Голономная основа - Википедия - Holonomic basis

В математика и математическая физика, а координатная база или же голономный базис для дифференцируемое многообразие $M$ это набор основа векторные поля ${е 1, ..., е п}$ определяется в каждой точке $п$ из область, край многообразия как

{ displaystyle mathbf {e} _ { alpha} = lim _ { delta x ^ { alpha} to 0} { frac { delta mathbf {s}} { delta x ^ { alpha }}},}

куда $δ s$ - бесконечно малый вектор смещения между точкой $п$ и ближайшая точка $Q$ чьи координаты отделены от $п$ является $δx α$ вдоль координатной кривой $Икс α$ (т.е. кривая на многообразии через $п$ для чего местная координата $Икс α$ меняется, а все остальные координаты постоянны).^[1]

Можно установить связь между таким базисом и операторами производной по направлению. Учитывая параметризованную кривую $C$ на многообразии, определяемом $Икс α (λ)$ с касательным вектором $ты = ты α е α$ , куда $ты α = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} dx α / dλ$ , а функция $ж (Икс α)$ определен в окрестности $C$ , вариация $ж$ вдоль $C$ можно записать как

{ displaystyle { frac {df} {d lambda}} = { frac {dx ^ { alpha}} {d lambda}} { frac { partial f} { partial x ^ { alpha} }} = u ^ { alpha} { frac { partial} { partial x ^ { alpha}}} f.}

Поскольку у нас есть это $ты = ты α е α$ , идентификация часто производится между базисным вектором координат $е α$ и оператор частной производной $\partial / \partial Икс α$ , при интерпретации векторов как операторов, действующих на скалярные величины.^[2]

Местное состояние за основу ${е 1, ..., е п}$ быть голономным - значит все взаимное Производные Ли исчезнуть:^[3]

{ displaystyle left [ mathbf {e} _ { alpha}, mathbf {e} _ { beta} right] = { mathcal {L}} _ { mathbf {e} _ { alpha} } mathbf {e} _ { beta} = 0.}

Базис, не являющийся голономным, называется неголономным или некоординатным.

Учитывая метрический тензор $грамм$ на коллекторе $M$ , в общем случае невозможно найти координатный базис, ортонормированный в любой открытой области $U$ из $M$ .^[4] Очевидное исключение - когда $M$ это настоящий координатное пространство $р п$ рассматривается как многообразие с $грамм$ евклидова метрика $δ ij е я \otimes е j$ в каждой точке.

Смотрите также

Этот связанные с дифференциальной геометрией статья - это заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.

[1] М. П. Хобсон; Г. П. Эфстатиу; А. Н. Ласенби (2006), Общая теория относительности: введение для физиков, Издательство Кембриджского университета, п. 57

[2] Т. Падманабхан (2010), Гравитация: основы и границы, Издательство Кембриджского университета, п. 25

[3] Роджер Пенроуз; Вольфганг Риндлер, Спиноры и пространство-время: Том 1, Двухспинорное исчисление и релятивистские поля, Издательство Кембриджского университета, стр. 197–199

[4] Бернард Ф. Шютц (1980), Геометрические методы математической физики, Издательство Кембриджского университета, стр. 47–49, ISBN 9780521298872

[1]

[2]

[3]

[4]

Голономная основа - Википедия - Holonomic basis

Рекомендации

Смотрите также