Уравнения Фридмана - Friedmann equations

В Уравнения Фридмана представляют собой набор уравнения в физическая космология которые управляют расширение пространства в однородный и изотропный модели Вселенной в контексте общая теория относительности. Впервые они были получены Александр Фридманн в 1922 г. из Полевые уравнения Эйнштейна из гравитация для Метрика Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уолкера. и идеальная жидкость с данным плотность вещества ${ displaystyle rho}$ и давление ${ displaystyle p}$ .^[1] Уравнения для отрицательной пространственной кривизны были даны Фридманом в 1924 году.^[2]

Предположения

Уравнения Фридмана начинаются с упрощающего предположения, что Вселенная пространственно однородна и изотропный, т.е. космологический принцип; эмпирически это оправдано на масштабах больше ~ 100 Мпк. Космологический принцип подразумевает, что метрика Вселенной должна иметь форму

{ displaystyle ds ^ {2} = a (t) ^ {2} , ds_ {3} ^ {2} -c ^ {2} , dt ^ {2}}

куда ${ displaystyle ds_ {3} ^ {2}}$ - трехмерная метрика, которая должна быть одной из (а) плоское пространство, (б) сфера постоянной положительной кривизны или (c) гиперболическое пространство с постоянной отрицательной кривизной. Эта метрика называется метрикой Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уокера (FLRW). Параметр ${ displaystyle k}$ обсуждается ниже, принимает значения 0, 1, -1 или Гауссова кривизна, в этих трех случаях соответственно. Именно этот факт позволяет нам разумно говорить о "масштаб " ${ Displaystyle а (т)}$ .

Уравнения Эйнштейна теперь связывают эволюцию этого масштабного фактора с давлением и энергией вещества во Вселенной. По метрике FLRW вычисляем Символы Кристоффеля, то Тензор Риччи. С тензор энергии-импульса для идеальной жидкости мы подставляем их в уравнения поля Эйнштейна, и полученные уравнения описаны ниже.

Уравнения

Есть два независимых уравнения Фридмана для моделирования однородной изотропной Вселенной. Первый:

{ displaystyle { frac {{ dot {a}} ^ {2} + kc ^ {2}} {a ^ {2}}} = { frac {8 pi G rho + Lambda c ^ { 2}} {3}}}

который получается из компонента 00 Полевые уравнения Эйнштейна. Второй:

{ displaystyle { frac { ddot {a}} {a}} = - { frac {4 pi G} {3}} left ( rho + { frac {3p} {c ^ {2} }} right) + { frac { Lambda c ^ {2}} {3}}}

который выводится из первого вместе с след уравнений поля Эйнштейна (размерность двух уравнений - время⁻²).

${ displaystyle a}$ это масштаб, грамм, Λ и c - универсальные константы (грамм это Ньютон гравитационная постоянная, Λ - космологическая постоянная (его размер - длина⁻²) и c это скорость света в вакууме ). ρ и п - объемная массовая плотность (а не объемная плотность энергии) и давление соответственно. k постоянна во всем конкретном решении, но может варьироваться от одного решения к другому.

В предыдущих уравнениях ${ displaystyle a}$ , ρ и п являются функциями времени. ${ displaystyle k над ^ {2}}$ это пространственная кривизна в любом временном отрезке вселенной; он равен одной шестой пространственной Скаляр кривизны Риччи R поскольку ${ displaystyle R = { frac {6} {c ^ {2} a ^ {2}}} ({ ddot {a}} a + { dot {a}} ^ {2} + kc ^ {2} )}$ в модели Фридмана. ${ Displaystyle Н экв { гидроразрыва { точка {а}} {а}}}$ это Параметр Хаббла.

Мы видим, что в уравнениях Фридмана a (t) не зависит от того, какую систему координат мы выбрали для пространственных срезов. Есть два наиболее часто используемых варианта ${ displaystyle a}$ и k которые описывают ту же физику:

