Действие Эйнштейна – Гильберта - Einstein–Hilbert action

Часть цикла статей о
Общая теория относительности
${ displaystyle G _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} T _ { mu nu}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип относительности Теория относительности Точка зрения Инерциальная система отсчета Рама отдыха Рамка центра импульса Световой конус Принцип эквивалентности Эквивалентность массы и энергии Специальная теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Масштаб относительности Мировая линия Подходящее время Риманова геометрия Энергетическое состояние
Явления Гравитоэлектромагнетизм Проблема Кеплера Сила тяжести Гравитационное поле Гравитационный колодец Гравитационное линзирование Гравитационные волны Гравитационное красное смещение Красное смещение Синее смещение Замедление времени Гравитационное замедление времени Задержка Шапиро Гравитационный потенциал Гравитационное сжатие Гравитационный коллапс Перетаскивание кадра Геодезический эффект Видимый горизонт Горизонт событий Гравитационная сингулярность Обнаженная особенность Черная дыра Белая дыра Пространство-время Космос Время Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Замкнутая временная кривая (СТС) Червоточина Червоточина Эллиса
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Инвариант кривизны (общая теория относительности) Лоренцево многообразие Формализмы ADM БССН Ньюман – Пенроуз Постньютоновский Продвинутая теория Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация Супергравитация
Решения Шварцшильд (интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль – Льюис – Папапетру Вакуумный раствор
Теоремы Теорема Биркгофа Теорема Героха о расщеплении Теорема Гольдберга – Сакса. Теорема Лавлока Теорема об отсутствии волос Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях Теорема положительной энергии
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Бардин Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие

В Действие Эйнштейна – Гильберта (также называемый Действие Гильберта^[1]) в общая теория относительности это действие что дает Уравнения поля Эйнштейна сквозь принцип наименьшего действия. С (− + + +) метрическая подпись, гравитационная часть действия имеет вид^[2]

${ Displaystyle S = {1 более 2 каппа} int R { sqrt {-g}} , mathrm {d} ^ {4} x,}$

куда ${ Displaystyle г = Det (г _ { му ню})}$ является определителем метрический тензор матрица ${ displaystyle R}$ это Скаляр Риччи, и ${ displaystyle kappa = 8 pi Gc ^ {- 4}}$ это Гравитационная постоянная Эйнштейна (${ displaystyle G}$ это гравитационная постоянная и ${ displaystyle c}$ это скорость света в вакууме). Если он сходится, интеграл берется по всей пространство-время. Если не сходится, ${ displaystyle S}$ больше не является четко определенным, но модифицированное определение, при котором интегрирование по произвольно большим, относительно компактным областям, по-прежнему дает уравнение Эйнштейна как Уравнение Эйлера – Лагранжа. действия Эйнштейна – Гильберта.

Действие было впервые предложено Дэвид Гильберт в 1915 г.

Обсуждение

Вывод уравнений движения из действия имеет несколько преимуществ. Во-первых, это позволяет легко объединить общую теорию относительности с другими классическими теориями поля (такими как Теория Максвелла ), которые также формулируются в терминах действия. При этом вывод определяет естественного кандидата на роль источника, связывающего метрику с полями материи. Более того, симметрия действия позволяет легко идентифицировать сохраняемые величины с помощью Теорема Нётер.

В общей теории относительности действие обычно считается функциональный метрики (и полей материи), а связь дается Леви-Чивита связь. В Состав Palatini Общая теория относительности предполагает, что метрика и связь независимы, и изменяется по отношению к обоим независимо, что позволяет включать поля фермионной материи с нецелочисленным спином.

Уравнения Эйнштейна в присутствии вещества задаются путем добавления действия вещества к действию Эйнштейна-Гильберта.

Вывод уравнений поля Эйнштейна.

Предположим, что полное действие теории дается членом Эйнштейна – Гильберта плюс член ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}}$ описывающих любые поля материи, встречающиеся в теории.

