Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях - Penrose–Hawking singularity theorems

Часть цикла статей о
Общая теория относительности
${ displaystyle G _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} T _ { mu nu}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип относительности Теория относительности Точка зрения Инерциальная система отсчета Рама отдыха Рамка центра импульса Световой конус Принцип эквивалентности Эквивалентность массы и энергии Специальная теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Масштаб относительности Мировая линия Подходящее время Риманова геометрия Энергетическое состояние
Явления Гравитоэлектромагнетизм Проблема Кеплера Сила тяжести Гравитационное поле Гравитационный колодец Гравитационное линзирование Гравитационные волны Гравитационное красное смещение Красное смещение Синее смещение Замедление времени Гравитационное замедление времени Задержка Шапиро Гравитационный потенциал Гравитационное сжатие Гравитационный коллапс Перетаскивание рамки Геодезический эффект Видимый горизонт Горизонт событий Гравитационная сингулярность Обнаженная особенность Черная дыра Белая дыра Пространство-время Космос Время Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Замкнутая временная кривая (СТС) Червоточина Червоточина Эллиса
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Инвариант кривизны (общая теория относительности) Лоренцево многообразие Формализмы ADM БССН Ньюман – Пенроуз Постньютоновский Продвинутая теория Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация Супергравитация
Решения Шварцшильд (интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль – Льюис – Папапетру Вакуумный раствор
Теоремы Теорема Биркгофа Теорема Героха о расщеплении Теорема Гольдберга – Сакса. Теорема Лавлока Теорема об отсутствии волос Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях Теорема положительной энергии
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Бардин Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие

В Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях (после Роджер Пенроуз и Стивен Хокинг ) представляют собой набор результатов в общая теория относительности эта попытка ответить на вопрос, когда гравитация производит особенности. Пенроуз выиграет 2020 год Нобелевская премия по физике «за открытие, что образование черной дыры является надежным предсказанием общей теории относительности», которым он поделился с Рейнхард Гензель и Андреа Гез.^[1]

Сингулярность

Особенность в решения уравнений поля Эйнштейна это одно из двух:

1. ситуация, когда материя вынуждена сжиматься до точки (пространственная сингулярность)
2. ситуация, когда определенные световые лучи исходят из области с бесконечной кривизной (временная сингулярность)

Пространственноподобные особенности являются особенностью невращающихся незаряженных черные дыры как описано Метрика Шварцшильда, а временные особенности - это те, которые возникают в точных решениях заряженной или вращающейся черной дыры. Оба они обладают свойством геодезическая неполнота, в котором либо некоторый световой путь, либо некоторый путь частицы не могут быть расширены за пределы определенного собственного времени или аффинного параметра (аффинный параметр является нулевым аналогом собственного времени).

Теорема Пенроуза гарантирует, что внутри возникает некоторая геодезическая неполнота. любой черная дыра всякий раз, когда материя удовлетворяет разумным энергетические условия. Энергетическое условие, требуемое для теоремы сингулярности черной дыры, является слабым: оно гласит, что световые лучи всегда фокусируются вместе под действием силы тяжести, никогда не расходятся, и это выполняется всякий раз, когда энергия вещества неотрицательна.

Теорема Хокинга о сингулярности применима ко всей вселенной и работает в обратном направлении: она гарантирует, что (классическая) Большой взрыв имеет бесконечную плотность.^[2] Эта теорема более ограничена и верна только тогда, когда материя подчиняется более сильному энергетическому условию, называемому доминирующее энергетическое состояние, в котором энергия больше давления. Вся обычная материя, за исключением математического ожидания вакуума скалярное поле, подчиняется этому условию. В течение инфляция, Вселенная нарушает доминирующее энергетическое условие, и это первоначально утверждалось (например, Старобинским^[3]), что инфляционные космологии могут избежать начальной сингулярности Большого взрыва. Однако с тех пор было показано, что инфляционные космологии все еще остаются незавершенными.^[4], и поэтому требуется физика, отличная от инфляции, для описания прошлой границы раздувающейся области пространства-времени.

До сих пор остается открытым вопрос, предсказывает ли (классическая) общая теория относительности временные сингулярности внутри реалистичных заряженных или вращающихся черных дыр, или же они являются артефактами высокосимметричных решений и превращаются в пространственно-подобные особенности при добавлении возмущений.

Толкование и значение

В общая теория относительности, сингулярность - это место, куда объекты или световые лучи могут достичь за конечное время, где кривизна становится бесконечной или пространство-время перестает быть многообразие. Сингулярности можно найти во всех пространствах-времени черных дыр, Метрика Шварцшильда, то Метрика Рейсснера – Нордстрема, то Метрика Керра и Метрика Керра – Ньюмана, и во всех космологических решениях, не имеющих энергии скалярного поля или космологической постоянной.