k = +1, 0 или -1 в зависимости от того, форма вселенной закрытый 3-сфера, плоский (т.е. Евклидово пространство ) или открытый 3-гиперболоид, соответственно.^[3] Если k = +1, тогда ${ displaystyle a}$ это радиус кривизны Вселенной. Если k = 0, то ${ displaystyle a}$ может быть зафиксировано на любом произвольном положительном числе в конкретный момент времени. Если k = −1, то (грубо говоря) можно сказать, что ${ displaystyle i}$ · ${ displaystyle a}$ это радиус кривизны Вселенной.
${ displaystyle a}$ это масштаб который в настоящее время принимается равным 1. ${ displaystyle k}$ это пространственная кривизна когда ${ displaystyle a = 1}$ (т.е. сегодня). Если форма вселенной является гиперсферический и ${ displaystyle R_ {t}}$ - радиус кривизны ( ${ displaystyle R_ {0}}$ в наши дни), то ${ displaystyle a = R_ {t} / R_ {0}}$ . Если ${ displaystyle k}$ положительна, то Вселенная гиперсферическая. Если ${ displaystyle k}$ равен нулю, то вселенная плоский. Если ${ displaystyle k}$ отрицательно, то вселенная гиперболический.

Используя первое уравнение, второе уравнение можно переформулировать как

{ displaystyle { dot { rho}} = - 3H left ( rho + { frac {p} {c ^ {2}}} right),}

что устраняет ${ displaystyle Lambda}$ и выражает сохранение масса-энергия ${ Displaystyle Т ^ { альфа бета} {} _ {; бета} , = 0}$ .

Эти уравнения иногда упрощают заменой

{ displaystyle rho rightarrow rho - { frac { Lambda c ^ {2}} {8 pi G}}}

{ displaystyle p rightarrow p + { frac { Lambda c ^ {4}} {8 pi G}}}

давать:

{ displaystyle H ^ {2} = left ({ frac { dot {a}} {a}} right) ^ {2} = { frac {8 pi G} {3}} rho - { frac {kc ^ {2}} {a ^ {2}}}}

{ displaystyle { dot {H}} + H ^ {2} = { frac { ddot {a}} {a}} = - { frac {4 pi G} {3}} left ( rho + { frac {3p} {c ^ {2}}} right).}

Упрощенная форма второго уравнения инвариантна относительно этого преобразования.

Параметр Хаббла может изменяться со временем, если другие части уравнения зависят от времени (в частности, плотность массы, энергия вакуума или пространственная кривизна). Оценка параметра Хаббла в настоящее время дает постоянную Хаббла, которая является константой пропорциональности Закон Хаббла. Применяется к жидкости с заданным уравнение состояния, уравнения Фридмана дают временную эволюцию и геометрию Вселенной как функцию плотности жидкости.

Некоторые космологи называют второе из этих двух уравнений Уравнение ускорения Фридмана и зарезервируйте срок Уравнение фридмана только для первого уравнения.

Параметр плотности

В параметр плотности ${ displaystyle Omega}$ определяется как отношение фактической (или наблюдаемой) плотности ${ displaystyle rho}$ до критической плотности ${ displaystyle rho _ {c}}$ вселенной Фридмана. Соотношение между фактической плотностью и критической плотностью определяет общую геометрию Вселенной; когда они равны, геометрия Вселенной плоская (евклидова). В более ранних моделях, которые не включали космологическая постоянная Термин критическая плотность первоначально определялась как точка водораздела между расширяющейся и сжимающейся Вселенной.

На сегодняшний день критическая плотность оценивается примерно в пять атомов (из одноатомный водород ) на кубический метр, тогда как средняя плотность обычное дело во Вселенной считается 0,2–0,25 атома на кубический метр.^[4]^[5]

Расчетное относительное распределение компонентов плотности энергии Вселенной. Темная энергия доминирует в общей энергии (74%), в то время как темная материя (22%) составляет большую часть масс. Из оставшейся барионной материи (4%) компактна только десятая часть. В феврале 2015 года исследовательская группа под руководством Европы, разработавшая Космологический зонд Planck опубликовали новые данные, уточняющие эти значения до 4,9% обычной материи, 25,9% темной материи и 69,1% темной энергии.