${ displaystyle S = int left [{ frac {1} {2 kappa}} R + { mathcal {L}} _ { mathrm {M}} right] { sqrt {-g}} , mathrm {d} ^ {4} x}$.

(1)

В принцип действия затем говорит нам, что для восстановления физического закона мы должны потребовать, чтобы вариация этого действия по отношению к обратной метрике была равна нулю, что дает

${ displaystyle { begin {align} 0 & = delta S & = int left [{ frac {1} {2 kappa}} { frac { delta ({ sqrt {-g}} R)} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac { delta ({ sqrt {-g}} { mathcal {L}} _ { mathrm {M}})} { delta g ^ { mu nu}}} right] delta g ^ { mu nu} , mathrm {d} ^ {4} x & = int left [{ frac { 1} {2 kappa}} left ({ frac { delta R} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac {R} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} right) + { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta ({ sqrt {-g}} { mathcal {L}} _ { mathrm {M}})} { delta g ^ { mu nu}}} right] delta g ^ { mu nu} { sqrt {-g}} , mathrm {d} ^ {4} x end {выровнено}}}$.

Поскольку это уравнение должно выполняться для любой вариации ${ displaystyle delta g ^ { mu nu}}$, это означает, что

${ displaystyle { frac { delta R} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac {R} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt { -g}}} { delta g ^ { mu nu}}} = - 2 kappa { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta ({ sqrt {- g}} { mathcal {L}} _ { mathrm {M}})} { delta g ^ { mu nu}}}}$

(2)

это уравнение движения для метрического поля. Правая часть этого уравнения (по определению) пропорциональна тензор энергии-импульса,^[3]

${ displaystyle T _ { mu nu}: = { frac {-2} { sqrt {-g}}} { frac { delta ({ sqrt {-g}} { mathcal {L}}) _ { mathrm {M}})} { delta g ^ { mu nu}}} = - 2 { frac { delta { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { дельта g ^ { mu nu}}} + g _ { mu nu} { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}}$.

Для вычисления левой части уравнения нам потребуются вариации скаляра Риччи ${ displaystyle R}$ и определитель метрики. Их можно получить с помощью стандартных расчетов из учебника, таких как приведенный ниже, который сильно основан на расчетах, приведенных в Кэрролл 2004 Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFCarroll2004 (помощь).

Вариация тензора Римана, тензора Риччи и скаляра Риччи

Для расчета вариации Скаляр Риччи сначала вычисляем вариацию Тензор кривизны Римана, а затем вариация тензора Риччи. Итак, тензор кривизны Римана определяется как

${ Displaystyle {R ^ { rho}} _ { sigma mu nu} = partial _ { mu} Gamma _ { nu sigma} ^ { rho} - partial _ { nu} Gamma _ { mu sigma} ^ { rho} + Gamma _ { mu lambda} ^ { rho} Gamma _ { nu sigma} ^ { lambda} - Gamma _ { nu lambda} ^ { rho} Gamma _ { mu sigma} ^ { lambda}}$.

Поскольку кривизна Римана зависит только от Леви-Чивита связь ${ displaystyle Gamma _ { mu nu} ^ { lambda}}$, вариацию тензора Римана можно рассчитать как

${ displaystyle delta {R ^ { rho}} _ { sigma mu nu} = partial _ { mu} delta Gamma _ { nu sigma} ^ { rho} - partial _ { nu} delta Gamma _ { mu sigma} ^ { rho} + delta Gamma _ { mu lambda} ^ { rho} Gamma _ { nu sigma} ^ { lambda } + Gamma _ { mu lambda} ^ { rho} delta Gamma _ { nu sigma} ^ { lambda} - delta Gamma _ { nu lambda} ^ { rho} Гамма _ { mu sigma} ^ { lambda} - Gamma _ { nu lambda} ^ { rho} delta Gamma _ { mu sigma} ^ { lambda}}$.

