (physics)

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Фон Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Сильная сила Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия переноса пространства Симметрия перевода времени Симметрия вращения Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга – Миллса Нётер заряд Топологический заряд
инструменты Аномалия Переход Эффективная теория поля Ценность ожидания Призрачные поля Призраки Фаддеева – Попова Диаграмма Фейнмана Решеточная калибровочная теория Формула восстановления LSZ Функция разделения Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Вайтмана Параметризация Фейнмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна – Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера – ДеВитта Уравнения Баргмана – Вигнера Уравнение Джооса – Вайнберга Уравнение Вейля
Стандартная модель Квантовое вакуумное состояние Квантовая динамика Квантовая термодинамика Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса Виртуальная частица
Неполные теории Причинная динамическая триангуляция Причинные фермионные системы Причинные множества Конформная теория поля Море Дирака Теория возмущений Двумерная конформная теория поля Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени Теория теплового квантового поля Топологическая квантовая теория поля Квантовая геометрия Полуклассическая гравитация Отжим пена Теория струн Теория суперструн М-Теория Суперсимметрия Супергравитация Разноцветный Теория всего Каноническая квантовая гравитация Квантовая гравитация Петлевая квантовая гравитация Петлевая квантовая космология Теория скрытых переменных Теория объективного коллапса
Ученые Адлер Андерсон Быть Боголюбов Коулман Каллан ДеВитт Дирак Дайсон Ферми Фейнман Фирц Фок Fröhlich Гелл-Манн Голдстоун Валовой Гейзенберг 'т Хофт Джеки Иордания Ландо Ли Lehmann Мандельштам Майорана Намбу Паризи Поляков Салам Швингер Skyrme Штюкельберг Симанзик Томонага Вельтман Вайнберг Weisskopf Weyl Вильчек Уилсон Виттен Ян Юкава Циммерманн Зинн-Джастин

В теоретическая физика в частности квантовая теория поля, а бета-функция, β (г), кодирует зависимость параметр связи, грамм, на шкала энергии, μ, данного физического процесса, описываемого квантовая теория поля.Он определяется как

${ Displaystyle бета (г) = { гидроразрыва { partial g} { partial log ( mu)}} ~,}$

и из-за лежащих в основе ренормализационная группа, он не имеет явной зависимости от μ, так что это зависит только от μ неявно через граммЭта зависимость от указанного таким образом масштаба энергии известна как Бег параметра связи, фундаментальной особенности зависимости от масштаба в квантовой теории поля, и ее явное вычисление достижимо с помощью различных математических методов.

Масштабная инвариантность

Если бета-функции квантовой теории поля обращаются в нуль, обычно при определенных значениях параметров связи, то теория называется масштабно-инвариантный. Почти все масштабно-инвариантные КТП также конформно инвариантный. Изучение таких теорий конформная теория поля.

Параметры связи квантовой теории поля могут работать, даже если соответствующие классическая теория поля масштабно-инвариантно. В этом случае ненулевая бета-функция говорит нам, что классическая масштабная инвариантность равна аномальный.

Примеры

Бета-функции обычно вычисляются в какой-то приближенной схеме. Примером является теория возмущений, где предполагается, что параметры связи малы. Затем можно произвести разложение по степеням параметров связи и усечь члены более высокого порядка (также известные как высшие петля вкладов за счет количества петель в соответствующих Графики Фейнмана ).

Вот несколько примеров бета-функций, вычисленных в теории возмущений:

Квантовая электродинамика

Однопетлевая бета-функция в квантовая электродинамика (QED) - это

• ${ displaystyle beta (e) = { frac {e ^ {3}} {12 pi ^ {2}}} ~,}$

или, что то же самое,

• ${ Displaystyle бета ( альфа) = { гидроразрыва {2 альфа ^ {2}} {3 pi}} ~,}$

написано с точки зрения постоянная тонкой структуры в натуральных единицах, α = е²/ 4π.

