Условие гармонических координат - Harmonic coordinate condition

В гармоническое координатное условие один из нескольких условия координат в общая теория относительности, которые позволяют решить Уравнения поля Эйнштейна. Говорят, что система координат удовлетворяет условию гармонических координат, если каждая из координатных функций Икс^α (рассматриваются как скалярные поля) удовлетворяет уравнение даламбера. Параллельное понятие гармоническая система координат в Риманова геометрия система координат, координатные функции которой удовлетворяют Уравнение Лапласа. С уравнение даламбера является обобщением уравнения Лапласа на пространство-время, его решения также называют «гармоническими».

Мотивация

Законы физики можно выразить в общем инвариантном виде. Другими словами, реальный мир не заботится о наших системах координат. Однако, чтобы мы могли решать уравнения, мы должны зафиксировать конкретную систему координат. А условие координат выбирает одну (или меньший набор) таких систем координат. Декартовы координаты, используемые в специальной теории относительности, удовлетворяют уравнению Даламбера, поэтому гармоническая система координат является наиболее близким приближением, доступным в общей теории относительности, к инерциальной системе отсчета в специальной теории относительности.

Вывод

В общей теории относительности мы должны использовать ковариантная производная вместо частной производной в уравнении Даламбера, поэтому мы получаем:

${displaystyle 0 = left (x ^ {alpha} ight) _ {; eta; gamma} g ^ {eta gamma} = left (left (x ^ {alpha} ight) _ {, eta, gamma} -left (x ^ {alpha} ight) _ {, sigma} Gamma _ {eta gamma} ^ {sigma} ight) g ^ {eta gamma} ,.}$

Поскольку координата Икс^α на самом деле не является скаляром, это не тензорное уравнение. То есть это обычно не инвариантно. Но условия координат не должны быть обычно инвариантными, потому что они должны выделять (работать только для) определенные системы координат, а не другие. Поскольку частная производная от координаты - это Дельта Кронекера, мы получили:

${displaystyle 0 = left (delta _ {eta, gamma} ^ {alpha} -delta _ {sigma} ^ {alpha} Gamma _ {eta gamma} ^ {sigma} ight) g ^ {eta gamma} = left (0- Gamma _ {eta gamma} ^ {alpha} ight) g ^ {eta gamma} = - Gamma _ {eta gamma} ^ {alpha} g ^ {eta gamma} ,.}$

Таким образом, отбрасывая знак минус, получаем гармоническое координатное условие (также известный как датчик де Дондера после Теофиль де Дондер^[1]):

${displaystyle 0 = Gamma _ {eta gamma} ^ {alpha} g ^ {eta gamma} ,.}$

Это условие особенно полезно при работе с гравитационными волнами.

Альтернативная форма

Рассмотрим ковариантную производную от плотность обратной величины метрического тензора:

${displaystyle 0 = left (g ^ {mu u} {sqrt {-g}} ight) _ {; ho} = left (g ^ {mu u} {sqrt {-g}} ight) _ {, ho} + g ^ {sigma u} Гамма _ {sigma ho} ^ {mu} {sqrt {-g}} + g ^ {mu sigma} Гамма _ {sigma ho} ^ {u} {sqrt {-g}} - g ^ {mu u} Гамма _ {sigma ho} ^ {sigma} {sqrt {-g}} ,.}$

Последний срок ${displaystyle -g ^ {mu u} Gamma _ {sigma ho} ^ {sigma} {sqrt {-g}}}$ появляется потому что ${displaystyle {sqrt {-g}}}$ не является инвариантным скаляром, поэтому его ковариантная производная не совпадает с его обычной производной. Скорее, ${displaystyle {sqrt {-g}} _ {; ho} = 0!}$ потому что ${displaystyle g _ {; ho} ^ {mu u} = 0!}$, пока ${displaystyle {sqrt {-g}} _ {, ho} = {sqrt {-g}} Гамма _ {sigma ho} ^ {sigma} ,.}$

Стягивая ν с ρ и применяя ко второму члену условие гармонических координат, получаем:

