Уравнения Баргмана – Вигнера - Bargmann–Wigner equations

В этой статье используется Соглашение о суммировании Эйнштейна за тензор /спинор индексы и использование шляпы за квантовые операторы.

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Фон Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Сильная сила Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия переноса пространства Симметрия перевода времени Симметрия вращения Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга – Миллса Нётер заряд Топологический заряд
Инструменты Аномалия Переход Эффективная теория поля Ценность ожидания Призрачные поля Призраки Фаддеева – Попова Диаграмма Фейнмана Решеточная калибровочная теория Формула восстановления LSZ Функция разделения Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Вайтмана Параметризация Фейнмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна – Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера – ДеВитта Уравнения Баргмана – Вигнера Уравнение Джооса – Вайнберга Уравнение Вейля
Стандартная модель Квантовое вакуумное состояние Квантовая динамика Квантовая термодинамика Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса Виртуальная частица
Неполные теории Причинная динамическая триангуляция Причинные фермионные системы Причинные множества Конформная теория поля Море Дирака Теория возмущений Двумерная конформная теория поля Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени Теория теплового квантового поля Топологическая квантовая теория поля Квантовая геометрия Полуклассическая гравитация Отжим пена Теория струн Теория суперструн М-Теория Суперсимметрия Супергравитация Разноцветный Теория всего Каноническая квантовая гравитация Квантовая гравитация Петлевая квантовая гравитация Петлевая квантовая космология Теория скрытых переменных Теория объективного коллапса
Ученые Адлер Андерсон Быть Боголюбов Коулман Каллан ДеВитт Дирак Дайсон Ферми Фейнман Фирц Фок Fröhlich Гелл-Манн Голдстоун Валовой Гейзенберг 'т Хофт Джеки Иордания Ландо Ли Lehmann Мандельштам Майорана Намбу Паризи Поляков Салам Швингер Skyrme Штюкельберг Симанзик Томонага Вельтман Вайнберг Weisskopf Weyl Вильчек Уилсон Виттен Ян Юкава Циммерманн Зинн-Джастин

В релятивистский квантовая механика и квантовая теория поля, то Уравнения Баргмана – Вигнера описывать свободные частицы произвольных вращение j, целое число для бозоны (j = 1, 2, 3 ...) или полуцелое для фермионы (j = ​¹⁄₂, ​³⁄₂, ​⁵⁄₂ ...). Решениями уравнений являются волновые функции, математически в виде многокомпонентных спинорные поля.

Они названы в честь Валентин Баргманн и Юджин Вигнер.

История

Поль Дирак впервые опубликовал Уравнение Дирака в 1928 году, а позже (1936) распространил его на частицы любого полуцелого спина до того, как Фирц и Паули впоследствии нашли те же уравнения в 1939 году, и примерно за десять лет до Баргмана и Вигнера.^[1] Юджин Вигнер написал в 1937 году статью о унитарные представления неоднородного Группа Лоренца, или Группа Пуанкаре.^[2] Заметки Вигнера Этторе Майорана и Дирак использовали инфинитезимальные операторы, применяемые к функциям. Вигнер классифицирует представления как неприводимые, факториальные и унитарные.

В 1948 г. Валентин Баргманн и Вигнер опубликовал уравнения, теперь названные в их честь, в статье о теоретико-групповом обсуждении релятивистских волновых уравнений.^[3]

Постановка уравнений

За свободную частицу спина j без электрический заряд, уравнения BW представляют собой набор 2j соединенный линейный уравнения в частных производных, каждая из которых имеет математическую форму, аналогичную Уравнение Дирака. Полная система уравнений^[1][4][5]

${ displaystyle { begin {align} & left (- gamma ^ { mu} { hat {P}} _ { mu} + mc right) _ { alpha _ {1} alpha _ { 1} '} psi _ { alpha' _ {1} alpha _ {2} alpha _ {3} cdots alpha _ {2j}} = 0 & left (- gamma ^ { mu} { hat {P}} _ { mu} + mc right) _ { alpha _ {2} alpha _ {2} '} psi _ { alpha _ {1} alpha' _ { 2} alpha _ {3} cdots alpha _ {2j}} = 0 & qquad vdots & left (- gamma ^ { mu} { hat {P}} _ { mu} + mc right) _ { alpha _ {2j} alpha '_ {2j}} psi _ { alpha _ {1} alpha _ {2} alpha _ {3} cdots alpha' _ {2j}} = 0 конец {выровнено}}}$

которые следуют шаблону;

${ displaystyle left (- gamma ^ { mu} { hat {P}} _ { mu} + mc right) _ { alpha _ {r} alpha '_ {r}} psi _ { alpha _ {1} cdots alpha '_ {r} cdots alpha _ {2j}} = 0}$

