Согласовать условия - Coordinate conditions

В общая теория относительности, то законы физики можно выразить в общековариантный форма. Другими словами, описание мира, данное законами физики, не зависит от нашего выбора систем координат. Однако часто бывает полезно зафиксировать конкретную систему координат, чтобы решить реальные проблемы или сделать реальные прогнозы. Условие координат выбирает такую ​​систему (ы) координат.

Неопределенность в общей теории относительности

В Уравнения поля Эйнштейна не определяют метрику однозначно, даже если известно, что метрический тензор равно везде в начальный момент времени. Эта ситуация аналогична выходу из строя Уравнения Максвелла однозначно определить потенциалы. В обоих случаях двусмысленность может быть устранена с помощью крепление датчика. Таким образом, координатные условия являются разновидностью калибровочных условий.^[1] Никакие координатные условия обычно не ковариантны, но многие координатные условия Ковариант Лоренца или же вращательно-ковариантный.

Наивно можно было бы подумать, что условия координат будут иметь форму уравнений эволюции четырех координат, и действительно, в некоторых случаях (например, условие гармонических координат) они могут быть представлены в этой форме. Однако чаще они появляются в виде четырех дополнительных уравнений (помимо полевых уравнений Эйнштейна) для эволюции метрического тензора. Сами по себе уравнения поля Эйнштейна не полностью определяют эволюцию метрики относительно системы координат. Может показаться, что да, поскольку существует десять уравнений для определения десяти компонентов метрики. Однако из-за второй идентичности Бьянки Тензор кривизны Римана, расхождение Тензор Эйнштейна равен нулю, что означает, что четыре из десяти уравнений избыточны, оставляя четыре степени свободы, которые могут быть связаны с выбором четырех координат. Тот же результат может быть получен из разложения Крамерса-Мойала-ван-Кампена Главное уравнение (с использованием Коэффициенты Клебша – Гордана для разложения тензорных произведений)^{[нужна цитата ]}.

Гармонические координаты

Особенно полезным условием координат является гармоническое условие (также известное как «калибровка де Дондера»):

${ displaystyle 0 = Gamma _ { beta gamma} ^ { alpha} g ^ { beta gamma} !.}$

Здесь гамма - это Символ Кристоффеля (также известная как «аффинная связь»), а буква «g» с надстрочными индексами - это обратный из метрический тензор. Это гармоническое состояние часто используется физиками при работе с гравитационные волны. Это условие также часто используется для получения постньютоновское приближение.

Хотя условие гармонических координат обычно не является ковариантным, оно является Ковариант Лоренца. Это координатное условие разрешает неоднозначность метрического тензора ${ displaystyle g _ { mu nu} !}$ предоставив четыре дополнительных дифференциальных уравнения, которым должен удовлетворять метрический тензор.

Синхронные координаты

Еще одно особенно полезное условие координат - это условие синхронности:

${ displaystyle g_ {01} = g_ {02} = g_ {03} = 0 !}$

и

${ displaystyle g_ {00} = - 1 !}$.

Синхронные координаты также известны как гауссовы координаты.^[2] Они часто используются в космология.^[3]

Условие синхронности координат не является ни общековариантным, ни лоренц-ковариантным. Это координатное условие разрешает неоднозначность метрический тензор ${ displaystyle g _ { mu nu} !}$ предоставив четыре алгебраических уравнения, которым должен удовлетворять метрический тензор.

Другие координаты

Многие другие условия координат использовались физиками, но ни один из них не использовался так широко, как описанные выше. Почти все координатные условия, используемые физиками, включая гармонические и синхронные координатные условия, будут удовлетворяться метрическим тензором, равным Тензор Минковского повсюду. (Однако, поскольку тензор Римана и, следовательно, тензор Риччи для координат Минковского тождественно равен нулю, уравнения Эйнштейна дают нулевую энергию / материю для координат Минковского; поэтому координаты Минковского не могут быть приемлемым окончательным ответом.) В отличие от условий гармоники и синхронности координат, некоторые обычно используемые условия координат могут быть либо недоопределительными, либо сверхдетерминативными.

Примером недетерминативного условия является алгебраическое утверждение, что определитель метрического тензора равен −1, что по-прежнему оставляет значительную калибровочную свободу.^[4] Это условие необходимо было бы дополнить другими условиями, чтобы устранить неоднозначность в метрическом тензоре.

Примером сверхдетерминативного условия является алгебраическое утверждение о том, что разница между метрическим тензором и тензором Минковского является просто нулевой четырехвекторный раз, который известен как Керр-Шильд форма метрики.^[5] Это условие Керра-Шильда выходит далеко за рамки устранения неоднозначности координат и, таким образом, также предписывает тип физической структуры пространства-времени. Детерминант метрического тензора в метрике Керра-Шильда отрицательный, что само по себе является недетерминативным условием координат.^[4][6]

При выборе условий координат важно остерегаться иллюзий или артефактов, которые могут быть созданы этим выбором. Например, метрика Шварцшильда может включать кажущуюся особенность на поверхности, которая отделена от точечного источника, но эта сингулярность является просто артефактом выбора координатных условий, а не проистекает из реальной физической реальности.^[7]

Если кто-то собирается решать уравнения поля Эйнштейна с помощью приближенных методов, таких как постньютоновское расширение, то следует попытаться выбрать такое условие координат, при котором расширение будет сходиться как можно быстрее (или, по крайней мере, не допустить его расхождения). Точно так же для численных методов нужно избегать каустика (координатные особенности).

Ковариантные координатные условия Лоренца

Если объединить условие координат, которое является лоренц-ковариантным, такое как условие гармонических координат, упомянутое выше, с Уравнения поля Эйнштейна, то получается теория, в некотором смысле совместимая как со специальной, так и с общей теорией относительности. Вот простейшие примеры таких координатных условий:

1. ${ displaystyle g _ { alpha beta, gamma} eta ^ { beta gamma} = k , g _ { mu nu, alpha} eta ^ { mu nu} ,.}$
2. ${ displaystyle g ^ { alpha beta} {} _ {, beta} = k , g ^ { mu nu} {} _ {, gamma} eta _ { mu nu} eta ^ { alpha gamma} ,.}$

где можно зафиксировать постоянную k быть любым удобным значением.

Сноски