Эта бета-функция говорит нам, что связь увеличивается с увеличением масштаба энергии, и QED становится сильно связанной при высокой энергии. Фактически, связь, очевидно, становится бесконечной при некоторой конечной энергии, в результате чего Полюс Ландау. Однако нельзя ожидать, что пертурбативная бета-функция даст точные результаты при сильной связи, и поэтому вполне вероятно, что полюс Ландау является артефактом применения теории возмущений в ситуации, когда она больше не действует.

Квантовая хромодинамика

Однопетлевая бета-функция в квантовая хромодинамика с ${ displaystyle n_ {f}}$ ароматы и ${ displaystyle n_ {s}}$ скалярные цветные бозоны

${ displaystyle beta (g) = - left (11 - { frac {n_ {s}} {6}} - { frac {2n_ {f}} {3}} right) { frac {g ^ {3}} {16 pi ^ {2}}} ~,}$

или

${ displaystyle beta ( alpha _ {s}) = - left (11 - { frac {n_ {s}} {6}} - { frac {2n_ {f}} {3}} right) { frac { alpha _ {s} ^ {2}} {2 pi}} ~,}$

написано в терминах α_s = ${ displaystyle g ^ {2} / 4 pi}$ .

Если п_ж ≤ 16, вытекающая из этого бета-функция указывает, что связь уменьшается с увеличением масштаба энергии, явление, известное как асимптотическая свобода. И наоборот, связь увеличивается с уменьшением масштаба энергии. Это означает, что связь становится большой при низких энергиях, и больше нельзя полагаться на теорию возмущений.

SU (N) Неабелева калибровочная теория

В то время как калибровочная группа (Янга-Миллса) КХД является ${ displaystyle SU (3)}$, и определяет 3 цвета, мы можем обобщить на любое количество цветов, ${ displaystyle N_ {c}}$, с калибровочной группой ${ displaystyle G = SU (N_ {c})}$. Тогда для этой калибровочной группы с фермионами Дирака в представление ${ displaystyle R_ {f}}$ из ${ displaystyle G}$ и со сложными скалярами в представлении ${ displaystyle R_ {s}}$, однопетлевой бета-функция

${ displaystyle beta (g) = - left ({ frac {11} {3}} C_ {2} (G) - { frac {1} {3}} n_ {s} T (R_ {s }) - { frac {4} {3}} n_ {f} T (R_ {f}) right) { frac {g ^ {3}} {16 pi ^ {2}}} ~,}$

где ${ Displaystyle C_ {2} (G)}$ это квадратичный Казимир из ${ displaystyle G}$ и ${ Displaystyle T (R)}$ - еще один инвариант Казимира, определяемый формулой ${ displaystyle Tr (T_ {R} ^ {a} T_ {R} ^ {b}) = T (R) delta ^ {ab}}$ для генераторов ${ displaystyle T_ {R} ^ {a, b}}$ алгебры Ли в представлении R. (Для Weyl или Майорана фермионы, заменять ${ displaystyle 4/3}$ к ${ displaystyle 2/3}$, а для действительных скаляров заменить ${ displaystyle 1/3}$ к ${ displaystyle 1/6}$.) Для калибровочных полей (т.е. глюонов), обязательно в прилегающий из ${ displaystyle G}$, ${ displaystyle C_ {2} (G) = N_ {c}}$; для фермионов в фундаментальный (или антифундаментальное) представление ${ displaystyle G}$, ${ Displaystyle T (R) = 1/2}$. Тогда для КХД с ${ displaystyle N_ {c} = 3}$, приведенное выше уравнение сводится к уравнению, указанному для бета-функции квантовой хромодинамики.

