Пространство Де Ситтера - De Sitter space

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) Эта статья требует внимания специалиста по физике. Пожалуйста, добавьте причина или разговаривать в этот шаблон, чтобы объяснить проблему со статьей. ВикиПроект Физика может помочь нанять эксперта. (Май 2017 г.) Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Май 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Эта статья слишком полагается на Рекомендации к основные источники. Пожалуйста, улучшите это, добавив вторичные или третичные источники. (Июль 2019) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математическая физика, п-размерный пространство де Ситтера (часто сокращенно dS_п) является максимально симметричным Лоренцево многообразие с постоянным положительным скалярная кривизна. Это лоренцев аналог п-сфера (с его каноническим Риманова метрика ).

Основное применение пространства де Ситтера - его использование в общая теория относительности, где он служит одной из простейших математических моделей Вселенной, согласующейся с наблюдаемыми ускоряющееся расширение Вселенной. Более конкретно, пространство де Ситтера является максимально симметричным вакуумный раствор из Полевые уравнения Эйнштейна с положительным космологическая постоянная ${ displaystyle Lambda}$ (соответствует положительной плотности энергии вакуума и отрицательному давлению). Существует космологическое свидетельство того, что сама Вселенная асимптотически де Ситтер - см. Вселенная де Ситтера.

де Ситтера и пространство анти-де Ситтера названы в честь Виллем де Ситтер (1872–1934),^[1][2] профессор астрономии в Лейденский университет и директор Лейденская обсерватория. Виллем де Ситтер и Альберт Эйнштейн тесно сотрудничали в Лейден в 1920-х годах о пространственно-временной структуре нашей Вселенной. Пространство де Ситтера было независимо открыто примерно в то же время Туллио Леви-Чивита.^[3]

Определение

пространство де Ситтера можно определить как подмногообразие обобщенного Пространство Минковского одного высшего измерение. Возьмите пространство Минковского р^1,п со стандартом метрика:

${ displaystyle ds ^ {2} = - dx_ {0} ^ {2} + sum _ {i = 1} ^ {n} dx_ {i} ^ {2}.}$

пространство де Ситтера - это подмногообразие, описываемое гиперболоид одного листа

${ displaystyle -x_ {0} ^ {2} + sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2} = alpha ^ {2}}$

куда ${ displaystyle alpha}$ - некоторая ненулевая константа размерности длины. В метрика на пространстве де Ситтера - это метрика, индуцированная объемлющей метрикой Минковского. Индуцированная метрика невырожденный и имеет лоренцеву подпись. (Обратите внимание, что если заменить ${ displaystyle alpha ^ {2}}$ с ${ displaystyle - alpha ^ {2}}$ в приведенном выше определении получаем гиперболоид из двух листов. Индуцированная метрика в этом случае есть положительно определенный, и каждый лист является копией гиперболический п-Космос. Подробное доказательство см. геометрия пространства Минковского.)

пространство де Ситтера также можно определить как частное O (1, п) / O (1, п − 1) из двух неопределенные ортогональные группы, что показывает, что это нериманова симметричное пространство.

Топологически, пространство де Ситтера р × S^п−1 (так что если п ≥ 3 то пространство де Ситтера односвязный ).

Характеристики

В группа изометрии пространства де Ситтера является Группа Лоренца O (1, п). Таким образом, метрика имеет п(п + 1)/2 независимый Убивающие векторные поля и максимально симметричен. Каждое максимально симметричное пространство имеет постоянную кривизну. В Тензор кривизны Римана де Ситтера дается

${ Displaystyle R _ { rho sigma mu nu} = {1 over alpha ^ {2}} (g _ { rho mu} g _ { sigma nu} -g _ { rho nu} g_ { sigma mu}).}$

де Ситтера - это Многообразие Эйнштейна так как Тензор Риччи пропорционально метрике:

${ displaystyle R _ { mu nu} = { frac {n-1} { alpha ^ {2}}} g _ { mu nu}}$

Это означает, что пространство де Ситтера представляет собой вакуумное решение уравнения Эйнштейна с космологической постоянной, задаваемой формулой

${ displaystyle Lambda = { frac {(n-1) (n-2)} {2 alpha ^ {2}}}.}$

В скалярная кривизна пространства де Ситтера задается формулой

${ displaystyle R = { frac {n (n-1)} { alpha ^ {2}}} = { frac {2n} {n-2}} Lambda.}$

По делу п = 4, у нас есть Λ = 3 /α² и р = 4Λ = 12 /α².

