Решения уравнений поля Эйнштейна. - Solutions of the Einstein field equations

При необходимости в этой статье будет использоваться обозначение абстрактного индекса.

Решения уравнений поля Эйнштейна. находятся время в результате решения Уравнения поля Эйнштейна (EFE) из общая теория относительности. Решение уравнений поля дает Многообразие Лоренца. Решения широко классифицируются как точный или же неточный.

Уравнения поля Эйнштейна:

{ displaystyle G_ {ab} + Lambda g_ {ab} , = kappa T_ {ab},}

куда ${ displaystyle G_ {ab}}$ это Тензор Эйнштейна, ${ displaystyle Lambda}$ это космологическая постоянная (иногда для простоты принимается равным нулю), ${ displaystyle g_ {ab}}$ это метрический тензор, ${ displaystyle kappa}$ константа, а ${ displaystyle T_ {ab}}$ это тензор энергии-импульса.

Уравнения поля Эйнштейна связывают тензор Эйнштейна с тензором напряжения-энергии, который представляет собой распределение энергии, импульса и напряжения в пространственно-временном многообразии. Тензор Эйнштейна строится из метрического тензора и его частных производных; таким образом, при заданном тензоре энергии-импульса уравнения поля Эйнштейна представляют собой систему из десяти уравнения в частных производных в котором можно найти метрический тензор.

Решение уравнений

Важно понимать, что одних уравнений поля Эйнштейна во многих случаях недостаточно для определения эволюции гравитационной системы. Они зависят от тензор энергии-импульса, который зависит от динамики вещества и энергии (например, траекторий движущихся частиц), которая, в свою очередь, зависит от гравитационного поля. Если вас интересует только предел слабого поля теории, динамика материи может быть вычислена с использованием методов специальной теории относительности и / или ньютоновских законов тяготения, а затем полученный тензор энергии-импульса может быть включен в уравнения поля Эйнштейна. Но если требуется точное решение или решение, описывающее сильные поля, эволюцию метрики и тензора энергии-импульса необходимо решать вместе.

Для получения решений соответствующие уравнения представляют собой процитированные выше EFE (в любой форме) плюс уравнение неразрывности (для определения эволюции тензора энергии-импульса):

{ displaystyle T ^ {ab} {} _ {; b} , = 0 ,.}

Этого явно недостаточно, поскольку имеется только 14 уравнений (10 из уравнений поля и 4 из уравнения неразрывности) для 20 неизвестных (10 метрических компонент и 10 компонент тензора энергии-импульса). Уравнения состояния не хватает. В самом общем случае легко увидеть, что требуется как минимум еще 6 уравнений, а возможно, и больше, если есть внутренние степени свободы (например, температура), которые могут изменяться в пространстве-времени.

На практике обычно можно упростить задачу, заменив полный набор уравнений состояния простым приближением. Некоторые общие приближения:

Вакуум:

{ Displaystyle T_ {ab} , = 0}

Идеальная жидкость:

{ Displaystyle T_ {ab} , = ( rho + p) u_ {a} u_ {b} + pg_ {ab}}

куда

{ Displaystyle и ^ {а} и_ {а} = - 1 !}

Здесь ${ displaystyle rho}$ - плотность массы-энергии, измеренная в мгновенно движущейся системе отсчета, ${ displaystyle u_ {a}}$ - векторное поле жидкости с четырьмя скоростями, а ${ displaystyle p}$ это давление.

Невзаимодействующая пыль (частный случай идеальной жидкости):

{ Displaystyle T_ {ab} , = rho u_ {a} u_ {b}}

Для идеальной жидкости другое уравнение состояния, связывающее плотность ${ displaystyle rho}$ и давление ${ displaystyle p}$ необходимо добавить. Это уравнение часто зависит от температуры, поэтому требуется уравнение теплопередачи или постулат о том, что теплопередачей можно пренебречь.

Затем обратите внимание, что только 10 из 14 исходных уравнений независимы, потому что уравнение неразрывности ${ displaystyle T ^ {ab} {} _ {; b} = 0}$ является следствием уравнений Эйнштейна. Это отражает тот факт, что система калибровочный инвариант (в общем, при отсутствии некоторой симметрии любой выбор криволинейной координатной сети в той же системе будет соответствовать численно другому решению). Требуется «фиксация калибровки», то есть нам нужно наложить 4 (произвольных) ограничения на систему координат. для получения однозначных результатов. Эти ограничения известны как условия координат.

Популярным выбором калибра является так называемый калибр Де Дондера, также известный как гармонический условие или гармонический датчик

{ displaystyle g ^ { mu nu} Gamma _ { mu nu} ^ { sigma} = 0 ,.}

В числовая теория относительности, предпочтительной калибровкой является так называемое "разложение 3 + 1", основанное на Формализм ADM. В этом разложении метрика записывается в виде

{ displaystyle ds ^ {2} , = (- N + N ^ {i} N ^ {j} gamma _ {ij}) dt ^ {2} + 2N ^ {i} gamma _ {ij} dtdx ^ {j} + gamma _ {ij} dx ^ {i} dx ^ {j}}

, куда

{ Displaystyle я, J = 1 точки 3 ,.}

${ displaystyle N}$ и ${ Displaystyle N ^ {я}}$ являются функциями пространственно-временных координат и могут выбираться произвольно в каждой точке. Остальные физические степени свободы содержатся в ${ displaystyle gamma _ {ij}}$ , представляющая риманову метрику на 3-гиперповерхностях ${ displaystyle t = const}$ . Например, наивный выбор ${ Displaystyle N = 1}$ , ${ displaystyle N_ {i} = 0}$ , соответствовал бы так называемому синхронный система координат: та, где t-координата совпадает с собственным временем для любого сопутствующего наблюдателя (частицы, которая движется по фиксированной ${ Displaystyle х ^ {я}}$ траектория.)

После того как выбраны уравнения состояния и установлен калибр, можно решить полную систему уравнений. К сожалению, даже в простейшем случае гравитационного поля в вакууме (исчезающий тензор энергии-импульса) задача оказывается слишком сложной, чтобы ее можно было точно решить. Чтобы получить физические результаты, мы можем обратиться к численные методы; попытаться найти точные решения навязывая симметрии; или попробуйте альтернативные подходы, такие как методы возмущения или линейные приближения Тензор Эйнштейна.

Точные решения

Точные решения Метрики Лоренца которые согласуются с физически реалистичным тензором энергии-импульса и получаются путем решения EFE точно в закрытая форма.

Внешняя ссылка

Статья в Scholarpedia по теме написано Малькольм МакКаллум

Неточные решения

Те решения, которые не являются точными, называются неточные решения. Такие решения в основном возникают из-за сложности решения УЭФ в замкнутой форме и часто принимают форму приближений к идеальным системам. Многие неточные решения могут быть лишены физического содержания, но служат полезными контрпримерами к теоретическим предположениям.

Аль Момин утверждает, что Курт Гёдель Решение этих уравнений не описывает нашу Вселенную и, следовательно, является приближением.^[1]

Приложения

Существуют как практические, так и теоретические причины для изучения решений уравнений поля Эйнштейна.

С чисто математической точки зрения интересно знать множество решений уравнений поля Эйнштейна. Некоторые из этих решений параметризуются одним или несколькими параметрами.

Смотрите также

Исчисление Риччи