Гораздо большая плотность происходит от неопознанных темная материя; и обычная, и темная материя способствуют сокращению Вселенной. Однако большая часть приходится на так называемые темная энергия, который учитывает космологический постоянный член. Хотя полная плотность равна критической плотности (точнее, с точностью до ошибки измерения), темная энергия не приводит к сжатию Вселенной, а, скорее, может ускорить ее расширение. Следовательно, Вселенная, вероятно, будет расширяться вечно.^[6]

Выражение для критической плотности находится, полагая Λ равным нулю (как и для всех основных вселенных Фридмана) и задавая нормированную пространственную кривизну, k, равный нулю. Когда подстановки применяются к первому из уравнений Фридмана, мы находим:

{ displaystyle rho _ {c} = { frac {3H ^ {2}} {8 pi G}} = 1,8788 times 10 ^ {- 26} h ^ {2} { rm {kg}} , { rm {m}} ^ {- 3} = 2,7754 times 10 ^ {11} h ^ {2} M _ { odot} , { rm {Mpc}} ^ {- 3},}

(куда h = H_о/ (100 км / с / Мпк). За ЧАС_о = 67,4 км / с / Мпк, т.е. час = 0.674, ρ_c = 8.5 × 10⁻²⁷ кг / м³)

Затем параметр плотности (полезный для сравнения различных космологических моделей) определяется как:

{ displaystyle Omega Equiv { frac { rho} { rho _ {c}}} = { frac {8 pi G rho} {3H ^ {2}}}.}

Этот термин первоначально использовался как средство для определения пространственная геометрия Вселенной, где ${ displaystyle rho _ {c}}$ критическая плотность, для которой пространственная геометрия плоская (или евклидова). Предполагая нулевую плотность энергии вакуума, если ${ displaystyle Omega}$ больше единицы, космические части Вселенной замкнуты; Вселенная в конце концов перестанет расширяться, а затем схлопнется. Если ${ displaystyle Omega}$ меньше единицы, они открыты; и вселенная расширяется вечно. Однако можно также включить термины пространственной кривизны и энергии вакуума в более общее выражение для ${ displaystyle Omega}$ в этом случае этот параметр плотности равен единице. Затем нужно измерить различные компоненты, обычно обозначаемые нижними индексами. Согласно ΛCDM модель, есть важные компоненты ${ displaystyle Omega}$ из-за барионы, холодная темная материя и темная энергия. Пространственная геометрия вселенная был измерен WMAP космический корабль должен быть почти плоским. Это означает, что Вселенная может быть хорошо аппроксимирована моделью, в которой параметр пространственной кривизны ${ displaystyle k}$ равно нулю; однако это не обязательно означает, что Вселенная бесконечна: возможно, просто Вселенная намного больше той части, которую мы видим. (Аналогично тому, что земной шар примерно плоский в масштабе Нидерланды не означает, что Земля плоская: это только означает, что она намного больше, чем Нидерланды.)

Первое уравнение Фридмана часто рассматривается в терминах настоящих значений параметров плотности, то есть^[7]

{ displaystyle { frac {H ^ {2}} {H_ {0} ^ {2}}} = Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + Omega _ {0, M} a ^ {-3} + Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + Omega _ {0, Lambda}.}

Здесь ${ displaystyle Omega _ {0, R}}$ это плотность излучения сегодня (т.е. когда ${ displaystyle a = 1}$ ), ${ displaystyle Omega _ {0, M}}$ вот в чем дело (тьма плюс барионный ) плотность сегодня, ${ displaystyle Omega _ {0, k} = 1- Omega _ {0}}$ это «плотность пространственной кривизны» сегодня, и ${ displaystyle Omega _ {0, Lambda}}$ это космологическая постоянная или плотность вакуума сегодня.

Полезные решения

Уравнения Фридмана решаются точно при наличии идеальная жидкость с уравнением состояния

{ Displaystyle р = вес ро с ^ {2},}

куда ${ displaystyle p}$ это давление, ${ displaystyle rho}$ - массовая плотность жидкости в сопутствующей системе отсчета и ${ displaystyle w}$ некоторая константа.

В пространственно-плоском корпусе (k = 0) решение для масштабного фактора

{ Displaystyle а (т) = а_ {0} , т ^ { гидроразрыва {2} {3 (ш + 1)}}}

куда ${ displaystyle a_ {0}}$ - некоторая постоянная интегрирования, которую нужно зафиксировать выбором начальных условий. Это семейство решений, обозначенное ${ displaystyle w}$ чрезвычайно важен для космологии. Например. ${ displaystyle w = 0}$ описывает материальный Вселенная, где давление незначительно по сравнению с плотностью массы. Из общего решения легко увидеть, что во Вселенной, где преобладает материя, масштабный коэффициент равен

{ Displaystyle а (т) пропто т ^ {2/3}}

материальный

Другой важный пример - случай радиационный Вселенная, т.е. когда ${ displaystyle w = 1/3}$ . Это ведет к

{ Displaystyle а (т) пропто т ^ {1/2}}

радиация преобладает

Отметим, что это решение не справедливо для доминирования космологической постоянной, что соответствует ${ displaystyle w = -1}$ . В этом случае плотность энергии постоянна, а масштабный фактор растет экспоненциально.