Статические координаты

Мы можем представить статические координаты ${ Displaystyle (т, г, ldots)}$ для де Ситтера следующим образом:

${ displaystyle x_ {0} = { sqrt { alpha ^ {2} -r ^ {2}}} sinh (t / alpha)}$

${ displaystyle x_ {1} = { sqrt { alpha ^ {2} -r ^ {2}}} cosh (t / alpha)}$

${ displaystyle x_ {i} = rz_ {i} qquad qquad qquad qquad qquad 2 leq i leq n.}$

куда ${ displaystyle z_ {i}}$ дает стандартное вложение (п − 2)-сфера в р^п−1. В этих координатах метрика де Ситтера принимает вид:

${ displaystyle ds ^ {2} = - left (1 - { frac {r ^ {2}} { alpha ^ {2}}} right) dt ^ {2} + left (1 - { frac {r ^ {2}} { alpha ^ {2}}} right) ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} d Omega _ {n-2} ^ {2}. }$

Обратите внимание, что есть космологический горизонт в ${ Displaystyle г = альфа}$.

Плоская нарезка

Позволять

${ Displaystyle x_ {0} = альфа зп (т / альфа) + г ^ {2} е ^ {т / альфа} / 2 альфа,}$

${ displaystyle x_ {1} = alpha cosh (t / alpha) -r ^ {2} e ^ {t / alpha} / 2 alpha,}$

${ Displaystyle х_ {я} = е ^ {т / альфа} у_ {я}, qquad 2 Leq я Leq п}$

куда ${ Displaystyle г ^ {2} = сумма _ {я} у_ {я} ^ {2}}$. Тогда в ${ Displaystyle (т, у_ {я})}$ метрика координат гласит:

${ displaystyle ds ^ {2} = - dt ^ {2} + e ^ {2t / alpha} dy ^ {2}}$

куда ${ displaystyle dy ^ {2} = sum _ {i} dy_ {i} ^ {2}}$ плоская метрика на ${ displaystyle y_ {i}}$с.

Параметр ${ displaystyle zeta = zeta _ { infty} - alpha e ^ {- t / alpha}}$, получаем конформно плоскую метрику:

${ displaystyle ds ^ {2} = { frac { alpha ^ {2}} {( zeta _ { infty} - zeta) ^ {2}}} (dy ^ {2} -d zeta ^ {2})}$

Открытая нарезка

Позволять

${ Displaystyle х_ {0} = альфа зп (т / альфа) сш хи,}$

${ Displaystyle х_ {1} = альфа сш (т / альфа),}$

${ Displaystyle х_ {я} = альфа z_ {я} зп (т / альфа) зп хи, qquad 2 leq i leq n}$

куда ${ Displaystyle сумма _ {я} z_ {я} ^ {2} = 1}$ формирование ${ displaystyle S ^ {n-2}}$ со стандартной метрикой ${ displaystyle sum _ {я} dz_ {i} ^ {2} = d Omega _ {n-2} ^ {2}}$. Тогда метрика пространства де Ситтера имеет вид

${ displaystyle ds ^ {2} = - dt ^ {2} + alpha ^ {2} sinh ^ {2} (t / alpha) dH_ {n-1} ^ {2},}$

куда

${ displaystyle dH_ {n-1} ^ {2} = d xi ^ {2} + sinh ^ {2} ( xi) d Omega _ {n-2} ^ {2}}$

стандартная гиперболическая метрика.

