Изотропное многообразие - Википедия - Isotropic manifold

Эта статья не цитировать любой источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удаленный. Найдите источники: «Изотропное многообразие»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Июнь 2014 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, изотропное многообразие это многообразие в которой геометрия не зависит от направления. Формально мы говорим, что риманово многообразие ${ displaystyle (M, g)}$ изотропно, если для любой точки ${ displaystyle p in M}$ и единичные векторы ${ displaystyle v, w in T_ {p} M}$, есть изометрия ${ displaystyle varphi}$ из ${ displaystyle M}$ с ${ displaystyle varphi (p) = p}$ и ${ displaystyle varphi _ { ast} (v) = w}$. Каждое связное изотропное многообразие является однородный, т.е. для любого ${ displaystyle p, q in M}$ есть изометрия ${ displaystyle varphi}$ из ${ displaystyle M}$ с ${ displaystyle varphi (p) = q.}$ В этом можно убедиться, рассмотрев геодезическую ${ displaystyle gamma: [0,2] до M}$ из ${ displaystyle p}$ к ${ displaystyle q}$ и взяв изометрию, которая фиксирует ${ displaystyle gamma (1)}$ и карты ${ displaystyle gamma '(1)}$ к ${ displaystyle - gamma '(1).}$

Примеры

Односвязные пространственные формы ( n-сфера, гиперболическое пространство, и ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$) изотропны. Вообще говоря, неверно, что любое многообразие постоянной кривизны изотропно; например, плоский тор ${ Displaystyle Т = mathbb {R} ^ {2} / mathbb {Z} ^ {2}}$ не изотропный. В этом можно убедиться, отметив, что любая изометрия ${ displaystyle T}$ который фиксирует точку ${ displaystyle p in T}$ должен подняться до изометрии ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ который фиксирует точку и сохраняет ${ Displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$; таким образом, группа изометрий ${ displaystyle T}$ который исправить ${ displaystyle p}$ дискретно. Более того, таким же образом можно увидеть, что никакая ориентированная поверхность с постоянной кривизной и отрицательной эйлеровой характеристикой не является изотропной.

Более того, существуют изотропные многообразия, не имеющие постоянной кривизны, например комплексное проективное пространство ${ Displaystyle mathbb {CP} ^ {п}}$ (${ displaystyle n> 1}$) с метрикой Фубини-Штуди. Действительно, универсальное покрытие всех многообразий постоянной кривизны может быть либо сфера, или гиперболическое пространство, или же ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$, но ${ Displaystyle mathbb {CP} ^ {п}}$ односвязно, но не сфера (для ${ displaystyle n> 1}$), что видно, например, из расчетов гомотопической группы по длинной точной последовательности расслоения ${ Displaystyle U (1) к S ^ {2n + 1} к mathbb {CP} ^ {n}}$.

Дальнейшие примеры изотропных многообразий даются симметрическими пространствами ранга один, включая проективные пространства ${ displaystyle mathbb {RP} ^ {n}}$, ${ Displaystyle mathbb {CP} ^ {п}}$, ${ Displaystyle mathbb {HP} ^ {п}}$, и ${ displaystyle mathbb {OP} ^ {2}}$, а также их некомпактные гиперболические аналоги.

Многообразие может быть однородным, но не изотропным, например плоский тор ${ displaystyle T}$ или же ${ displaystyle mathbb {R} times S ^ {2}}$ с метрикой продукта.

Смотрите также

• Космологический принцип
• Изотропный многообразие на Math.StackExchange (июль 2013 г.)

Этот связанные с дифференциальной геометрией статья - это заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.

Этот связанный с топологией статья - это заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.