(1)

за р = 1, 2, ... 2j. (Некоторые авторы, например, Лоиде и Саар^[4] использовать п = 2j удалить множители 2. Также квантовое число спина обычно обозначается s в квантовой механике, однако в этом контексте j более типичен в литературе). Вся волновая функция ψ = ψ(р, т) имеет компоненты

${ Displaystyle psi _ { alpha _ {1} alpha _ {2} alpha _ {3} cdots alpha _ {2j}} ( mathbf {r}, t)}$

и имеет ранг-2j 4-х компонентный спинорное поле. Каждый индекс принимает значения 1, 2, 3 или 4, поэтому есть 4^2j компоненты всего спинорного поля ψ, хотя полностью симметричная волновая функция уменьшает количество независимых компонент до 2(2j + 1). Дальше, γ^μ = (γ⁰, γ) являются гамма-матрицы, и

${ displaystyle { hat {P}} _ { mu} = я hbar partial _ { mu}}$

это 4-импульсный оператор.

Оператор, составляющий каждое уравнение, (−γ^μп_μ + MC) = (−яγ^μ∂_μ + MC), это 4 × 4 матрица, из-за γ^μ матрицы, а MC срок скалярные умножители в 4 × 4 единичная матрица (обычно не пишется для простоты). В явном виде в Представление Дирака гамма-матриц:^[1]

${ displaystyle { begin {align} - gamma ^ { mu} { hat {P}} _ { mu} + mc & = - gamma ^ {0} { frac { hat {E}} { c}} - { boldsymbol { gamma}} cdot (- { hat { mathbf {p}}}) + mc [6pt] & = - { begin {pmatrix} I_ {2} & 0 0 & -I_ {2} end {pmatrix}} { frac { hat {E}} {c}} + { begin {pmatrix} 0 & { boldsymbol { sigma}} cdot { hat { mathbf {p}}} - { boldsymbol { sigma}} cdot { hat { mathbf {p}}} & 0 end {pmatrix}} + { begin {pmatrix} I_ { 2} & 0 0 & I_ {2} end {pmatrix}} mc [8pt] & = { begin {pmatrix} - { frac { hat {E}} {c}} + mc & 0 & { hat {p}} _ {z} & { hat {p}} _ {x} -i { hat {p}} _ {y} 0 & - { frac { hat {E}} {c }} + mc & { hat {p}} _ {x} + i { hat {p}} _ {y} & - { hat {p}} _ {z} - { hat {p} } _ {z} & - ({ hat {p}} _ {x} -i { hat {p}} _ {y}) & { frac { hat {E}} {c}} + mc & 0 - ({ hat {p}} _ {x} + i { hat {p}} _ {y}) & { hat {p}} _ {z} & 0 & { frac { hat {E }} {c}} + mc конец {pmatrix}} конец {выровненный}}}$

куда σ = (σ₁, σ₂, σ₃) = (σ_Икс, σ_у, σ_z) вектор Матрицы Паули, E это оператор энергии, п = (п₁, п₂, п₃) = (п_Икс, п_у, п_z) это 3-импульсный оператор, я₂ обозначает 2 × 2 единичная матрица, нули (во второй строке) на самом деле 2 × 2 блоки из нулевые матрицы.

Вышеупомянутый матричный оператор контракты с одним биспинорным индексом ψ за раз (см. матричное умножение ), поэтому некоторые свойства уравнения Дирака также применимы к уравнениям BW:

• уравнения лоренцевы ковариантны,
• все компоненты решений ψ также удовлетворить Уравнение Клейна – Гордона, и, следовательно, выполнить релятивистское соотношение энергия-импульс,

${ displaystyle E ^ {2} = (шт) ^ {2} + (mc ^ {2}) ^ {2}}$

• второе квантование все еще возможно.

В отличие от уравнения Дирака, которое может включать электромагнитное поле через минимальное сцепление, формализм Ч / Б содержит внутренние противоречия и трудности при учете взаимодействия электромагнитного поля. Другими словами, изменение невозможно. п_μ → п_μ − eA_μ, куда е это электрический заряд частицы и А_μ = (А₀, А) это электромагнитный четырехпотенциальный.^[6][7] Косвенным подходом к исследованию электромагнитных влияний частицы является получение электромагнитного четырехтоковый токи и мультипольные моменты для частицы, а не включать взаимодействия в сами волновые уравнения.^[8][9]

Структура группы Лоренца

В представление группы Лоренца для уравнений BW есть^[6]

${ displaystyle D ^ { mathrm {BW}} = bigotimes _ {r = 1} ^ {2j} left [D_ {r} ^ {(1 / 2,0)} oplus D_ {r} ^ { (0,1 / 2)} right] ,.}$

где каждый D_р неприводимое представление. Это представление не имеет определенного спина, если только j равно 1/2 или 0. Можно выполнить Разложение Клебша – Гордана найти несводимый (А, B) термины и, следовательно, содержание спина. Эта избыточность требует, чтобы частица определенного спина j что трансформируется под D^BW представление удовлетворяет уравнениям поля.