Решения для других значений k можно найти на Терсич, Бальса. «Конспект лекций по астрофизике» (PDF). Получено 20 июля 2011..

Смеси

Если вещество представляет собой смесь двух или более невзаимодействующих жидкостей, каждая из которых имеет такое уравнение состояния, то

{ displaystyle { dot { rho}} _ {f} = - 3H left ( rho _ {f} + { frac {p_ {f}} {c ^ {2}}} right) , }

выполняется отдельно для каждой такой жидкости ж. В каждом случае,

{ displaystyle { dot { rho}} _ {f} = - 3H left ( rho _ {f} + w_ {f} rho _ {f} right) ,}

откуда мы получаем

{ displaystyle { rho} _ {f} propto a ^ {- 3 (1 + w_ {f})} ,.}

Например, можно образовать линейную комбинацию таких терминов

{ displaystyle rho = Aa ^ {- 3} + Ba ^ {- 4} + Ca ^ {0} ,}

куда: А это плотность «пыли» (обычного вещества, ш = 0) когда ${ displaystyle a}$ = 1; B - плотность излучения (ш = 1/3), когда ${ displaystyle a}$ = 1; и C это плотность «темной энергии» (ш= −1). Затем заменяют это на

{ displaystyle left ({ frac { dot {a}} {a}} right) ^ {2} = { frac {8 pi G} {3}} rho - { frac {kc ^ {2}} {а ^ {2}}} ,}

и решает для ${ displaystyle a}$ как функция времени.

Детальный вывод

Чтобы сделать решения более явными, мы можем вывести полные соотношения из первого уравнения Фридмана:

{ displaystyle { frac {H ^ {2}} {H_ {0} ^ {2}}} = Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + Omega _ {0, M} a ^ {-3} + Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + Omega _ {0, Lambda}}

с

{ Displaystyle Н = { гидроразрыва { точка {а}} {а}}}

{ displaystyle {H ^ {2}} = H_ {0} ^ {2} ( Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + Omega _ {0, M} a ^ {- 3} + Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + Omega _ {0, Lambda})}

{ displaystyle H = H_ {0} { sqrt {( Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + Omega _ {0, M} a ^ {- 3} + Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + Omega _ {0, Lambda}}}}

{ displaystyle { frac { dot {a}} {a}} = H_ {0} { sqrt {( Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + Omega _ {0, M} a ^ {- 3} + Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + Omega _ {0, Lambda})}}}

{ displaystyle { frac { mathrm {d} a} { mathrm {d} t}} = H_ {0} { sqrt {( Omega _ {0, R} a ^ {- 2} + Omega _ {0, M} a ^ {- 1} + Omega _ {0, k} + Omega _ {0, Lambda} a ^ {2})}}}

{ displaystyle mathrm {d} a = mathrm {d} tH_ {0} { sqrt {( Omega _ {0, R} a ^ {- 2} + Omega _ {0, M} a ^ { -1} + Omega _ {0, k} + Omega _ {0, Lambda} a ^ {2})}}}

Перестановка и изменение для использования переменных ${ displaystyle a '}$ и ${ displaystyle t '}$ для интеграции

{ displaystyle tH_ {0} = int _ {0} ^ {a} { frac { mathrm {d} a '} { sqrt {( Omega _ {0, R} a' ^ {- 2} + Omega _ {0, M} a '^ {- 1} + Omega _ {0, k} + Omega _ {0, Lambda} a' ^ {2})}}}}

Могут быть найдены решения для зависимости масштабного фактора от времени для вселенных, в которых доминирует каждый компонент. В каждом из них мы также предположили, что ${ displaystyle Omega _ {0, k} приблизительно 0}$ , что равносильно предположению, что доминирующим источником плотности энергии является ${ displaystyle приблизительно 1}$ .

Для вселенных с преобладанием Материи, где ${ displaystyle Omega _ {0, M} >> Omega _ {0, R}}$ и ${ displaystyle Omega _ {0, Lambda}}$ , а также ${ displaystyle Omega _ {0, M} приблизительно 1}$ .

