Геодезический эффект - Geodetic effect

Представление геодезического эффекта.

В геодезический эффект (также известен как геодезическая прецессия, прецессия де Ситтера или же эффект де Ситтера) представляет собой эффект кривизны пространство-время, предсказанный общая теория относительности, на векторе, увлеченном движущимся по орбите телом. Например, вектор может быть угловым моментом гироскопа, вращающегося вокруг Земли, как это делает Гравитационный зонд B эксперимент. Геодезический эффект был впервые предсказан Виллем де Ситтер в 1916 году, который представил релятивистские поправки к движению системы Земля – Луна. Работа Де Ситтера была расширена в 1918 г. Ян Схоутен а в 1920 г. Адриан Фоккер.^[1] Это также может быть применено к определенному светскому прецессия астрономических орбит, что эквивалентно вращению Вектор Лапласа – Рунге – Ленца..^[2]

Период, термин геодезический эффект имеет два немного разных значения: движущееся тело может вращаться или не вращаться. Не вращающиеся тела движутся внутрь геодезические, тогда как вращающиеся тела движутся по несколько другим орбитам.^[3]

Разница между прецессией де Ситтера и Прецессия Лензе-Тирринга (перетаскивание кадра) заключается в том, что эффект де Ситтера обусловлен просто наличием центральной массы, тогда как прецессия Лензе-Тирринга обусловлена ​​вращением центральной массы. Полная прецессия рассчитывается путем объединения прецессии де Ситтера с прецессией Лензе – Тирринга.

Экспериментальное подтверждение

Геодезический эффект был подтвержден с точностью более 0,5% процентов. Гравитационный зонд B, эксперимент, который измеряет наклон оси вращения гироскопы на орбите вокруг Земли.^[4] Первые результаты были объявлены 14 апреля 2007 г. на заседании Американское физическое общество.^[5]

Формулы

Часть цикла статей о
Общая теория относительности
${displaystyle G_ {mu u} + Lambda g_ {mu u} = {frac {8pi G} {c ^ {4}}} T_ {mu u}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип относительности Теория относительности Точка зрения Инерциальная система отсчета Рама отдыха Рамка центра импульса Световой конус Принцип эквивалентности Эквивалентность массы и энергии Специальная теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Масштаб относительности Мировая линия Подходящее время Риманова геометрия Энергетическое состояние
Явления Гравитоэлектромагнетизм Проблема Кеплера Сила тяжести Гравитационное поле Гравитационный колодец Гравитационное линзирование Гравитационные волны Гравитационное красное смещение Красное смещение Синее смещение Замедление времени Гравитационное замедление времени Задержка Шапиро Гравитационный потенциал Гравитационное сжатие Гравитационный коллапс Перетаскивание кадра Геодезический эффект Видимый горизонт Горизонт событий Гравитационная сингулярность Обнаженная особенность Черная дыра Белая дыра Пространство-время Космос Время Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Замкнутая времениподобная кривая (СТС) Червоточина Червоточина Эллиса
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Инвариант кривизны (общая теория относительности) Лоренцево многообразие Формализмы ADM БССН Ньюман – Пенроуз Постньютоновский Продвинутая теория Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация Супергравитация
Решения Шварцшильд (интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль – Льюис – Папапетру Вакуумный раствор
Теоремы Теорема Биркгофа Теорема Героха о расщеплении Теорема Гольдберга – Сакса. Теорема Лавлока Теорема об отсутствии волос Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях Теорема положительной энергии
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Бардин Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие

Чтобы получить прецессию, предположим, что система находится во вращающемся Метрика Шварцшильда. Невращающаяся метрика

${displaystyle ds ^ {2} = dt ^ {2} left (1- {frac {2m} {r}} ight) -dr ^ {2} left (1- {frac {2m} {r}} ight) ^ {-1} -r ^ {2} (d heta ^ {2} + sin ^ {2} heta, dphi '^ {2}),}$

кудаc = грамм = 1.

Введем вращающуюся систему координат с угловой скоростью ${displaystyle omega}$, такой, что спутник на круговой орбите в плоскости θ = π / 2 остается в покое. Это дает нам

${displaystyle dphi = dphi '-omega, dt.}$

В этой системе координат наблюдатель в радиальном положении р видит вектор, расположенный в р как вращающийся с угловой частотой ω. Однако этот наблюдатель видит вектор, расположенный на некотором другом значении р вращаются с другой скоростью из-за релятивистского замедления времени. Преобразование метрики Шварцшильда во вращающуюся систему отсчета и предположение, что ${displaystyle heta}$ постоянная, находим

${displaystyle {egin {выравнивается} ds ^ {2} & = left (1- {frac {2m} {r}} - r ^ {2} eta omega ^ {2} ight) left (dt- {frac {r ^ {2} eta omega} {1-2m / rr ^ {2} eta omega ^ {2}}}, dphi ight) ^ {2} - & - dr ^ {2} left (1- {frac {2m} {r}} ight) ^ {- 1} - {frac {r ^ {2} eta -2mr eta} {1-2m / rr ^ {2} eta omega ^ {2}}}, dphi ^ {2}, конец {выровнен}}}$

