Сферически симметричное пространство-время - Spherically symmetric spacetime

В физика, сферически симметричное пространство-время обычно используются для получения аналитических и численных решений Полевые уравнения Эйнштейна в присутствии радиально движущегося вещества или энергии. Поскольку сферически-симметричные пространства-времени по определению являются безвихревыми, они не являются реалистичными моделями черные дыры в природе. Однако их показатели значительно проще, чем показатели вращающегося пространства-времени, что значительно упрощает их анализ.

Сферически-симметричные модели не совсем неуместны: многие из них имеют Диаграммы Пенроуза похожи на вращающиеся пространства-времени, и они обычно имеют качественные особенности (такие как Коши горизонты ), на которые не влияет вращение. Одно из таких приложений - изучение массовая инфляция из-за встречных потоков падающего вещества внутри черной дыры.

Формальное определение

А сферически симметричное пространство-время это пространство-время чей группа изометрии содержит подгруппу, которая изоморфный к группа вращения SO (3) и орбиты этой группы являются 2-сферами (обычные 2-мерные сферы в 3-х мерном Евклидово пространство ). Затем изометрии интерпретируются как вращения, а сферически-симметричное пространство-время часто описывается как пространство-время, метрика которого «инвариантна относительно вращений». Метрика пространства-времени индуцирует метрику на каждой орбитальной 2-сфере (и эта индуцированная метрика должна быть кратной метрике 2-сферы). Условно метрика на двумерной сфере записывается в полярные координаты в качестве

,

и поэтому полная метрика включает член, пропорциональный этому.

Сферическая симметрия - характерная черта многих решений Полевые уравнения Эйнштейна из общая теория относительности, особенно Решение Шварцшильда и Решение Рейсснера – Нордстрема. Сферически-симметричное пространство-время можно охарактеризовать и иначе, а именно с помощью понятия Убивающие векторные поля, что в очень точном смысле сохранить метрику. Упомянутые выше изометрии на самом деле диффеоморфизмы локальных потоков векторных полей Киллинга и, таким образом, генерировать эти векторные поля. Для сферически-симметричного пространства-времени , имеется ровно 3 вращающихся векторных поля Киллинга. Другими словами, размер Убийственная алгебра равно 3; то есть, . В общем, ни один из них не похож на время, поскольку это означало бы статическое пространство-время.

Известно (см. Теорема Биркгофа ), что любое сферически-симметричное решение уравнения вакуумного поля обязательно изометрично подмножеству максимально расширенного Решение Шварцшильда. Это означает, что внешняя область вокруг сферически симметричного гравитирующего объекта должна быть статический и асимптотически плоский.

Сферически симметричные метрики

Обычно используется сферические координаты , чтобы записать метрику ( линейный элемент ). Несколько карты координат возможны; к ним относятся:

Окружной радиус метрический

Один популярный показатель[1], используемых при изучении массовая инфляция, является

Здесь, стандартная метрика на двумерной сфере единичного радиуса . Радиальная координата определяется так, чтобы это был окружной радиус, то есть так, чтобы правильная окружность на радиусе является . При таком выборе координат параметр определяется так, что - собственная скорость изменения окружного радиуса (т. е. где это подходящее время ). Параметр можно интерпретировать как радиальную производную окружного радиуса в свободно падающей раме; это становится явным в тетрадный формализм.

Ортонормированный тетрадный формализм

Обратите внимание, что указанная выше метрика записывается как сумма квадратов, и поэтому ее можно понимать как явное кодирование Vierbein, и, в частности, ортонормированная тетрада. То есть метрический тензор можно записать как откат из Метрика Минковского :

где является обратным вербейном. Здесь и далее принято соглашение, что римские индексы относятся к плоской ортонормированной тетрадной системе отсчета, а греческие индексы относятся к системе координат. Обратный vierbein может быть непосредственно прочитан из вышеуказанной метрики как

где подпись должна была быть . Записанный в виде матрицы обратный вербейн имеет вид

Сам по себе vierbein является инверсией (-transpose) обратного vierbein

То есть, - единичная матрица.

Особенно простая форма вышеизложенного - главный мотивирующий фактор для работы с данной метрикой.

Вирбейн связывает векторные поля в системе координат с векторными полями в системе координат тетрад, как

Самые интересные из этих двух что является собственным временем в системе координат покоя, и которая является радиальной производной в системе покоя. По конструкции, как отмечалось ранее, была собственная скорость изменения окружного радиуса; теперь это можно явно записать как

Точно так же

который описывает градиент (в свободно падающей тетрадной системе отсчета) окружного радиуса в радиальном направлении. Это не общее единство; сравните, например, со стандартным решением Swarschild или решением Reissner – Nordström. Знак эффективно определяет, «какой путь вниз»; знак различает входящие и исходящие кадры, так что это входящий фрейм, и это исходящий фрейм.

Эти два соотношения для окружного радиуса дают еще одну причину, по которой эта конкретная параметризация метрики удобна: она имеет простую интуитивно понятную характеристику.

Форма подключения

В форма подключения в тетрадной системе отсчета можно записать через Символы Кристоффеля в тетрадной системе отсчета, которые задаются

а все остальные ноль.

Уравнения Эйнштейна

Полный набор выражений для Тензор Римана, то Тензор Эйнштейна и й Кривизна Вейля Скаляр можно найти в Гамильтон и Авелино.[1] Уравнения Эйнштейна становятся

куда ковариантная производная по времени (и в Леви-Чивита связь ), радиальное давление (нет изотропное давление!) и радиальный поток энергии. Масса это Масса Миснера-Торна или же внутренняя масса, данный

Поскольку эти уравнения фактически двумерны, их можно решить без огромных трудностей для различных предположений о природе падающего материала (то есть, для предположения о сферически-симметричной черной дыре, которая аккрецирует заряженную или нейтральную пыль, газ плазма или темная материя высокой или низкой температуры, т.е. материал с различными уравнения состояния.)

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Эндрю Дж. С. Гамильтон и Педро П. Авелино, «Физика релятивистской встречной нестабильности, которая вызывает инфляцию масс внутри черных дыр» (2008), arXiv:0811.1926
  • Вальд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности. Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN  0-226-87033-2. См. Раздел 6.1 для обсуждения сферической симметрии..