Представления D^{(j, 0)} и D^{(0, j)} каждая может отдельно представлять частицы спина j. Состояние или квантовое поле в таком представлении не удовлетворяет никакому уравнению поля, кроме уравнения Клейна-Гордона.

Формулировка в искривленном пространстве-времени

Вслед за М. Кенмоку,^[10] в локальном пространстве Минковского гамма-матрицы удовлетворяют антикоммутация связи:

${ displaystyle [ gamma ^ {i}, gamma ^ {j}] _ {+} = 2 eta ^ {ij} I_ {4}}$

куда η^ij = diag (−1, 1, 1, 1) это Метрика Минковского. Для латинских индексов здесь я, j = 0, 1, 2, 3. В искривленном пространстве-времени они похожи:

${ displaystyle [ gamma ^ { mu}, gamma ^ { nu}] _ {+} = 2g ^ { mu nu}}$

где пространственные гамма-матрицы сжаты с Vierbein б_я^μ чтобы получить γ^μ = б_я^μ γ^я, и грамм^μν = б^яμб_я^ν это метрический тензор. Для греческих индексов; μ, ν = 0, 1, 2, 3.

А ковариантная производная для спиноров дается выражением

${ Displaystyle { mathcal {D}} _ { mu} = partial _ { mu} + Omega _ { mu}}$

с связь Ω данные с точки зрения спин-соединение ω к:

${ displaystyle Omega _ { mu} = { frac {1} {4}} partial _ { mu} omega ^ {ij} ( gamma _ {i} gamma _ {j} - gamma _ {j} gamma _ {i})}$

Ковариантная производная преобразуется как ψ:

${ Displaystyle { mathcal {D}} _ { mu} psi rightarrow D ( Lambda) { mathcal {D}} _ { mu} psi}$

При такой установке уравнение (1) становится:

${ displaystyle { begin {align} & (- я hbar gamma ^ { mu} { mathcal {D}} _ { mu} + mc) _ { alpha _ {1} alpha _ {1 } '} psi _ { alpha' _ {1} alpha _ {2} alpha _ {3} cdots alpha _ {2j}} = 0 & (- i hbar gamma ^ { mu} { mathcal {D}} _ { mu} + mc) _ { alpha _ {2} alpha _ {2} '} psi _ { alpha _ {1} alpha' _ {2} alpha _ {3} cdots alpha _ {2j}} = 0 & qquad vdots & (- i hbar gamma ^ { mu} { mathcal {D}} _ { mu } + mc) _ { alpha _ {2j} alpha '_ {2j}} psi _ { alpha _ {1} alpha _ {2} alpha _ {3} cdots alpha' _ {2j }} = 0 ,. конец {выровнено}}}$

Смотрите также

• Двухчастичное уравнение Дирака
• Обобщения матриц Паули
• D-матрица Вигнера
• Матрицы Вейля – Брауэра
• Гамма-матрицы более высокой размерности
• Уравнение Джооса – Вайнберга, альтернативные уравнения, описывающие свободные частицы любого спина

Рекомендации

Примечания

дальнейшее чтение

Книги

Избранные статьи

внешняя ссылка

Релятивистские волновые уравнения:

• Матрицы Дирака в более высоких измерениях, Демонстрационный проект Wolfram
• Изучение полей спина 1, П. Кэхилл, К. Кэхилл, Университет Нью-Мексико^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Уравнения поля для безмассовых бозонов из формализма Дирака – Вайнберга, R.W. Davies, K.T.R. Дэвис, П. Зори, Д.С. Нидик, Американский журнал физики
• Квантовая теория поля I, Мартин Мойжиш
• Уравнение Баргмана – Вигнера: уравнение поля для произвольного спина, Фарзад Кассеми, Школа и семинар ИПМ по космологии, ИПМ, Тегеран, Иран

Группы Лоренца в релятивистской квантовой физике:

• Представительства Lorentz Group, indiana.edu
• Приложение C: группа Лоренца и алгебра Дирака, mcgill.ca^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Группа Лоренца, релятивистские частицы и квантовая механика, Д. Э. Сопер, Орегонский университет, 2011 г.
• Представления групп Лоренца и Пуанкаре, Дж. Мацейко, Стэнфордский университет
• Представления группы симметрии пространства-времени, К. Дрейк, М. Файнберг, Д. Гильд, Э. Турецкий, 2009 г.