с ${displaystyle eta = sin ^ {2} (heta)}$. Для тела, вращающегося в плоскости θ = π / 2, у нас будет β = 1, и мировая линия тела будет поддерживать постоянные пространственные координаты все время. Теперь метрика находится в каноническая форма

${displaystyle ds ^ {2} = e ^ {2Phi} left (dt-w_ {i}, dx ^ {i} ight) ^ {2} -k_ {ij}, dx ^ {i}, dx ^ {j} .}$

Из этой канонической формы мы можем легко определить скорость вращения гироскопа в собственное время.

${displaystyle {egin {align} Omega & = {frac {sqrt {2}} {4}} e ^ {Phi} [k ^ {ik} k ^ {jl} (omega _ {i, j} -omega _ { j, i}) (omega _ {k, l} -omega _ {l, k})] ^ {1/2} = & = {frac {{sqrt {eta}} omega (r-3m)} { r-2m- eta omega ^ {2} r ^ {3}}} = {sqrt {eta}} omega .end {выровнено}}}$

где последнее равенство верно только для свободно падающих наблюдателей, для которых нет ускорения, и, следовательно, ${displaystyle Phi, _ {i} = 0}$. Это ведет к

${displaystyle Phi, _ {i} = {frac {2m / r ^ {2} -2r eta omega ^ {2}} {2 (1-2m / rr ^ {2} eta omega ^ {2})}} = 0.}$

Решение этого уравнения относительно ω дает

${displaystyle omega ^ {2} = {frac {m} {r ^ {3} eta}}.}$

Это по сути Закон периодов Кеплера, что оказывается релятивистски точным, когда выражается через временную координату т этой конкретной вращающейся системы координат. Во вращающейся системе координат спутник остается неподвижным, но наблюдатель на борту спутника видит прецессию вектора углового момента гироскопа со скоростью ω. Этот наблюдатель также видит вращающиеся далекие звезды, но они вращаются с несколько другой скоростью из-за замедления времени. Пусть τ - угол гироскопа. подходящее время. потом

${displaystyle Delta au = left (1- {frac {2m} {r}} - r ^ {2} eta omega ^ {2} ight) ^ {1/2}, dt = left (1- {frac {3m}) {r}} ight) ^ {1/2}, dt.}$

−2м/р термин интерпретируется как гравитационное замедление времени, а дополнительный -м/р происходит из-за вращения этой системы отсчета. Пусть α '- накопленная прецессия во вращающейся системе отсчета. С ${displaystyle alpha '= Omega Delta au}$, прецессия на протяжении одной орбиты относительно далеких звезд определяется выражением:

${displaystyle alpha = alpha '+ 2pi = -2pi {sqrt {eta}} {Bigg (} left (1- {frac {3m} {r}} ight) ^ {1/2} -1 {Bigg)}.}$

С первым порядком Серия Тейлор мы нашли

${displaystyle alpha приблизительно {frac {3pi m} {r}} {sqrt {eta}} = {frac {3pi m} {r}} sin (heta).}$

Прецессия Томаса

Можно попытаться разбить прецессию де Ситтера на кинематический эффект называется Прецессия Томаса в сочетании с геометрическим эффектом, вызванным гравитационно искривленным пространством-временем. Хотя бы один автор^[6] описывает это так, но другие утверждают, что «прецессия Томаса вступает в игру для гироскопа на поверхности Земли ... но не для гироскопа на свободно движущемся спутнике».^[7] Возражение против первой интерпретации состоит в том, что требуемая прецессия Томаса имеет неправильный знак. Уравнение переноса Ферми-Уокера^[8] дает и геодезический эффект, и прецессию Томаса, и описывает перенос 4-вектора спина для ускоренного движения в искривленном пространстве-времени. 4-вектор спина ортогонален 4-вектору скорости. Транспорт Ферми-Уокера сохраняет эту связь. Если нет ускорения, перенос Ферми-Уокера представляет собой просто параллельный перенос по геодезической и дает прецессию спина из-за геодезического эффекта. Для ускорения из-за равномерного кругового движения в плоском пространстве-времени Минковского транспорт Ферми-Уокера дает прецессию Томаса.

Смотрите также

• Перетаскивание кадра
• Геодезические в общей теории относительности
• Гравитационный колодец
• Хронология гравитационной физики и теории относительности

Примечания

Рекомендации

• Вольфганг Риндлер (2006) Относительность: специальная, общая и космологическая (2-е изд.), Oxford University Press, ISBN  978-0-19-856731-8

внешняя ссылка

• Веб-сайты Gravity Probe B по адресу НАСА и Стэндфордский Университет
• Прецессия в искривленном пространстве "Геодезический эффект"
• Геодезический эффект