{ displaystyle tH_ {0} = int _ {0} ^ {a} { frac { mathrm {d} a '} { sqrt {( Omega _ {0, M} a' ^ {- 1} )}}}}

{ displaystyle tH_ {0} { sqrt { Omega _ {0, M}}} = ({ frac {2} {3}} a '^ { frac {3} {2}}) | _ { 0} ^ {а}}

{ displaystyle ({ frac {3} {2}} tH_ {0} { sqrt { Omega _ {0, M}}}) ^ { frac {2} {3}} = a (t)}

который восстанавливает вышеупомянутые ${ displaystyle a propto t ^ { frac {2} {3}}}$

Для вселенных с преобладанием излучения, где ${ displaystyle Omega _ {0, R} >> Omega _ {0, M}}$ и ${ displaystyle Omega _ {0, Lambda}}$ , а также ${ displaystyle Omega _ {0, R} приблизительно 1}$

{ displaystyle tH_ {0} = int _ {0} ^ {a} { frac { mathrm {d} a '} { sqrt {( Omega _ {0, R} a' ^ {- 2} )}}}}

{ displaystyle tH_ {0} { sqrt { Omega _ {0, R}}} = { frac {a '^ {2}} {2}} | _ {0} ^ {a}}

{ displaystyle (2tH_ {0} { sqrt { Omega _ {0, R}}}) ^ { frac {1} {2}} = a (t)}

За ${ displaystyle Lambda}$ доминируют вселенные, где ${ displaystyle Omega _ {0, Lambda} >> Omega _ {0, R}}$ и ${ displaystyle Omega _ {0, M}}$ , а также ${ displaystyle Omega _ {0, Lambda} приблизительно 1}$ , и где мы теперь изменим наши границы интеграции с ${ displaystyle t_ {i}}$ к ${ displaystyle t}$ и аналогично ${ displaystyle a_ {i}}$ к ${ displaystyle a}$ .

{ displaystyle (t-t_ {i}) H_ {0} = int _ {a_ {i}} ^ {a} { frac { mathrm {d} a '} { sqrt {( Omega _ { 0, Lambda} a '^ {2})}}}}

{ displaystyle (t-t_ {i}) H_ {0} { sqrt { Omega _ {0, Lambda}}} = mathrm {ln} (| a '|) | _ {a_ {i}} ^ {а}}

{ displaystyle a_ {i} mathrm {e} ^ {(t-t_ {i}) H_ {0} { sqrt { Omega _ {0, Lambda}}}} = a (t)}

В ${ displaystyle Lambda}$ решение доминируемой вселенной представляет особый интерес, потому что вторая производная по времени положительна, не равна нулю; другими словами, подразумевая ускоренное расширение Вселенной, делая ${ displaystyle rho _ {лямбда}}$ кандидат на темная энергия:

{ displaystyle a (t) = a_ {i} mathrm {e} ^ {(t-t_ {i}) H_ {0} { sqrt { Omega _ {0, Lambda}}}}}

{ displaystyle { frac { mathrm {d} ^ {2} a (t)} { mathrm {d} t ^ {2}}} = a_ {i} (H_ {0}) ^ {2} Омега _ {0, Lambda} mathrm {e} ^ {(t-t_ {i}) H_ {0} { sqrt { Omega _ {0, Lambda}}}}}

Где по конструкции ${ displaystyle a_ {i}> 0}$ , наши предположения были ${ displaystyle Omega _ {0, Lambda} приблизительно 1}$ , и ${ displaystyle H_ {0}}$ был измерен как положительный, заставляя ускорение быть больше нуля.

Измененное уравнение Фридмана

Набор ${ displaystyle { tilde {a}} = { frac {a} {a_ {0}}}, ; rho _ {c} = { frac {3H_ {0} ^ {2}} {8 pi G}}, ; Omega = { frac { rho} { rho _ {c}}}, ; t = { frac { tilde {t}} {H_ {0}}}, ; Omega _ {c} = - { frac {kc ^ {2}} {H_ {0} ^ {2} a_ {0} ^ {2}}} ;}$ , куда ${ displaystyle a_ {0}}$ и ${ displaystyle H_ {0}}$ отдельно масштаб и Параметр Хаббла сегодня. Тогда мы можем иметь

{ displaystyle { frac {1} {2}} left ({ frac {d { tilde {a}}} {d { tilde {t}}}} right) ^ {2} + U_ { text {eff}} ({ tilde {a}}) = { frac {1} {2}} Omega _ {c}}

куда ${ displaystyle U _ { text {eff}} ({ tilde {a}}) = { frac {- Omega { tilde {a}} ^ {2}} {2}} ;}$ . Для любой формы эффективного потенциала ${ Displaystyle U _ { текст {eff}} ({ тильда {а}}) ;}$ , существует уравнение состояния ${ Displaystyle р = р ( ро)}$ что произведет это.