Этот знаменитый результат был получен почти одновременно в 1973 г. Политцер,^[1] Валовой и Вильчек,^[2] за что все трое были награждены Нобелевская премия по физике в 2004 году. Без ведома этих авторов, Дж. Т Хоофт объявил результат в комментарии после выступления К. Симанжика на небольшом собрании в Марселе в июне 1972 г., но так и не опубликовал его.^[3]

Стандартная модель муфт Хиггса-Юкавы

в Стандартная модель, кварки и лептоны имеют "Муфты Юкава "к бозон Хиггса. Они определяют массу частицы. Большинство юкавских взаимодействий кварков и лептонов малы по сравнению с верхний кварк Юкава сцепление. Эти связи Юкавы меняют свои значения в зависимости от шкалы энергий, на которой они измеряются, через Бег. Динамика юкавских взаимодействий кварков определяется уравнение ренормгруппы:

${ displaystyle mu { frac { partial} { partial mu}} y приблизительно { frac {y} {16 pi ^ {2}}} left ({ frac {9} {2} } y ^ {2} -8g_ {3} ^ {2} right)}$,

где ${ displaystyle g_ {3}}$ это цвет калибр сцепление (которое является функцией ${ displaystyle mu}$ и связаны с асимптотическая свобода ) и ${ displaystyle y}$ - связь Юкавы. Это уравнение описывает, как связь Юкавы изменяется в зависимости от масштаба энергии. ${ displaystyle mu}$.

Юкавские связи верхних, нижних, очаровательных, странных и нижних кварков малы на чрезвычайно высоком энергетическом уровне великое объединение, ${ displaystyle mu приблизительно 10 ^ {15}}$ ГэВ. Следовательно ${ displaystyle y ^ {2}}$ Членом можно пренебречь в приведенном выше уравнении. Решая, мы обнаруживаем, что ${ displaystyle y}$ немного увеличивается на низкоэнергетических масштабах, на которых массы кварков генерируются Хиггсом, ${ displaystyle mu приблизительно 100}$ ГэВ.

С другой стороны, решения этого уравнения при больших начальных значениях ${ displaystyle y}$ вызвать rhs быстро приближаться к меньшим значениям по мере того, как мы спускаемся по шкале энергии. Приведенное выше уравнение затем блокирует ${ displaystyle y}$ к связке КХД ${ displaystyle g_ {3}}$. Это известно как (инфракрасная) квази-неподвижная точка уравнения ренормгруппы для взаимодействия Юкавы.^[4][5] Независимо от того, каково начальное начальное значение связи, если оно достаточно велико, оно достигнет этого значения квазификсированной точки, и соответствующая масса кварка предсказана.

Значение квазификсированной точки довольно точно определяется в Стандартной модели, что приводит к предсказанному верхний кварк масса 230 ГэВ. Наблюдаемая масса топ-кварка 174 ГэВ немного ниже предсказания стандартной модели примерно на 30%, что предполагает, что может быть больше дублетов Хиггса, чем бозон Хиггса стандартной модели.

Минимальная суперсимметричная стандартная модель

Групповые исследования реномализации в минимальной суперсимметричной стандартной модели (MSSM) великого объединения и фиксированных точек Хиггса-Юкавы очень обнадеживают, что теория движется в правильном направлении. Однако до сих пор никаких доказательств предсказанных частиц MSSM в экспериментах на Большой адронный коллайдер.

Смотрите также

• Фиксированная точка Бэнкса – Закса
• Уравнение Каллана-Симанзика
• Квантовая тривиальность

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Пескин, М. и Шредер, Д .; Введение в квантовую теорию поля, Westview Press (1995). Стандартный вводный текст, охватывающий многие темы в QFT, включая расчет бета-функций; особенно см. главу 16.
• Вайнберг, Стивен; Квантовая теория полей, (3 тома) Cambridge University Press (1995). Монументальный трактат по QFT.
• Зинн-Джастин, Жан; Квантовая теория поля и критические явления, Издательство Оксфордского университета (2002). Акцент на ренормализационную группу и смежные темы.

внешняя ссылка