Спиновое соединение - Spin connection

В дифференциальная геометрия и математическая физика, а спин-соединение это связь на спинорный пучок. Он индуцируется каноническим образом из аффинная связь. Его также можно рассматривать как калибровочное поле генерируется местными Преобразования Лоренца. В некоторых канонических формулировках общей теории относительности спиновая связь определяется на пространственных срезах и может также рассматриваться как калибровочное поле, порожденное локальным вращения.

Спиновое соединение встречается в двух распространенных формах: Леви-Чивита спиновое соединение, когда он получен из Леви-Чивита связь, а аффинная спиновая связь, когда он получается из аффинной связности. Разница между ними в том, что связь Леви-Чивита по определению является единственной без кручения связь, тогда как аффинная связь (и, следовательно, аффинная спиновая связь) может содержать кручение.

Определение

Позволять ${ Displaystyle е _ { му} ^ {; , а}}$ быть местным Лоренцем поля кадра или же Vierbein (также известная как тетрада), которая представляет собой набор ортогональных векторных полей пространства-времени, которые диагонализируют метрический тензор

{ displaystyle g _ { mu nu} = e _ { mu} ^ {; , a} e _ { nu} ^ {; , b} eta _ {ab},}

куда ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ метрика пространства-времени и ${ displaystyle eta _ {ab}}$ это Метрика Минковского. Здесь латинскими буквами обозначен местный Лоренц индексы кадров; Греческие индексы обозначают общие координатные индексы. Это просто означает, что ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ , когда написано с точки зрения основы ${ Displaystyle е _ { му} ^ {; , а}}$ , локально плоская. Индексы греческого vierbein могут быть увеличены или уменьшены в метрической системе, т.е. ${ displaystyle g ^ { mu nu}}$ или же ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ . Латинские или «лоренцевы» индексы Вербейна могут быть увеличены или уменьшены на ${ displaystyle eta ^ {ab}}$ или же ${ displaystyle eta _ {ab}}$ соответственно. Например, ${ Displaystyle е ^ { му а} = г ^ { му ню} е _ { ню} ^ {; , а}}$ и ${ Displaystyle е _ { ню а} = eta _ {ab} е _ { ню} ^ {; , b}}$

В без кручения спин-связь задается

{ displaystyle omega _ { mu} ^ { ab} = e _ { nu} ^ { a} Gamma _ { sigma mu} ^ { nu} e ^ { sigma b} + e_ { nu} ^ { a} partial _ { mu} e ^ { nu b} = e _ { nu} ^ { a} Gamma _ { sigma mu} ^ { nu} e ^ { sigma b} -e ^ { nu b} partial _ { mu} e _ { nu} ^ { a},}

куда ${ displaystyle Gamma _ { mu nu} ^ { sigma}}$ являются Символы Кристоффеля. Это определение следует рассматривать как определение спинового соединения без кручения, поскольку, по соглашению, символы Кристоффеля являются производными от Леви-Чивита связь, которая является единственной метрической согласованной связностью без кручения на римановом многообразии. В общем, ограничений нет: спиновое соединение также может содержать кручение.

Обратите внимание, что ${ displaystyle omega _ { mu} ^ { ab} = e _ { nu} ^ { a} partial _ {; mu} e ^ { nu b} = e _ { nu} ^ { a} ( partial _ { mu} e ^ { nu b} + Gamma _ { sigma mu} ^ { nu} e ^ { sigma b})}$ используя гравитационную ковариантную производную ${ Displaystyle partial _ {; mu} е ^ { ню б}}$ контравариантного вектора ${ Displaystyle е ^ { ню б}}$ . Спиновую связь можно записать чисто в терминах поля Вирбейна как^[1]

{ displaystyle omega _ { mu} ^ { ab} = { frac {1} {2}} e ^ { nu a} ( partial _ { mu} e _ { nu} ^ { b } - partial _ { nu} e _ { mu} ^ { b}) - { frac {1} {2}} e ^ { nu b} ( partial _ { mu} e _ { nu } ^ { a} - partial _ { nu} e _ { mu} ^ { a}) - { frac {1} {2}} e ^ { rho a} e ^ { sigma b} ( partial _ { rho} e _ { sigma c} - partial _ { sigma} e _ { rho c}) e _ { mu} ^ { c},}

которая по определению антисимметрична по своим внутренним индексам ${ displaystyle a, b}$ .