Невозможно предсказать, что может «выйти» из сингулярности большого взрыва в нашем прошлом или что произойдет с наблюдателем, который «попадает» в сингулярность черной дыры в будущем, поэтому они требуют модификации физического закона. До Пенроуза считалось, что сингулярности образуются только в надуманных ситуациях. Например, при обрушении звезда образовать черную дыру, если звезда вращается и, таким образом, обладает некоторыми угловой момент может быть центробежная сила частично противодействует гравитации и препятствует образованию сингулярности. Теоремы об особенностях доказывают, что этого не может быть и что сингулярность всегда образуется, когда горизонт событий формы.

В примере с коллапсирующей звездой, поскольку вся материя и энергия являются источником гравитационного притяжения в общей теории относительности, дополнительный угловой момент только сближает звезду сильнее, когда она сжимается: часть за пределами горизонта событий в конечном итоге оседает на Черная дыра Керра (видеть Теорема об отсутствии волос ). Часть внутри горизонта событий обязательно имеет где-то особенность. Доказательство в некоторой степени конструктивно - оно показывает, что сингулярность можно найти, проследив за световыми лучами от поверхности внутри горизонта. Но в доказательстве не говорится, какой тип сингулярности возникает - пространственноподобный, временноподобный, орбифолд, скачок разрыва в метрике. Это только гарантирует, что если следовать по временным геодезическим в будущее, то граница области, которую они формируют, не может быть сгенерирована нулевыми геодезическими с поверхности. Это означает, что граница должна исходить либо из ниоткуда, либо все будущее заканчивается каким-то конечным продолжением.

Интересная «философская» особенность общей теории относительности раскрывается теоремами об особенностях. Поскольку общая теория относительности предсказывает неизбежное возникновение сингулярностей, теория не будет полной без спецификации того, что происходит с материей, которая попадает в сингулярность. Общую теорию относительности можно распространить на единую теорию поля, такую ​​как Система Эйнштейна – Максвелла – Дирака., где таких особенностей нет.

Элементы теорем

В математике существует глубокая связь между кривизной многообразие и это топология. В Теорема Бонне – Майерса утверждает, что полное риманово многообразие, имеющее Кривизна Риччи везде больше определенной положительной константы должно быть компактный. Условие положительной кривизны Риччи удобнее всего сформулировать следующим образом: для каждой геодезической существует ближайшая первоначально параллельная геодезическая, которая будет изгибаться к ней при расширении, и эти две будут пересекаться на некоторой конечной длине.

Когда два рядом параллельных геодезические пересекаются, продолжение любого из них больше не является кратчайшим путем между конечными точками. Причина в том, что два параллельных геодезических пути обязательно сталкиваются после расширения равной длины, и если один путь идет до пересечения, а затем другой, вы соединяете конечные точки негеодезическим путем равной длины. Это означает, что для того, чтобы геодезическая была кратчайшей длиной, она никогда не должна пересекать соседние параллельные геодезические.

Начиная с небольшой сферы и отправляя параллельные геодезические от границы, предполагая, что многообразие имеет Кривизна Риччи ограниченная снизу положительной константой, через некоторое время ни одна из геодезических не станет кратчайшей, поскольку все они сталкиваются с соседом. Это означает, что после некоторого расширения были достигнуты все потенциально новые точки. Если все точки в подключенный коллектор находятся на конечном геодезическом расстоянии от малой сферы, многообразие должно быть компактным.

Роджер Пенроуз рассуждал аналогичным образом в теории относительности. Если нулевые геодезические, пути лучи света, отслеживаются в будущее, генерируются точки в будущее региона. Если точка находится на границе будущего региона, ее можно достичь, только двигаясь со скоростью света, не медленнее, поэтому нулевые геодезические включают всю границу правильное будущее региона.^{[нужна цитата ]} Когда нулевые геодезические пересекаются, они больше не находятся на границе будущего, они находятся внутри будущего. Итак, если все нулевые геодезические сталкиваются, будущее не имеет границ.

В теории относительности кривизна Риччи, которая определяет коллизионные свойства геодезических, определяется тензор энергии, а его проекция на световые лучи равна нулю-проекции тензора энергии-импульса и всегда неотрицательна. Это означает, что объем соответствие параллельных нулевых геодезических, как только он начнет уменьшаться, достигнет нуля за конечное время. Как только объем равен нулю, происходит обрушение в каком-то направлении, поэтому каждая геодезическая пересекает некоторого соседа.

