Метрика де Ситтера – Шварцшильда - Википедия - de Sitter–Schwarzschild metric

В общая теория относительности, то де Ситтер-Шварцшильд решение описывает черная дыра в причинном пятне пространство де Ситтера. В отличие от черной дыры плоского пространства, существует самая большая черная дыра де Ситтера, которая является Нариай пространство-время. Лимит Нариай не имеет особенности, то космологический и горизонты черной дыры имеют одинаковую площадь, и их можно сопоставить друг с другом дискретным симметрия отражения в любом патче.^[1]^[2]^[3]

Вступление

В общей теории относительности пространство-время может иметь черная дыра горизонты событий а также космологические горизонты. Решение де Ситтера – Шварцшильда - простейшее решение, в котором есть и то, и другое.

Метрическая

Метрика любого сферически симметричное решение в Шварцшильд форма:

{ displaystyle ds ^ {2} = - f (r) dt ^ {2} + {dr ^ {2} over f (r)} + ​​r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2}) ,}

Уравнения Эйнштейна вакуума дают линейный уравнение для ƒ(р), который имеет в качестве решений:

{ Displaystyle е (г) = 1-2а / г ,}

{ Displaystyle е (г) = 1-ш ^ {2} ,}

Первый - это решение с нулевым напряжением энергии, описывающее черную дыру в пустом пространстве-времени, второе (с б положительный) описывает пространство де Ситтера со стресс-энергией положительного космологическая постоянная величиной 3б. Наложение этих двух решений дает решение де Ситтера – Шварцшильда:

{ displaystyle f (r) = 1 - { frac {2a} {r}} - br ^ {2} ,}

Два параметра а и б дают массу черной дыры и космологическую постоянную соответственно. В d + 1 размер, уменьшение обратного степенного закона в части черной дыры d - 2. В измерениях 2 + 1, где показатель степени равен нулю, аналогичное решение начинается с пространства де Ситтера 2 + 1, вырезается клин и склеивается две стороны клина вместе, чтобы получился коническое пространство.

В геодезическое уравнение

{ displaystyle g_ {aj} { ddot {x}} ^ {j} + left ( partial _ {i} g_ {aj} - { frac {1} {2}} partial _ {a} g_ {ij} right) { dot {x}} ^ {j} { dot {x}} ^ {i} = 0 ,}

дает

{ displaystyle { ddot {r}} + { frac {1} {2}} { frac {-f '(r)} {f (r)}} { dot {r}} ^ {2} + { frac {1} {2}} f (r) f '(r) { dot {t}} ^ {2} -rf (r) { dot { theta}} - rf (r) { text {sin}} ^ {2} theta { dot { phi}} ^ {2} = 0}

для радиального и

{ displaystyle { ddot {t}} + { frac {1} {f (r)}} f '(r) { dot {t}} { dot {r}} = 0}

для временной составляющей.

Свойства горизонта

В пространство де Ситтера является простейшим решением уравнения Эйнштейна с положительным космологическая постоянная. Он сферически симметричен, имеет космологический горизонт, окружающий любого наблюдателя, и описывает раздувание вселенной. Решение Шварцшильда - это простейшее сферически-симметричное решение уравнений Эйнштейна с нулевой космологической постоянной, и оно описывает горизонт событий черной дыры в пустом пространстве. Пространство-время де Ситтера-Шварцшильда представляет собой комбинацию этих двух и описывает горизонт черной дыры со сферическим центром во вселенной де Ситтера. Наблюдатель, который не упал в черную дыру и который все еще может видеть черную дыру, несмотря на инфляцию, зажат между двумя горизонтами.

Возникает естественный вопрос: являются ли эти два горизонта объектами разных типов или они принципиально одинаковы. Классически два типа горизонта выглядят по-разному. Горизонт черной дыры - это будущий горизонт, вещи могут входить, но не выходить. Космологический горизонт в Большой взрыв космология типа прошлый горизонт, вещи выходят, но ничего не входит.

Но в полуклассической трактовке космологический горизонт де Ситтера можно рассматривать как поглощающий или излучающий, в зависимости от точки зрения. Точно так же для черной дыры, которая существует уже долгое время, горизонт можно рассматривать как излучающий или поглощающий, в зависимости от того, придерживаетесь ли вы точки зрения падающей материи или исходящей. Радиация Хокинга. Хокинг утверждал, основываясь на термодинамика что прошлый горизонт белая дыра фактически физически такой же, как будущий горизонт черная дыра, так что прошлые и будущие горизонты физически идентичны. Это было разработано Сасскинд в комплементарность черной дыры, в котором говорится, что любые внутренние части решения для черной дыры, как в прошлой, так и в будущей интерпретации горизонта, могут быть голографически связанный путем унитарного изменения основы квантовомеханического описания самого горизонта.