Теперь, поскольку ${ displaystyle delta Gamma _ { nu sigma} ^ { rho}}$ это разность двух связей, это тензор, и поэтому мы можем вычислить ее ковариантная производная,

${ displaystyle nabla _ { mu} left ( delta Gamma _ { nu sigma} ^ { rho} right) = partial _ { mu} ( delta Gamma _ { nu sigma} ^ { rho}) + Gamma _ { mu lambda} ^ { rho} delta Gamma _ { nu sigma} ^ { lambda} - Gamma _ { mu nu} ^ { lambda} delta Gamma _ { lambda sigma} ^ { rho} - Gamma _ { mu sigma} ^ { lambda} delta Gamma _ { nu lambda} ^ { rho }}$.

Теперь мы можем заметить, что приведенное выше выражение для изменения тензора кривизны Римана равно разности двух таких членов:

${ displaystyle delta {R ^ { rho}} _ { sigma mu nu} = nabla _ { mu} left ( delta Gamma _ { nu sigma} ^ { rho} справа) - nabla _ { nu} left ( delta Gamma _ { mu sigma} ^ { rho} right)}$.

Теперь мы можем получить вариацию Тензор кривизны Риччи просто сжав два индекса вариации тензора Римана, и получим Фирменный стиль Палатини:

${ displaystyle delta R _ { sigma nu} Equiv delta {R ^ { rho}} _ { sigma rho nu} = nabla _ { rho} left ( delta Gamma _ { nu sigma} ^ { rho} right) - nabla _ { nu} left ( delta Gamma _ { rho sigma} ^ { rho} right)}$.

В Скаляр Риччи определяется как

${ Displaystyle R = г ^ { sigma nu} R _ { sigma nu}}$.

Следовательно, его вариация относительно обратной метрики ${ displaystyle g ^ { sigma nu}}$ дан кем-то

${ displaystyle { begin {align} delta R & = R _ { sigma nu} delta g ^ { sigma nu} + g ^ { sigma nu} delta R _ { sigma nu} & = R _ { sigma nu} delta g ^ { sigma nu} + nabla _ { rho} left (g ^ { sigma nu} delta Gamma _ { nu sigma} ^ { rho} -g ^ { sigma rho} delta Gamma _ { mu sigma} ^ { mu} right) end {align}}}$

Во второй строке мы использовали метрическую совместимость ковариантной производной, ${ Displaystyle набла _ { сигма} г ^ { му ню} = 0}$, а ранее полученный результат для изменения кривизны Риччи (во втором члене, переименовав фиктивные индексы ${ displaystyle rho}$ и ${ displaystyle nu}$ к ${ displaystyle mu}$ и ${ displaystyle rho}$ соответственно).

Последний срок,

${ displaystyle nabla _ { rho} left (g ^ { sigma nu} delta Gamma _ { nu sigma} ^ { rho} -g ^ { sigma rho} delta Gamma _ { mu sigma} ^ { mu} right)}$, т.е. ${ displaystyle nabla _ { rho} A ^ { rho} Equiv A ^ { lambda} {} _ {; lambda}}$ с ${ Displaystyle A ^ { rho} = g ^ { sigma nu} delta Gamma _ { nu sigma} ^ { rho} -g ^ { sigma rho} delta Gamma _ { му сигма} ^ { му}}$,

умножается на ${ displaystyle { sqrt {-g}}}$, становится полная производная, поскольку для любого вектор ${ displaystyle A ^ { lambda}}$ и любой тензорная плотность ${ displaystyle { sqrt {-g}} , A ^ { lambda}}$ у нас есть:

${ displaystyle { sqrt {-g}} , A _ {; lambda} ^ { lambda} = ({ sqrt {-g}} , A ^ { lambda}) _ {; lambda} = ({ sqrt {-g}} , A ^ { lambda}) _ {, lambda}}$ или же ${ displaystyle { sqrt {-g}} , nabla _ { mu} A ^ { mu} = nabla _ { mu} left ({ sqrt {-g}} , A ^ { mu} right) = partial _ { mu} left ({ sqrt {-g}} , A ^ { mu} right)}$