Пенроуз пришел к выводу, что всякий раз, когда есть сфера, где все исходящие (и входящие) световые лучи изначально сходятся, граница будущего этой области закончится после конечного расширения, потому что все нулевые геодезические будут сходиться.^[5] Это важно, потому что исходящие световые лучи для любой сферы внутри горизонта черная дыра решения все сходятся, поэтому граница будущего этого региона либо компактна, либо идет из ниоткуда. Будущее интерьера либо заканчивается после конечного расширения, либо имеет границу, которая в конечном итоге генерируется новыми световыми лучами, которые не могут быть прослежены до исходной сферы.

Природа особенности

В теоремах об особенностях используется понятие геодезическая неполнота в качестве замены при наличии бесконечной кривизны. Геодезическая незавершенность - это представление о наличии геодезические, пути наблюдателей в пространстве-времени, которые могут быть продлены только в течение конечного времени, измеряемого наблюдателем, путешествующим по нему. Предположительно, в конце геодезической наблюдатель попал в сингулярность или столкнулся с какой-либо другой патологией, при которой нарушаются законы общей теории относительности.

Предположения теорем

Обычно теорема об особенностях состоит из трех компонентов:^[6]

1. An состояние энергии по вопросу,
2. Условие на глобальная структура пространства-времени,
3. Гравитация достаточно сильна (где-то), чтобы захватить область.

Для каждого ингредиента существуют разные возможности, и каждая приводит к разным теоремам сингулярности.

Используемые инструменты

Ключевым инструментом, используемым при формулировке и доказательстве теорем об особенностях, является Уравнение райчаудхури, который описывает дивергенцию ${ displaystyle theta}$ из соответствие (семейство) геодезических. Дивергенция сравнения определяется как производная от логарифма определителя объема сравнения. Уравнение Райчаудхури

${ displaystyle { dot { theta}} = - sigma _ {ab} sigma ^ {ab} - { frac {1} {3}} theta ^ {2} - {E [{ vec { X}}] ^ {a}} _ {a}}$

куда ${ displaystyle sigma _ {ab}}$ - тензор сдвига сравнения и ${ displaystyle {E [{ vec {X}}] ^ {a}} _ {a} = R_ {mn} , X ^ {m} , X ^ {n}}$ также известен как скаляр Райчаудхури (см. соответствие страницу для подробностей). Ключевым моментом является то, что ${ displaystyle {E [{ vec {X}}] ^ {a}} _ {a}}$ будет неотрицательным при условии, что Уравнения поля Эйнштейна держать и^[6]

• в нулевое энергетическое состояние выполняется и геодезическое сравнение равно нулю, или
• в сильное энергетическое состояние выполняется и геодезическая конгруэнция времениподобна.

Когда они верны, расходимость становится бесконечной при некотором конечном значении аффинного параметра. Таким образом, все геодезические, выходящие из точки, в конечном итоге снова сходятся через конечное время, если выполняется соответствующее энергетическое условие, результат, также известный как фокусирующая теорема.

Это актуально для сингулярностей благодаря следующему аргументу:

1. Предположим, у нас есть пространство-время, которое глобально гиперболический, и две точки ${ displaystyle p}$ и ${ displaystyle q}$ что может быть связано подобный времени или же нулевая кривая. Тогда существует геодезическая максимальной длины, соединяющая ${ displaystyle p}$ и ${ displaystyle q}$. Назовите это геодезическим ${ displaystyle gamma}$.
2. Геодезический ${ displaystyle gamma}$ может быть изменена на более длинную кривую, если другая геодезическая из ${ displaystyle p}$ пересекает ${ displaystyle gamma}$ в другой точке, называемой сопряженной точкой.
3. Из фокусирующей теоремы мы знаем, что все геодезические из ${ displaystyle p}$ имеют сопряженные точки при конечных значениях аффинного параметра. В частности, это верно для геодезической максимальной длины. Но это противоречие - поэтому можно заключить, что пространство-время геодезически неполно.

В общая теория относительности, существует несколько версий Теорема Пенроуза – Хокинга об особенностях. В большинстве версий примерно указано, что если есть захваченная нулевая поверхность и плотность энергии неотрицательно, то существуют геодезические конечной длины, которая не может быть расширена.^[7]

Эти теоремы, строго говоря, доказывают, что существует по крайней мере одна непространственноподобная геодезическая, которая может быть продолжена только в прошлое, но есть случаи, когда условия этих теорем выполняются таким образом, что все направленные в прошлое пространственно-временные пути заканчиваются в особенность.