Решение Nariai - это предел самой большой черной дыры в пространстве, которое де Ситтер находится на больших расстояниях, оно имеет два горизонта, космологический горизонт де Ситтера и горизонт черной дыры Шварцшильда. Для черных дыр малой массы они очень разные - в центре черной дыры есть сингулярность, и за космологическим горизонтом сингулярности нет. Но предел Нариа предполагает увеличение и увеличение черной дыры до тех пор, пока ее горизонт событий не достигнет той же площади, что и космологический горизонт де Ситтера. В этот момент пространство-время становится регулярным, сингулярность черной дыры уходит в бесконечность, и два горизонта связаны пространственно-временной симметрией.

В пределе Нариа черную дыру и горизонт де Ситтера можно поменять местами, просто изменив знак координаты z. Когда есть дополнительная плотность вещества, решение можно рассматривать как Сферическая вселенная Эйнштейна с двумя противоположными черными дырами. Какая бы черная дыра ни стала больше, она становится космологическим горизонтом.

Нариай раствор

Начиная с де Ситтера – Шварцшильда:

{ displaystyle ds ^ {2} = - f (r) , dt ^ {2} + {dr ^ {2} over f (r)} + ​​r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2}) ,}

с

{ Displaystyle е (г) = 1- {2а над г} -br ^ {2} ,}

Два параметра а и б дают массу черной дыры и космологическую постоянную соответственно. В более высоких измерениях степенной закон для части черной дыры быстрее.

Когда а маленький, ƒ(р) имеет два нуля при положительных значениях р, которые являются местоположением черной дыры и космологического горизонта соответственно. В качестве параметра а увеличивается, сохраняя космологическую постоянную фиксированной, два положительных нуля сближаются. При некоторой стоимости а, они сталкиваются.

Приближаясь к этому значению а, черная дыра и космологические горизонты имеют примерно одинаковое значение р. Но расстояние между ними не стремится к нулю, потому что ƒ(р) очень мало между двумя нулями, и квадратный корень из обратного интегрируется до конечного значения. Если два нуля ƒ находятся в р + ε и р - ε с учетом малого ε ограничение при изменении масштаба р для устранения зависимости ε дает решение Нариаи.

Форма ƒ вблизи почти двойного нуля по новой координате ты данный р = р + ты является:

{ Displaystyle е (г) = {и ^ {2} - эпсилон ^ {2} над R ^ {2}} ,}

Метрика причинного пятна между двумя горизонтами сводится к

{ displaystyle ds ^ {2} = - (R ^ {2} -z ^ {2}) , dt ^ {2} + {dz ^ {2} over (R ^ {2} -z ^ {2 })} + R ^ {2} , d Omega ^ {2} ,}

которая является метрикой ${ displaystyle dS_ {2} times S_ {2}}$ . Эта форма является локальной для наблюдателя, зажатого между черной дырой и космологическим горизонтом, которые обнаруживают свое присутствие как два горизонта на z = −р и z = р соответственно.

Координата z может быть заменена глобальной координатой для 1 + 1-мерной части пространства де Ситтера, и тогда метрика может быть записана как:

{ displaystyle dS ^ {2} = - dt ^ {2} + cosh ^ {2} t , dx ^ {2} + R ^ {2} , d Omega ^ {2} ,}

В этих глобальных координатах изотропия пространства де Ситтера приводит к сдвигу координаты Икс изометрии, так что можно идентифицировать Икс с Икс + Аи превратите пространственное измерение в круг. Постоянный радиус круга экспоненциально расширяется в будущее и прошлое, и это первоначальная форма Нариая.

Вращение одного из горизонтов в пространстве Нариай заставляет другой горизонт вращаться в противоположном направлении. Это проявление Принцип маха в замкнутых каузальных пятнах, если космологический горизонт включен как «материя», как его симметричный двойник, черная дыра.

Температура Хокинга

Температуру малого и большого горизонта де Ситтера – Шварцшильда можно рассчитать как период в мнимое время решения, или, что эквивалентно, как поверхностная сила тяжести около горизонта. Температура меньшей черной дыры относительно выше, поэтому существует поток тепла от меньшего горизонта к большему. Величину, которая является температурой черной дыры, трудно определить, потому что нет асимптотически плоского пространства, относительно которого ее можно было бы измерить.

Кривизна

Ненулевые компоненты тензора кривизны Риччи для метрики де Ситтера – Шварцшильда равны

{ displaystyle R_ {tt} = { frac {1} {2}} f (r) left (2 { frac {f '(r)} {r}} + f' '(r) right) ,}

{ Displaystyle R_ {rr} = - { frac {2f '(r) + rf' '(r)} {2rf (r)}} ,}

{ Displaystyle R _ { theta theta} = 1-f (r) -rf '(r) ,}

{ Displaystyle R _ { phi phi} = - sin ^ {2} ( theta) left (-1 + f (r) + rf '(r) right) ,}

и скаляр кривизны Риччи

{ displaystyle R = { frac {2-2f (r) -4rf '(r) -r ^ {2} f' '(r)} {r ^ {2}}} ,}