Спиновое соединение ${ displaystyle omega _ { mu} ^ { ab}}$ определяет ковариантную производную ${ displaystyle D _ { mu}}$ на обобщенных тензорах. Например, его действие на ${ Displaystyle V _ { nu} ^ { a}}$ является

{ Displaystyle D _ { mu} V _ { nu} ^ { a} = partial _ { mu} V _ { nu} ^ { a} + {{ omega _ { mu}} ^ {a }} _ {b} V _ { nu} ^ { b} - Gamma _ { nu mu} ^ { sigma} V _ { sigma} ^ { a}}

Структурные уравнения Картана

в Картановский формализм, спиновое соединение используется для определения кручения и кривизны. Их легче всего прочитать, работая с дифференциальные формы, так как за этим скрывается изобилие индексов. Представленные здесь уравнения фактически являются повторением тех, которые можно найти в статье о форма подключения и форма кривизны. Основное отличие состоит в том, что они сохраняют индексы на vierbein, а не полностью их скрывают. В более узком смысле, формализм Картана следует интерпретировать в его историческом контексте как обобщение идеи аффинная связь к однородное пространство; это еще не так широко, как идея основная связь на пучок волокон. Он служит подходящей промежуточной точкой между более узкой настройкой в Риманова геометрия и полностью абстрактную настройку жгута волокон, тем самым подчеркивая сходство с калибровочная теория. Обратите внимание, что структурные уравнения Картана, как они выражены здесь, имеют прямой аналог: Уравнения Маурера – Картана за Группы Ли (то есть это те же уравнения, но в другой настройке и обозначении).

Письмо

{ Displaystyle е ^ {а} = е _ { му} ^ {; , а} dx ^ { му}}

для ортонормированных координат на котангенсный пучок, одна форма аффинной спиновой связности есть

{ Displaystyle omega ^ {ab} = omega _ { mu} ^ {; ; ab} dx ^ { mu}}

В кручение 2-форма дается

{ displaystyle Theta ^ {a} = de ^ {a} + omega _ {; b} ^ {a} wedge e ^ {b}}

в то время как кривизна 2-форма является

{ Displaystyle R _ {; , b} ^ {a} = d omega _ {; , b} ^ {a} + omega _ {; c} ^ {a} wedge omega _ { ; , b} ^ {c} = { frac {1} {2}} R _ {; , bcd} ^ {a} e ^ {c} wedge e ^ {d}}

Эти два уравнения, вместе взятые, называются Структурные уравнения Картана.^[2]Последовательность требует, чтобы Бьянки идентичности подчиняться. Первое тождество Бьянки получается взятием внешней производной от кручения:

{ displaystyle d Theta ^ {a} + omega _ {; b} ^ {a} wedge Theta ^ {b} = R _ {; , b} ^ {a} wedge e ^ {b }}

а второй - дифференцированием кривизны:

{ displaystyle dR _ {; , b} ^ {a} + omega _ {; c} ^ {a} wedge R _ {; , b} ^ {c} -R _ {; , c } ^ {a} wedge omega _ {; b} ^ {c} = 0.}

Ковариантная производная для общего дифференциальная форма ${ displaystyle V _ {; , b} ^ {a}}$ степени п определяется

{ Displaystyle DV _ {; , b} ^ {a} = dV _ {; , b} ^ {a} + omega _ {; c} ^ {a} wedge V _ {; , b } ^ {c} - (- 1) ^ {p} V _ {; , c} ^ {a} wedge omega _ {; b} ^ {c}.}

Затем вторая личность Бьянки становится

{ displaystyle DR _ {; , b} ^ {a} = 0.}

Разница между соединением с кручением и уникальным соединением без кручения определяется тензор искривления. Связь с кручением обычно встречается в теориях телепараллелизм, Теория Эйнштейна – Картана, калибровочная теория гравитации и супергравитация.

