Получение решения Шварцшильда - Deriving the Schwarzschild solution

В Решение Шварцшильда описывает пространство-время под воздействием массивного невращающегося сферически симметричного объекта. Некоторые считают его одним из самых простых и полезных решений Уравнения поля Эйнштейна.^{[нужна цитата ]}

Предположения и обозначения

Работая в карта координат с координатами ${ Displaystyle влево (г, тета, фи, т вправо)}$ помеченные соответственно от 1 до 4, мы начинаем с метрики в ее наиболее общем виде (10 независимых компонентов, каждая из которых является гладкой функцией от 4 переменных). Решение предполагается сферически-симметричным, статическим и вакуумным. Для целей данной статьи эти предположения могут быть сформулированы следующим образом (точные определения см. По соответствующим ссылкам):

1. А сферически симметричное пространство-время инвариантен относительно поворотов и зеркального отображения.
2. А статическое пространство-время - тот, в котором все метрические компоненты не зависят от временной координаты ${ displaystyle t}$ (так что ${ Displaystyle { tfrac { partial} { partial t}} g _ { mu nu} = 0}$), а геометрия пространства-времени не изменяется при обращении времени ${ Displaystyle т rightarrow -t}$.
3. А вакуумный раствор тот, который удовлетворяет уравнению ${ displaystyle T_ {ab} = 0}$. От Уравнения поля Эйнштейна (с нулевым космологическая постоянная ), отсюда следует, что ${ displaystyle R_ {ab} = 0}$ поскольку договор ${ displaystyle R_ {ab} - { tfrac {R} {2}} g_ {ab} = 0}$ дает ${ displaystyle R = 0}$.
4. Подпись метрики здесь используется (+, +, +, -).

Диагонализация метрики

Первое упрощение, которое необходимо сделать, - это диагонализация метрики. Под преобразование координат, ${ Displaystyle (г, тета, фи, т) вправо (г, тета, фи, -t)}$, все метрические компоненты должны остаться прежними. Метрические компоненты ${ displaystyle g _ { mu 4}}$ (${ displaystyle mu neq 4}$) изменяются при этом преобразовании как:

${ displaystyle g _ { mu 4} '= { frac { partial x ^ { alpha}} { partial x ^ {' mu}}} { frac { partial x ^ { beta}} { partial x ^ {'4}}} g _ { alpha beta} = - g _ { mu 4}}$ (${ displaystyle mu neq 4}$)

Но, как мы и ожидали ${ displaystyle g '_ { mu 4} = g _ { mu 4}}$ (метрические компоненты остаются прежними), это означает, что:

${ displaystyle g _ { mu 4} = , 0}$ (${ displaystyle mu neq 4}$)

Аналогично преобразования координат ${ Displaystyle (г, тета, фи, т) rightarrow (г, тета, - фи, т)}$ и ${ Displaystyle (г, тета, фи, т) rightarrow (г, - тета, фи, т)}$ соответственно дают:

${ displaystyle g _ { mu 3} = , 0}$ (${ displaystyle mu neq 3}$)

${ Displaystyle г _ { му 2} = , 0}$ (${ displaystyle mu neq 2}$)

Объединение всего этого дает:

${ Displaystyle г _ { му ню} = , 0}$ (${ displaystyle mu neq nu}$)

и, следовательно, метрика должна иметь вид:

${ displaystyle ds ^ {2} = , g_ {11} , dr ^ {2} + g_ {22} , d theta ^ {2} + g_ {33} , d phi ^ {2} + g_ {44} , dt ^ {2}}$

где четыре метрических компонента не зависят от временной координаты ${ displaystyle t}$ (по статическому предположению).