Закрытая нарезка

Позволять

${ Displaystyle х_ {0} = альфа зп (т / альфа),}$

${ Displaystyle х_ {я} = альфа сш (т / альфа) z_ {я}, qquad 1 Leq я Leq п}$

куда ${ displaystyle z_ {i}}$s описывают ${ Displaystyle S ^ {п-1}}$. Затем метрика гласит:

${ displaystyle ds ^ {2} = - dt ^ {2} + alpha ^ {2} cosh ^ {2} (t / alpha) d Omega _ {n-1} ^ {2}.}$

Изменение временной переменной на конформное время с помощью ${ Displaystyle загар ( eta / 2) = tanh (т / 2 альфа)}$ мы получаем метрику, конформно эквивалентную статической вселенной Эйнштейна:

${ displaystyle ds ^ {2} = { frac { alpha ^ {2}} { cos ^ {2} eta}} (- d eta ^ {2} + d Omega _ {n-1} ^ {2}).}$

Эти координаты, также известные как «глобальные координаты», охватывают максимальное расширение пространства де Ситтера и, следовательно, могут использоваться для нахождения его Диаграмма Пенроуза.^[4]

dS нарезка

Позволять

${ Displaystyle х_ {0} = альфа грех ( чи / альфа) зп (т / альфа) сш хи,}$

${ Displaystyle х_ {1} = альфа соз ( чи / альфа),}$

${ Displaystyle х_ {2} = альфа грех ( чи / альфа) сш (т / альфа),}$

${ Displaystyle х_ {я} = альфа z_ {я} грех ( чи / альфа) зп (т / альфа) зп хи, qquad 3 leq i leq n}$

куда ${ displaystyle z_ {i}}$s описывают ${ displaystyle S ^ {n-3}}$. Затем метрика гласит:

${ displaystyle ds ^ {2} = d chi ^ {2} + sin ^ {2} ( chi / alpha) ds_ {dS, alpha, n-1} ^ {2},}$

куда

${ displaystyle ds_ {dS, alpha, n-1} ^ {2} = - dt ^ {2} + alpha ^ {2} sinh ^ {2} (t / alpha) dH_ {n-2} ^ {2}}$

метрика ${ displaystyle n-1}$ мерное пространство де Ситтера с радиусом кривизны ${ displaystyle alpha}$ в открытых координатах нарезки. Гиперболическая метрика определяется выражением:

${ displaystyle dH_ {n-2} ^ {2} = d xi ^ {2} + sinh ^ {2} xi d Omega _ {n-3} ^ {2}.}$

Это аналитическое продолжение открытых координат среза при ${ Displaystyle (т, хи, тета, фи _ {1}, фи _ {2}, cdots, фи _ {п-3}) к (я чи, хи, оно, theta, phi _ {1}, cdots, phi _ {n-4})}$ а также переключение ${ displaystyle x_ {0}}$ и ${ displaystyle x_ {2}}$ потому что они меняют свою пространственно-временную природу.

Смотрите также

• Анти-де Ситтер пространство
• Вселенная де Ситтера
• AdS / CFT корреспонденция
• метрика де Ситтера – Шварцшильда

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Цинмин Чэн (2001) [1994], "Пространство Де Ситтера", Энциклопедия математики, EMS Press
• Номидзу, Кацуми (1982), "Метрика Лоренца – Пуанкаре на верхнем полупространстве и его расширение", Математический журнал Хоккайдо, 11 (3): 253–261, Дои:10.14492 / hokmj / 1381757803
• Кокстер, Х. С. М. (1943), «Геометрический фон для мира де Ситтера», Американский математический ежемесячный журнал, Математическая ассоциация Америки, 50 (4): 217–228, Дои:10.2307/2303924, JSTOR  2303924
• Сасскинд, Л .; Линдесей, Дж. (2005), Введение в черные дыры, информацию и революцию теории струн: голографическая Вселенная, п. 119 (11.5.25)

внешняя ссылка

• Упрощенное руководство по пространствам де Ситтера и анти-де Ситтера Педагогическое введение в пространства де Ситтера и анти-де Ситтера. Основная статья упрощена, почти без математики. Приложение носит технический характер и предназначено для читателей с физическим или математическим образованием.