Вывод

Метричность

Легко вывести, повышая и понижая индексы по мере необходимости, что поля кадра определяется ${ displaystyle g _ { mu nu} = {e _ { mu}} ^ {a} {e _ { nu}} ^ {b} eta _ {ab}}$ также удовлетворит ${ displaystyle {е _ { mu}} ^ {a} {e ^ { mu}} _ {b} = delta _ {b} ^ {a}}$ и ${ displaystyle {е _ { mu}} ^ {b} {e ^ { nu}} _ {b} = delta _ { mu} ^ { nu}}$ . Мы ожидаем, что ${ displaystyle D _ { mu}}$ также аннигилирует метрику Минковского ${ displaystyle eta _ {ab}}$ ,

{ displaystyle D _ { mu} eta _ {ab} = partial _ { mu} eta _ {ab} - { omega _ { mu a}} ^ {c} eta _ {cb} - { omega _ { mu b}} ^ {c} eta _ {ac} = 0.}

Это означает, что соединение антисимметрично по своим внутренним индексам, ${ displaystyle { omega _ { mu}} ^ {ab} = - { omega _ { mu}} ^ {ba}.}$ Это также выводится путем взятия гравитационной ковариантной производной ${ displaystyle partial _ {; beta} ({е _ { mu}} ^ {a} {e ^ { mu}} _ {b}) = 0}$ откуда следует, что ${ displaystyle partial _ {; beta} {e _ { mu}} ^ {a} {e ^ { mu}} _ {b} = - {e _ { mu}} ^ {a} partial _ {; beta} {e ^ { mu}} _ {b}}$ таким образом, в конечном итоге, ${ displaystyle { omega _ { beta}} ^ {ab} = - { omega _ { beta}} ^ {ba}}$ . Иногда это называют условие метричности;^[2] это аналогично более часто устанавливаемому условию метричности, что ${ displaystyle g _ { mu nu; alpha} = 0.}$ Заметим, что это условие выполняется только для спиновой связности Леви-Чивиты, но не для аффинной спиновой связности вообще.

Подставляя формулу для символов Кристоффеля ${ displaystyle { Gamma ^ { nu}} _ { sigma mu} = {1 over 2} g ^ { nu delta} ( partial _ { sigma} g _ { delta mu} + partial _ { mu} g _ { sigma delta} - partial _ { delta} g _ { sigma mu})}$ написано с точки зрения ${ Displaystyle {е _ { mu}} ^ {а}}$ , спиновая связь может быть полностью записана в терминах ${ Displaystyle {е _ { mu}} ^ {а}}$ ,

{ displaystyle { omega _ { mu}} ^ {ab} = e ^ { nu [a} ({{e _ { nu}} ^ {b]}} _ {, mu} - {{e_ { mu}} ^ {b]}} _ {, nu} + e ^ { sigma | b]} {e _ { mu}} ^ {c} e _ { nu c, sigma})}

где антисимметризация индексов имеет неявный множитель 1/2.

По метрической совместимости

Эта формула может быть получена другим способом. Чтобы напрямую решить условие совместимости спинового соединения ${ displaystyle { omega _ { mu}} ^ {ab}}$ , можно использовать тот же прием, который использовался для решения ${ Displaystyle набла _ { ро} г _ { альфа бета} = 0}$ для символов Кристоффеля ${ displaystyle { Gamma ^ { gamma}} _ { alpha beta}}$ . Сначала заключите условие совместимости, чтобы

{ displaystyle {e ^ { alpha}} _ {b} {e ^ { beta}} _ {c} ( partial _ {[ alpha} e _ { beta] a} + { omega _ {[ alpha a}} ^ {d} ; e _ { beta] d}) = 0}

.

Затем произведите циклическую перестановку свободных индексов ${ displaystyle a, b,}$ и ${ displaystyle c}$ , и сложите и вычтите три полученных уравнения:

{ displaystyle Omega _ {bca} + Omega _ {abc} - Omega _ {cab} +2 {e ^ { alpha}} _ {b} omega _ { alpha ac} = 0}

где мы использовали определение ${ displaystyle Omega _ {bca}: = {e ^ { alpha}} _ {b} {e ^ { beta}} _ {c} partial _ {[ alpha} e _ { beta] a} }$ . Решение для спинового соединения:

{ displaystyle omega _ { alpha ca} = {1 over 2} {e _ { alpha}} ^ {b} ( Omega _ {bca} + Omega _ {abc} - Omega _ {cab} )}

.

Отсюда получаем ту же формулу, что и раньше.

Приложения

Спиновая связь возникает в Уравнение Дирака когда выражено на языке искривленное пространство-время, видеть Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени. В частности, есть проблемы, связанные с привязкой гравитации к спинор полей: нет конечномерных спинорных представлений общая ковариационная группа. Однако, конечно, существуют спинорные представления о Группа Лоренца. Этот факт используется с помощью тетрадных полей, описывающих плоское касательное пространство в каждой точке пространства-времени. В Матрицы Дирака ${ Displaystyle gamma ^ {а}}$ заключены на vierbiens,

{ Displaystyle гамма ^ {а} {е ^ { му}} _ {а} (х) = гамма ^ { му} (х)}

.