Версии

Есть много версий. Вот нулевая версия:

Предполагать

1. В нулевое энергетическое состояние держит.
2. У нас есть некомпактный подключенный Поверхность Коши.
3. У нас закрытый захваченная нулевая поверхность ${ displaystyle { mathcal {T}}}$.

Тогда либо имеется нулевая геодезическая неполнота, либо замкнутые времяподобные кривые.

Эскиз доказательства: Доказательство от противного. Граница будущего ${ displaystyle { mathcal {T}}}$, ${ Displaystyle { точка {J}} ({ mathcal {T}})}$ генерируется нулевыми геодезическими сегментами, происходящими из ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ с ортогональными к нему касательными векторами. Будучи захваченной нулевой поверхностью, нулевым Уравнение райчаудхури, оба семейства нулевых лучей, исходящие из ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ встретит каустики. (Каустика сама по себе не вызывает проблем. Например, граница будущего двух пространственно-подобных разделенных точек - это объединение двух будущих световых конусов с удаленными внутренними частями пересечения. Каустика возникает там, где световые конусы пересекаются, но сингулярности нет. там.) Нулевые геодезические, порождающие ${ Displaystyle { точка {J}} ({ mathcal {T}})}$ должны, однако, завершиться, т.е. достичь своих будущих конечных точек на уровне каустики или раньше. В противном случае мы можем взять два нулевых геодезических сегмента, изменяющихся в каустике, а затем слегка деформировать их, чтобы получить временную кривую, соединяющую точку на границе с точкой на ${ displaystyle { mathcal {T}}}$, противоречие. Но, как ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ компактен, при непрерывной аффинной параметризации геодезических образующих существует нижняя граница модуля параметра разложения. Итак, мы знаем, что каустика будет развиваться для каждого генератора до того, как истечет равномерная граница аффинного параметра. Как результат, ${ Displaystyle { точка {J}} ({ mathcal {T}})}$ должен быть компактным. Либо у нас есть замкнутые времяподобные кривые, либо мы можем построить сравнение по времениподобным кривым, и каждая из них должна пересекать некомпактную поверхность Коши ровно один раз. Рассмотрим все такие времениподобные кривые, проходящие через ${ Displaystyle { точка {J}} ({ mathcal {T}})}$ и посмотрите на их изображение на поверхности Коши. Будучи непрерывной картой, изображение также должно быть компактным. Быть подобие времени, времяподобные кривые не могут пересекаться, поэтому карта инъективный. Если бы поверхность Коши была некомпактной, то изображение имеет границу. Мы предполагаем, что пространство-время состоит из одного связного элемента. Но ${ Displaystyle { точка {J}} ({ mathcal {T}})}$ компактно и безгранично, поскольку граница границы пуста. Непрерывная инъективная карта не может создавать границы, что дает нам противоречие.

Лазейки: Если существуют замкнутые времениподобные кривые, то времениподобные кривые не должны пересекать частичный Поверхность Коши. Если бы поверхность Коши была компактной, то есть пространство компактно, нулевые геодезические образующие границы могут пересекаться всюду, потому что они могут пересекаться на другой стороне пространства.

Существуют и другие версии теоремы о слабом или сильном энергетическом условии.

Модифицированная гравитация

В модифицированной гравитации уравнения поля Эйнштейна не выполняются, и поэтому эти особенности не обязательно возникают. Например, в Бесконечная производная гравитация, это возможно для ${ displaystyle {E [{ vec {X}}] ^ {a}} _ {a}}$ быть отрицательным, даже если выполняется условие нулевой энергии.^[8][9]

Примечания

Рекомендации

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Апрель 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

• Хокинг, Стивен и Эллис, Г. Ф. Р. (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-09906-4. Классическая ссылка.
• Натарио, Дж. (2006). «Относительность и сингулярности - краткое введение для математиков». Ресенхас. 6: 309–335. arXiv:math.DG / 0603190. Bibcode:2006математика ...... 3190N.
• Пенроуз, Роджер (1965), "Гравитационный коллапс и сингулярности пространства-времени", Phys. Rev. Lett., 14 (3): 57, Bibcode:1965ПхРвЛ..14 ... 57П, Дои:10.1103 / PhysRevLett.14.57
• Garfinkle, D .; Сеновилла, Дж. М. М. (2015), "Теорема Пенроуза 1965 г. об особенностях", Учебный класс. Квантовая гравитация., 32 (12): 124008, arXiv:1410.5226, Bibcode:2015CQGra..32l4008S, Дои:10.1088/0264-9381/32/12/124008, S2CID  54622511. Также доступно как arXiv:1410.5226
• Смотрите также arXiv:hep-th / 9409195 для соответствующей главы из Крупномасштабная структура пространства-времени.