Упрощение компонентов

На каждом гиперповерхность постоянного ${ displaystyle t}$, постоянная ${ displaystyle theta}$ и постоянный ${ displaystyle phi}$ (т.е. на каждой радиальной линии), ${ displaystyle g_ {11}}$ должен зависеть только от ${ displaystyle r}$ (по сферической симметрии). Следовательно ${ displaystyle g_ {11}}$ является функцией одной переменной:

${ Displaystyle g_ {11} = А влево (г вправо)}$

Аналогичный аргумент применим к ${ displaystyle g_ {44}}$ показывает, что:

${ Displaystyle g_ {44} = В влево (г вправо)}$

О гиперповерхностях постоянной ${ displaystyle t}$ и постоянный ${ displaystyle r}$, требуется, чтобы метрика была метрикой 2-сферы:

${ displaystyle dl ^ {2} = r_ {0} ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2})}$

Выбирая одну из этих гиперповерхностей (с радиусом ${ displaystyle r_ {0}}$, скажем), ограниченные на эту гиперповерхность компоненты метрики (обозначим ее через ${ displaystyle { tilde {g}} _ {22}}$ и ${ displaystyle { tilde {g}} _ {33}}$) не должно изменяться при поворотах через ${ displaystyle theta}$ и ${ displaystyle phi}$ (опять же по сферической симметрии). Сравнение форм метрики на этой гиперповерхности дает:

${ displaystyle { tilde {g}} _ {22} left (d theta ^ {2} + { frac {{ tilde {g}} _ {33}} {{ tilde {g}} _ {22}}} , d phi ^ {2} right) = r_ {0} ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ { 2})}$

что сразу дает:

${ displaystyle { tilde {g}} _ {22} = r_ {0} ^ {2}}$ и ${ displaystyle { tilde {g}} _ {33} = r_ {0} ^ {2} sin ^ {2} theta}$

Но это требуется, чтобы удерживать каждую гиперповерхность; следовательно,

${ displaystyle g_ {22} = , r ^ {2}}$ и ${ displaystyle g_ {33} = , r ^ {2} sin ^ {2} theta}$

Альтернативный интуитивный способ увидеть, что ${ displaystyle g_ {22}}$ и ${ displaystyle g_ {33}}$ должно быть таким же, как для плоского пространства-времени, состоит в том, что растяжение или сжатие эластичного материала сферически симметричным образом (радиально) не изменит углового расстояния между двумя точками.

Таким образом, метрику можно представить в виде:

${ displaystyle ds ^ {2} = A left (r right) dr ^ {2} + r ^ {2} , d theta ^ {2} + r ^ {2} sin ^ {2} theta , d phi ^ {2} + B left (r right) dt ^ {2}}$

с участием ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ пока не определены функции ${ displaystyle r}$. Обратите внимание, что если ${ displaystyle A}$ или ${ displaystyle B}$ равен нулю в какой-то момент, метрика будет единственное число в таком случае.

Расчет символов Кристоффеля

Используя указанную выше метрику, мы находим Символы Кристоффеля, где индексы ${ Displaystyle (1,2,3,4) = (г, тета, фи, т)}$. Знак ${ displaystyle '}$ обозначает полную производную функции.

${ displaystyle Gamma _ {ik} ^ {1} = { begin {bmatrix} A '/ left (2A right) & 0 & 0 & 0 0 & -r / A & 0 & 0 0 & 0 & -r sin ^ {2} theta / A & 0 0 & 0 & 0 & -B '/ left (2A right) end {bmatrix}}}$

${ displaystyle Gamma _ {ik} ^ {2} = { begin {bmatrix} 0 & 1 / r & 0 & 0 1 / r & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & - sin theta cos theta & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {bmatrix}} }$

${ displaystyle Gamma _ {ik} ^ {3} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 / r & 0 0 & 0 & cot theta & 0 1 / r & cot theta & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {bmatrix}} }$

${ displaystyle Gamma _ {ik} ^ {4} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & B '/ left (2B right) 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 B' / left (2B right) & 0 & 0 & 0 конец {bmatrix}}}$

Используя уравнения поля, чтобы найти А (г) и B (г)

Чтобы определить ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$, то уравнения вакуумного поля работают:

${ Displaystyle Р _ { альфа бета} = , 0}$

Отсюда:

${ Displaystyle { Gamma _ { beta alpha, rho} ^ { rho}} - Gamma _ { rho alpha, beta} ^ { rho} + Gamma _ { rho lambda} ^ { rho} Gamma _ { beta alpha} ^ { lambda} - Gamma _ { beta lambda} ^ { rho} Gamma _ { rho alpha} ^ { lambda} = 0 ,,}$

где запятая используется для обозначения индекса, который используется для производной. Только три из этих уравнений нетривиальны и при упрощении становятся:

${ displaystyle 4A'B ^ {2} -2rB''AB + rA'B'B + rB '^ {2} A = 0 ,,}$

${ Displaystyle rA'B + 2A ^ {2} B-2AB-rB'A = 0 ,,}$

${ displaystyle -2rB''AB + rA'B'B + rB '^ {2} A-4B'AB = 0}$

(четвертое уравнение просто ${ displaystyle sin ^ {2} theta}$ умноженное на второе уравнение), где штрих означает р производная функций. Вычитание первого и третьего уравнений дает:

${ Displaystyle A'B + AB '= 0 Rightarrow A (r) B (r) = K}$

где ${ displaystyle K}$ является ненулевой действительной константой. Подстановка ${ Displaystyle А (г) В (г) , = К}$ во второе уравнение, и уборка дает:

${ Displaystyle rA '= А (1-А)}$

который имеет общее решение:

${ displaystyle A (r) = left (1 + { frac {1} {Sr}} right) ^ {- 1}}$

для некоторой ненулевой действительной постоянной ${ displaystyle S}$. Следовательно, метрика для статического сферически-симметричного вакуумного решения теперь имеет вид:

${ displaystyle ds ^ {2} = left (1 + { frac {1} {Sr}} right) ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} (d theta ^ {2 } + sin ^ {2} theta d phi ^ {2}) + K left (1 + { frac {1} {Sr}} right) dt ^ {2}}$

Обратите внимание, что пространство-время, представленное вышеуказанной метрикой, равно асимптотически плоский, т.е. как ${ displaystyle r rightarrow infty}$, метрика приближается к метрике Метрика Минковского и многообразие пространства-времени напоминает многообразие Пространство Минковского.

Используя приближение слабого поля, найти K и S

Эта диаграмма дает способ найти решение Шварцшильда с помощью приближения слабого поля. Равенство во второй строке дает г₄₄ = -c² + 2GM/р, предполагая, что искомое решение вырождается в метрику Минковского, когда движение происходит далеко от черной дыры (р приближается к положительной бесконечности).

Геодезические метрики (полученная при ${ displaystyle ds}$ экстремально) должен в некотором пределе (например, в сторону бесконечной скорости света) согласовываться с решениями ньютоновского движения (например, полученными Уравнения Лагранжа ). (Показатель также должен ограничиваться Пространство Минковского когда масса, которую он представляет, исчезает.)

${ displaystyle 0 = delta int { frac {ds} {dt}} dt = delta int (KE + PE_ {g}) dt}$

(где ${ displaystyle KE}$ кинетическая энергия и ${ displaystyle PE_ {g}}$ - потенциальная энергия гравитации) Константы ${ displaystyle K}$ и ${ displaystyle S}$ полностью определяются каким-либо вариантом этого подхода; от приближение слабого поля приходим к результату:

${ displaystyle g_ {44} = K left (1 + { frac {1} {Sr}} right) приблизительно -c ^ {2} + { frac {2Gm} {r}} = - c ^ {2} left (1 - { frac {2Gm} {c ^ {2} r}} right)}$

где ${ displaystyle G}$ это гравитационная постоянная, ${ displaystyle m}$ - масса гравитационного источника и ${ displaystyle c}$ это скорость света. Установлено, что:

${ Displaystyle К = , - с ^ {2}}$ и ${ displaystyle { frac {1} {S}} = - { frac {2Gm} {c ^ {2}}}}$

Отсюда:

${ displaystyle A (r) = left (1 - { frac {2Gm} {c ^ {2} r}} right) ^ {- 1}}$ и ${ displaystyle B (r) = - c ^ {2} left (1 - { frac {2Gm} {c ^ {2} r}} right)}$

Итак, метрику Шварцшильда окончательно можно записать в виде:

${ displaystyle ds ^ {2} = left (1 - { frac {2Gm} {c ^ {2} r}} right) ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta d phi ^ {2}) - c ^ {2} left (1 - { frac {2Gm} {c ^ {2} r}} справа) dt ^ {2}}$

Обратите внимание, что:

${ displaystyle { frac {2Gm} {c ^ {2}}} = r_ {s}}$

это определение Радиус Шварцшильда для объекта массы ${ displaystyle m}$, поэтому метрику Шварцшильда можно переписать в альтернативной форме:

${ displaystyle ds ^ {2} = left (1 - { frac {r_ {s}} {r}} right) ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta d phi ^ {2}) - c ^ {2} left (1 - { frac {r_ {s}} {r}} right) dt ^ {2}}$

что показывает, что метрика становится сингулярной при приближении к горизонт событий (это, ${ displaystyle r rightarrow r_ {s}}$). Метрическая особенность не является физической (хотя существует реальная физическая особенность при ${ displaystyle r = 0}$), что можно показать с помощью подходящего преобразования координат (например, Система координат Крускала – Секереса ).

Альтернативный вывод с использованием известной физики в особых случаях

Метрика Шварцшильда также может быть получена с использованием известной физики для круговой орбиты и временно стационарной точечной массы.^[1] Начните с метрики с коэффициентами, которые являются неизвестными коэффициентами ${ displaystyle r}$:

${ displaystyle -c ^ {2} = left ({ds over d tau} right) ^ {2} = A (r) left ({dr over d tau} right) ^ {2 } + r ^ {2} left ({d phi over d tau} right) ^ {2} + B (r) left ({dt over d tau} right) ^ {2} .}$

Теперь примените Уравнение Эйлера-Лагранжа к интегралу длины дуги ${ displaystyle {J = int _ { tau _ {1}} ^ { tau _ {2}} { sqrt {- left ({ text {d}} s / { text {d}}) tau right) ^ {2}}} , { text {d}} tau.}}$ поскольку ${ displaystyle ds / d tau}$ постоянна, подынтегральное выражение можно заменить на ${ displaystyle ({ text {d}} s / { text {d}} tau) ^ {2},}$ потому что уравнение E-L точно такое же, если подынтегральное выражение умножается на любую константу. Применяя уравнение E-L к ${ displaystyle J}$ с модифицированным подынтегральным выражением дает:

${ displaystyle { begin {array} {lcl} A '(r) { dot {r}} ^ {2} + 2r { dot { phi}} ^ {2} + B' (r) { точка {t}} ^ {2} & = & 2A '(r) { dot {r}} ^ {2} + 2A (r) { ddot {r}} 0 & = & 2r { dot {r} } { dot { phi}} + r ^ {2} { ddot { phi}} 0 & = & B '(r) { dot {r}} { dot {t}} + B (r ) { ddot {t}} end {array}}}$

где точка означает дифференцирование по ${ displaystyle tau.}$

По круговой орбите ${ displaystyle { dot {r}} = { ddot {r}} = 0,}$ так что первое уравнение E-L выше эквивалентно

${ displaystyle 2r { dot { phi}} ^ {2} + B '(r) { dot {t}} ^ {2} = 0 Leftrightarrow B' (r) = - 2r { dot { phi}} ^ {2} / { dot {t}} ^ {2} = - 2r (d phi / dt) ^ {2}.}$

Третий закон движения Кеплера является

${ displaystyle { frac {T ^ {2}} {r ^ {3}}} = { frac {4 pi ^ {2}} {G (M + m)}}.}$

На круговой орбите период ${ displaystyle T}$ равно ${ displaystyle 2 pi / (d phi / dt),}$ подразумевая

${ displaystyle left ({d phi over dt} right) ^ {2} = GM / r ^ {3}}$

поскольку точечная масса ${ displaystyle m}$ ничтожно мала по сравнению с массой центрального тела ${ displaystyle M.}$ Так ${ Displaystyle B '(г) = - 2GM / г ^ {2}}$ и интегрирование этого дает ${ Displaystyle B (r) = 2GM / r + C,}$ где ${ displaystyle C}$ - неизвестная постоянная интегрирования. ${ displaystyle C}$ можно определить, установив ${ displaystyle M = 0,}$ в этом случае пространство-время плоское и ${ displaystyle B (r) = - c ^ {2}.}$ Так ${ displaystyle C = -c ^ {2}}$ и