и таким образом Теорема Стокса дает только граничный член при интегрировании. Граничный член, как правило, не равен нулю, поскольку подынтегральное выражение зависит не только от ${ displaystyle delta g ^ { mu nu},}$ но и на его частных производных ${ displaystyle partial _ { lambda} , delta g ^ { mu nu} Equiv delta , partial _ { lambda} g ^ { mu nu}}$; посмотреть статью Граничный член Гиббонса – Хокинга – Йорка для подробностей. Однако когда вариация метрики ${ displaystyle delta g ^ { mu nu}}$ обращается в нуль в окрестности границы или когда границы нет, этот член не вносит вклад в изменение действия. Таким образом, получаем

${ displaystyle { frac { delta R} { delta g ^ { mu nu}}} = R _ { mu nu}}$.

(3)

в События не в закрытие границы.

Вариация определителя

Формула Якоби, правило дифференцирования детерминант, дает:

${ displaystyle delta g = delta det (g _ { mu nu}) = gg ^ { mu nu} delta g _ { mu nu}}$,

или можно было бы преобразовать в систему координат, где ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ является диагональным, а затем примените правило произведения, чтобы дифференцировать произведение факторов на главной диагонали. Используя это, мы получаем

${ displaystyle delta { sqrt {-g}} = - { frac {1} {2 { sqrt {-g}}}} delta g = { frac {1} {2}} { sqrt {-g}} left (g ^ { mu nu} delta g _ { mu nu} right) = - { frac {1} {2}} { sqrt {-g}} left (g _ { mu nu} delta g ^ { mu nu} right)}$

В последнем равенстве мы использовали тот факт, что

${ displaystyle g _ { mu nu} delta g ^ { mu nu} = - g ^ { mu nu} delta g _ { mu nu}}$

которое следует из правила дифференцирования обратной матрицы

${ displaystyle delta g ^ { mu nu} = - g ^ { mu alpha} left ( delta g _ { alpha beta} right) g ^ { beta nu}}$.

Таким образом, мы заключаем, что

${ displaystyle { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} = - { гидроразрыв {1} {2}} g _ { mu nu}}$.

(4)

Уравнение движения

Теперь, когда в нашем распоряжении есть все необходимые варианты, мы можем вставить (3) и (4) в уравнение движения (2) для метрического поля, чтобы получить

${ displaystyle R _ { mu nu} - { frac {1} {2}} g _ { mu nu} R = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} T _ { mu nu}}$,

(5)

какой Уравнения поля Эйнштейна, и

${ Displaystyle каппа = { гидроразрыва {8 pi G} {с ^ {4}}}}$

был выбран таким образом, что нерелятивистский предел дает обычная форма закона тяготения Ньютона, куда ${ displaystyle G}$ это гравитационная постоянная (видеть здесь подробнее).

Космологическая постоянная

Когда космологическая постоянная Λ входит в Лагранжиан, Действие:

${ Displaystyle S = int left [{ frac {1} {2 kappa}} (R-2 Lambda) + { mathcal {L}} _ { mathrm {M}} right] { sqrt {-g}} , mathrm {d} ^ {4} x}$

Варианты относительно обратной метрики:

${ displaystyle { begin {align} & delta S = int left [{ frac { sqrt {-g}} {2 kappa}} { frac { delta R} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac {R} {2 kappa}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} - { frac { Lambda} { kappa}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} + { sqrt {-g}} { frac { delta { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { delta g ^ { mu nu}}} + { mathcal {L}} _ { mathrm {M}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} right] delta g ^ { mu nu} mathrm {d} ^ {4} x = & = int left [{ frac {1} {2 kappa}} { frac { delta R} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac {R} {2 kappa}} { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} - { frac { Lambda} { kappa}} { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac { delta { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac {{ mathcal { L}} _ { mathrm {M}}} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} right] delta g ^ { mu nu} { sqrt {-g}} , mathrm {d} ^ {4} x end {выровнено}}}$