Смотрите также

Примечания

^ Фридман А (1922). "Über die Krümmung des Raumes". Z. Phys. (на немецком). 10 (1): 377–386. Bibcode:1922ZPhy ... 10..377F. Дои:10.1007 / BF01332580. (Английский перевод: Фридман, А (1999). «О кривизне пространства». Общая теория относительности и гравитации. 31 (12): 1991–2000. Bibcode:1999GReGr..31.1991F. Дои:10.1023 / А: 1026751225741.). Оригинал этой статьи на русском языке хранится в Архив Эренфеста.
^ Фридман А (1924). "Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes". Z. Phys. (на немецком). 21 (1): 326–332. Bibcode:1924ZPhy ... 21..326F. Дои:10.1007 / BF01328280. (Английский перевод: Фридман, А (1999). «О возможности мира с постоянной отрицательной кривизной пространства». Общая теория относительности и гравитации. 31 (12): 2001–2008. Bibcode:1999GReGr..31.2001F. Дои:10.1023 / А: 1026755309811.)
^ Рэй А д'Инверно, Введение в теорию относительности Эйнштейна, ISBN 0-19-859686-3.
^ Рис, М., Всего шесть чисел, (2000) Orion Books, Лондон, стр. 81, стр. 82^{[требуется разъяснение ]}
^ «Вселенная 101». НАСА. Получено 9 сентября, 2015. Фактическая плотность атомов эквивалентна примерно 1 протону на 4 кубических метра.
^ Как устроена Вселенная 3. Конец Вселенной. Канал Дискавери. 2014.
^ Немирофф, Роберт Дж.; Патла, Биджунатх. «Приключения в космологии Фридмана: подробное расширение космологических уравнений Фридмана». Американский журнал физики. 76: 265. arXiv:Astro-ph / 0703739. Bibcode:2008AmJPh..76..265N. Дои:10.1119/1.2830536.

дальнейшее чтение

Либшер, Дирк-Эккехард (2005). "Расширение". Космология. Берлин: Springer. С. 53–77. ISBN 3-540-23261-3.

[af1922-1] Фридман А (1922). "Über die Krümmung des Raumes". Z. Phys. (на немецком). 10 (1): 377–386. Bibcode:1922ZPhy ... 10..377F. Дои:10.1007 / BF01332580. (Английский перевод: Фридман, А (1999). «О кривизне пространства». Общая теория относительности и гравитации. 31 (12): 1991–2000. Bibcode:1999GReGr..31.1991F. Дои:10.1023 / А: 1026751225741.). Оригинал этой статьи на русском языке хранится в Архив Эренфеста.

[af1924-2] Фридман А (1924). "Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes". Z. Phys. (на немецком). 21 (1): 326–332. Bibcode:1924ZPhy ... 21..326F. Дои:10.1007 / BF01328280. (Английский перевод: Фридман, А (1999). «О возможности мира с постоянной отрицательной кривизной пространства». Общая теория относительности и гравитации. 31 (12): 2001–2008. Bibcode:1999GReGr..31.2001F. Дои:10.1023 / А: 1026755309811.)

[3] Рэй А д'Инверно, Введение в теорию относительности Эйнштейна, ISBN 0-19-859686-3.

[4] Рис, М., Всего шесть чисел, (2000) Orion Books, Лондон, стр. 81, стр. 82^{[требуется разъяснение ]}

[5] «Вселенная 101». НАСА. Получено 9 сентября, 2015. Фактическая плотность атомов эквивалентна примерно 1 протону на 4 кубических метра.

[HTUW-6] Как устроена Вселенная 3. Конец Вселенной. Канал Дискавери. 2014.

[7] Немирофф, Роберт Дж.; Патла, Биджунатх. «Приключения в космологии Фридмана: подробное расширение космологических уравнений Фридмана». Американский журнал физики. 76: 265. arXiv:Astro-ph / 0703739. Bibcode:2008AmJPh..76..265N. Дои:10.1119/1.2830536.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]