Мы хотим построить общековариантное уравнение Дирака. Под плоским касательным пространством Преобразование Лоренца спинор преобразуется как

{ Displaystyle psi mapsto e ^ {я epsilon ^ {ab} (x) sigma _ {ab}} psi}

Мы ввели локальные преобразования Лоренца на плоском касательном пространстве, порожденные ${ displaystyle sigma _ {ab}}$ такие, что ${ displaystyle epsilon _ {ab}}$ это функция пространства-времени. Это означает, что частная производная спинора больше не является истинным тензором. Как обычно, вводится поле связи ${ displaystyle { omega _ { mu}} ^ {ab}}$ что позволяет нам калибровать группу Лоренца. Ковариантная производная, определенная с помощью спиновой связи, равна

{ displaystyle nabla _ { mu} psi = ( partial _ { mu} - {я более 4} { omega _ { mu}} ^ {ab} sigma _ {ab}) psi = ( partial _ { mu} - {i over 4} e ^ { nu a} partial _ {; mu} {e _ { nu}} ^ {b} sigma _ {ab}) psi}

,

и является настоящим тензором, а уравнение Дирака переписывается как

{ Displaystyle (я гамма ^ { му} набла _ { му} -м) psi = 0}

.

Общековариантное действие фермионов связывает фермионы с гравитацией при добавлении к первому порядку тетрадное действие Палатини,

{ displaystyle { mathcal {L}} = - {1 over 2 kappa ^ {2}} e , {e ^ { mu}} _ {a} {e ^ { nu}} _ {b } { Omega _ { mu nu}} ^ {ab} [ omega] + e { overline { psi}} (i gamma ^ { mu} nabla _ { mu} -m) psi}

куда ${ displaystyle e: = det {e _ { mu}} ^ {a} = { sqrt {-g}}}$ и ${ displaystyle { Omega _ { mu nu}} ^ {ab}}$ - кривизна спинового соединения.

Тетрадическая формулировка общей теории относительности Палатини, которая является формулировкой первого порядка теории относительности. Действие Эйнштейна – Гильберта где тетрада и спиновая связь - основные независимые переменные. В версии 3 + 1 формулировки Палатини информация о пространственной метрике, ${ Displaystyle q_ {ab} (х)}$ , закодировано в триаде ${ displaystyle e_ {a} ^ {i}}$ (трехмерный, пространственный вариант тетрады). Здесь мы расширяем условие метрической совместимости ${ displaystyle D_ {a} q_ {bc} = 0}$ к ${ displaystyle e_ {a} ^ {i}}$ , то есть, ${ displaystyle D_ {a} e_ {b} ^ {i} = 0}$ и мы получаем формулу, аналогичную приведенной выше, но для пространственной спиновой связи ${ displaystyle Gamma _ {a} ^ {ij}}$ .

Пространственная спиновая связь появляется в определении Переменные Аштекара-Барберо что позволяет переписать общую теорию относительности 3 + 1 как особый тип ${ Displaystyle mathrm {SU} (2)}$ Ян – Миллс калибровочная теория. Один определяет ${ displaystyle Gamma _ {a} ^ {i} = epsilon ^ {ijk} Gamma _ {a} ^ {jk}}$ . Переменная связи Аштекар-Барберо затем определяется как ${ displaystyle A_ {a} ^ {i} = Gamma _ {a} ^ {i} + beta c_ {a} ^ {i}}$ куда ${ displaystyle c_ {a} ^ {i} = c_ {ab} e ^ {bi}}$ и ${ displaystyle c_ {ab}}$ это внешний кривизна и ${ displaystyle beta}$ это Параметр Иммирзи. С ${ displaystyle A_ {a} ^ {i}}$ в качестве конфигурационной переменной сопряженный импульс представляет собой уплотненную триаду ${ displaystyle E_ {a} ^ {i} = | det (e) | e_ {a} ^ {i}}$ . С 3 + 1 общая теория относительности переписывается как особый тип ${ Displaystyle mathrm {SU} (2)}$ Ян – Миллс калибровочной теории, она позволяет импортировать непертурбативные методы, используемые в Квантовая хромодинамика канонической квантовой общей теории относительности.