С использованием принцип действия:

${ displaystyle { begin {align} & delta S = 0 & { frac {1} {2 kappa}} { frac { delta R} { delta g ^ { mu nu}} } + { frac {R} {2 kappa}} { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} - { frac { Lambda} { kappa}} { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac { delta { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac {{ mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} = 0 конец {выровнен}}}$

Объединяя это выражение с результатами, полученными ранее:

${ displaystyle { begin {align} & { frac { delta R} { delta g ^ { mu nu}}} = R _ { mu nu} & { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} = { frac {-g _ { mu nu}} { 2}} & T _ { mu nu} = { mathcal {L}} _ { mathrm {M}} g _ { mu nu} -2 { frac { delta { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { delta g ^ { mu nu}}} конец {выровнено}}}$

Мы можем получить:

${ displaystyle { begin {align} & { frac {1} {2 kappa}} R _ { mu nu} + { frac {R} {2 kappa}} { frac {-g _ { mu nu}} {2}} - { frac { Lambda} { kappa}} { frac {-g _ { mu nu}} {2}} + left ({ frac { delta { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { delta g ^ { mu nu}}} + { mathcal {L}} _ { mathrm {M}} { frac {-g_ { mu nu}} {2}} right) = 0 & R _ { mu nu} - { frac {R} {2}} g _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} + kappa left (2 { frac { delta { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { delta g ^ { mu nu}}}} - { mathcal { L}} _ { mathrm {M}} g _ { mu nu} right) = 0 & R _ { mu nu} - { frac {R} {2}} g _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} - kappa T _ { mu nu} = 0 end {align}}}$

С ${ Displaystyle каппа = { гидроразрыва {8 pi G} {с ^ {4}}}}$, выражение переходит в уравнения поля с космологическая постоянная:

${ displaystyle R _ { mu nu} - { frac {1} {2}} g _ { mu nu} R + Lambda g _ { mu nu} = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} T _ { mu nu}.}$

Смотрите также

• Тензор Белинфанте – Розенфельда
• Теория Бранса – Дике (в котором постоянная k заменяется скалярным полем).
• Теория Эйнштейна – Картана
• Уравнения Эйнштейна – Максвелла – Дирака.
• f (R) гравитация (в котором скаляр Риччи заменен функцией кривизны Риччи)
• Граничный член Гиббонса – Хокинга – Йорка
• Теория Калуцы – Клейна
• Комар суперпотенциал
• Палатини действие
• Телепараллелизм
• Tetradic Palatini действие
• Вариационные методы в общей теории относительности
• Теорема Вермейля

Примечания

Библиография

• Миснер, Чарльз В.; Торн, Кип. С.; Уилер, Джон А. (1973), Гравитация, У. Х. Фриман, ISBN  978-0-7167-0344-0
• Вальд, Роберт М. (1984), Общая теория относительности, Издательство Чикагского университета, ISBN  978-0-226-87033-5
• Кэрролл, Шон М. (2004), Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности, Сан-Франциско: Аддисон-Уэсли, ISBN  978-0-8053-8732-2
• Гильберт, Д. (1915) Die Grundlagen der Physik (Немецкий оригинал бесплатно) (Перевод на английский за 25 долларов), Конигл. Гезелл. d. Wiss. Göttingen, Nachr. Math.-Phys. Kl. 395-407
• Соколов, Д. (2001) [1994], «Космологическая постоянная», Энциклопедия математики, EMS Press
• Фейнман, Ричард П. (1995), Лекции Фейнмана по гравитации, Эддисон-Уэсли, ISBN  0-201-62734-5
• Кристофер М. Хирата Лекция 33: Лагранжева формулировка ОТО (27 апреля 2012 г.).