${ Displaystyle B (r) = 2GM / rc ^ {2} = c ^ {2} (2GM / c ^ {2} r-1) = c ^ {2} (r_ {s} / r-1). }$

Когда точечная масса временно неподвижна, ${ displaystyle { dot {r}} = 0}$ и ${ displaystyle { dot { phi}} = 0.}$ Исходное метрическое уравнение становится ${ displaystyle { dot {t}} ^ {2} = - c ^ {2} / B (r)}$ и первое уравнение E-L выше становится ${ displaystyle A (r) = B '(r) { dot {t}} ^ {2} / (2 { ddot {r}}).}$ Когда точечная масса временно неподвижна, ${ displaystyle { ddot {r}}}$ это ускорение свободного падения, ${ displaystyle -MG / r ^ {2}.}$ Так

${ displaystyle A (r) = left ({ frac {-2MG} {r ^ {2}}} right) left ({ frac {-c ^ {2}} {2MG / rc ^ {2 }}} right) left (- { frac {r ^ {2}} {2MG}} right) = { frac {1} {1-2MG / (rc ^ {2})}} = { frac {1} {1-r_ {s} / r}}.}$

Альтернативная форма в изотропных координатах

В первоначальной формулировке метрики используются анизотропные координаты, в которых скорость света не одинакова в радиальном и поперечном направлениях. Артур Эддингтон предоставил альтернативные формы в изотропные координаты.^[2] Для изотропных сферических координат ${ displaystyle r_ {1}}$, ${ displaystyle theta}$, ${ displaystyle phi}$, координаты ${ displaystyle theta}$ и ${ displaystyle phi}$ без изменений, а затем (при условии ${ displaystyle r geq { frac {2Gm} {c ^ {2}}}}$)^[3]

${ displaystyle r = r_ {1} left (1 + { frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} right) ^ {2}}$     ,   ${ displaystyle dr = dr_ {1} left (1 - { frac {(Gm) ^ {2}} {4c ^ {4} r_ {1} ^ {2}}} right)}$ , и

${ displaystyle left (1 - { frac {2Gm} {c ^ {2} r}} right) = left (1 - { frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} right) ^ {2} / left (1 + { frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} right) ^ {2}}$

Тогда для изотропных прямоугольных координат ${ displaystyle x}$, ${ displaystyle y}$, ${ displaystyle z}$,

${ Displaystyle х = р_ {1} , грех ( тета) , соз ( фи) квад,}$   ${ Displaystyle Y = R_ {1} , sin ( theta) , sin ( phi) quad,}$   ${ Displaystyle г = г_ {1} , соз ( тета)}$

Затем метрика принимает вид в изотропных прямоугольных координатах:

${ displaystyle ds ^ {2} = left (1 + { frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} right) ^ {4} (dx ^ {2} + dy ^ {2 } + dz ^ {2}) - c ^ {2} dt ^ {2} left (1 - { frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} right) ^ {2} / left (1 + { frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} right) ^ {2}}$

Отказ от статического предположения - теорема Биркгофа

При выводе метрики Шварцшильда предполагалось, что метрика вакуумная, сферически-симметричная и статический. Фактически, статическое допущение сильнее, чем требуется, поскольку Теорема Биркгофа утверждает, что любое сферически-симметричное вакуумное решение Полевые уравнения Эйнштейна является стационарный; тогда получается решение Шварцшильда. Из теоремы Биркгофа следует, что любая пульсирующая звезда, остающаяся сферически симметричной, не может генерировать гравитационные волны (поскольку область вне звезды должна оставаться статичной).

Смотрите также

• Карл Шварцшильд
• Метрика Керра
• Метрика Рейсснера – Нордстрема

использованная литература