${displaystyle {egin {align} 0 & = left (g ^ {mu u} {sqrt {-g}} ight) _ {, u} + g ^ {sigma u} Gamma _ {sigma u} ^ {mu} {sqrt {-g}} + g ^ {mu sigma} Gamma _ {sigma u} ^ {u} {sqrt {-g}} - g ^ {mu u} Gamma _ {sigma u} ^ {sigma} {sqrt {- g}}, & = left (g ^ {mu u} {sqrt {-g}} ight) _ {, u} + 0 + g ^ {mu alpha} Гамма _ {alpha eta} ^ {eta} {sqrt {-g}} - g ^ {mu alpha} Gamma _ {eta alpha} ^ {eta} {sqrt {-g}} ,. end {align}}}$

Таким образом, мы получаем, что альтернативный способ выражения гармонического координатного условия:

${displaystyle 0 = left (g ^ {mu u} {sqrt {-g}} ight) _ {, u} ,.}$

Больше вариантов форм

Если выразить символ Кристоффеля через метрический тензор, то получится

${displaystyle 0 = Gamma _ {eta gamma} ^ {alpha} g ^ {eta gamma} = {frac {1} {2}} g ^ {alpha delta} left (g_ {gamma delta, eta} + g_ {eta delta) , gamma} -g_ {eta gamma, delta} ight) g ^ {eta gamma} ,.}$

Отбросив фактор ${displaystyle g ^ {alpha delta},}$ и переставляя некоторые индексы и термины, получаем

${displaystyle g_ {alpha eta, gamma}, g ^ {eta gamma} = {frac {1} {2}} g_ {eta gamma, alpha}, g ^ {eta gamma} ,.}$

В контексте линеаризованная гравитация, это неотличимо от этих дополнительных форм:

${displaystyle {egin {align} h_ {alpha eta, gamma}, g ^ {eta gamma} & = {frac {1} {2}} h_ {eta gamma, alpha}, g ^ {eta gamma},; g_ {alpha eta, gamma}, eta ^ {eta gamma} & = {frac {1} {2}} g_ {eta gamma, alpha}, eta ^ {eta gamma},; h_ {alpha eta, gamma}, eta ^ {eta gamma} & = {frac {1} {2}} h_ {eta gamma, alpha}, eta ^ {eta gamma} ,. end {выровнено}}}$

Однако последние два - это разные условия координат, когда вы переходите ко второму порядку в час.

Влияние на волновое уравнение

Например, рассмотрим волновое уравнение, примененное к векторному электромагнитному потенциалу:

${displaystyle 0 = A_ {альфа; eta; gamma} g ^ {eta gamma} ,.}$

Оценим правую часть:

${Displaystyle A_ {альфа; эта; гамма} g ^ {эта гамма} = A_ {альфа; эта, гамма} g ^ {эта гамма} -A_ {сигма; eta} Gamma _ {alpha gamma} ^ {sigma} g ^ {eta gamma} -A_ {alpha; sigma} Gamma _ {eta gamma} ^ {sigma} g ^ {eta gamma} ,.}$

Используя условие гармонической координаты, мы можем исключить крайний правый член и затем продолжить вычисление следующим образом:

${displaystyle {egin {выровнено} A_ {альфа; эта; гамма} g ^ {эта гамма} & = A_ {альфа; эта, гамма} g ^ {эта гамма} -A_ {сигма; eta} Gamma _ {alpha gamma} ^ {sigma} g ^ {eta gamma} & = A_ {alpha, eta, gamma} g ^ {eta gamma} -A_ {ho, gamma} Gamma _ {alpha eta} ^ { ho} g ^ {eta gamma} -A_ {ho} Gamma _ {alpha eta, gamma} ^ {ho} g ^ {eta gamma} -A_ {sigma, eta} Gamma _ {alpha gamma} ^ {sigma} g ^ {eta gamma} -A_ {ho} Gamma _ {sigma eta} ^ {ho} Gamma _ {alpha gamma} ^ {sigma} g ^ {eta gamma} ,. end {выровнено}}}$

Смотрите также

• Символы Кристоффеля
• Ковариантная производная
• Калибровочная теория
• Общая теория относительности
• Общая ковариация
• Голономная основа
• Дельта Кронекера
• Уравнение Лапласа
• Оператор Лапласа
• Исчисление Риччи
• Волновое уравнение

Рекомендации

• П.А.М. Дирак (1975), Общая теория относительности, Издательство Принстонского университета, ISBN  0-691-01146-X, глава 22

внешняя ссылка

• http://mathworld.wolfram.com/HarmonicCoordinates.html